专题2.2二元一次方程组和它的解六大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版七年级下册数学同步讲练

专题2.2二元一次方程组和它的解六大题型（一课一讲） （内容:二元一次方程组的定义和解） 【浙教版】 题型一：判断是否为二元一次方程组 【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 【变式训练1-4】（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【变式训练1-5】（23-24七年级下·江苏·周测）下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号） ①②  ③   ④． 题型二：已知二元一次方程组的定义求参数 【经典例题2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 【变式训练2-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）若方程组是二元一次方程组，则a的值为 ． 【变式训练2-2】（24-25七年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【变式训练2-3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知方程组 ，则的值是 ． 【变式训练2-4】（2023七年级下·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 题型三：判定是否为二元一次方程组的解 【经典例题3】（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 【变式训练3-1】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【变式训练3-2】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习） 方程组的解（填“是”或“不是”）． 【变式训练3-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）写出一个以为解的二元一次方程组 ． 【变式训练3-4】（23-24七年级下·福建泉州·期中）判断 （填“是”或“不是”）方程组的解． 【变式训练3-5】（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 题型四：已知二元一次方程组的解求参数 【经典例题4】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 【变式训练4-1】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【变式训练4-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）已知是关于，的方程的一组解，那么的值是 ． 【变式训练4-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）方程组的解中与互为相反数，则 ． 【变式训练4-4】（23-24七年级下·云南大理·期末）已知关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为 ． 【变式训练4-5】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【变式训练4-6】（23-24七年级上·湖南常德·期中）当 时，方程组的解为． 题型五：已知二元一次方程组的解求代数值 【经典例题5】（23-24七年级下·吉林·期中）已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则 ． 【变式训练5-1】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ． 【变式训练5-2】（23-24七年级上·全国·单元测试）若方程组的解是，则 ． 【变式训练5-3】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）关于x、y的方程组的解为，则的平方根是 【变式训练5-4】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【变式训练5-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【变式训练5-6】（23-24七年级下·重庆江津·期末）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回●这个数，●＝ ． 题型六：二元一次方程组的综合 【经典例题6】（23-24七年级上·广东广州·期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为(　　) A． B． C． D． 【变式训练6-1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【变式训练6-2】（23-24七年级下·湖南永州·期末）无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 【变式训练6-3】（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决”，参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【变式训练6-4】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于的方程组，下列说法正确的有 ①若是第一个方程的解，则一定是第二个方程的解； ②若是方程组的解，则一定是第二个方程的解； ③若是方程组的解，且，则； ④若是方程组的解，且，则． 【变式训练6-5】（23-24七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2二元一次方程组和它的解六大题型（一课一讲） （内容:二元一次方程组的定义和解） 【浙教版】 题型一：判断是否为二元一次方程组 【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．方程组是二元一次方程组，与要求不符； B．方程组是二元一次方程组，与要求不符； C．方程组中，含有未知数的项最高次数不是1，不是二元一次方程组，符合要求； D．方程组是二元一次方程组，与要求不符． 故选：C． 【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，四个选项中只有C选项中的方程组是二元一次方程组， 故选：C． 【变式训练1-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、含有三个未知数，不符合题意； 、符合二元一次方程组的定义，符合题意； 、未知数项的次数是，不符合题意； 、未知数在分母上，不是整式方程，不符合题意； 故选：． 【变式训练1-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 【答案】④ 【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④． 故答案为：④． 【变式训练1-4】（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【变式训练1-5】（23-24七年级下·江苏·周测）下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号） ①②  ③   ④． 【答案】①③/③① 【详解】解：二元一次方程组有①③． 故答案为：①③ 题型二：已知二元一次方程组的定义求参数 【经典例题2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 【答案】 3或2 【详解】解：是关于，的二元一次方程组， ，或0，， 解得：或2，，， 答案：3或2，， 【变式训练2-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）若方程组是二元一次方程组，则a的值为 ． 【答案】0 【详解】因为是二元一次方程组，所以此方程组中只含有未知数x、y，所以a＝0. 故答案为：0. 【变式训练2-2】（24-25七年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【变式训练2-3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知方程组 ，则的值是 ． 【答案】34 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：34． 【变式训练2-4】（2023七年级下·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 题型三：判定是否为二元一次方程组的解 【经典例题3】（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练3-1】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】 解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一） 【变式训练3-2】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习） 方程组的解（填“是”或“不是”）． 【答案】不是 【详解】解：把代入原方程组中的中， 方程左边右边，所以不是原方程组的解． 故答案为：不是． 【变式训练3-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）写出一个以为解的二元一次方程组 ． 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：∵， ∴， ∴这个方程组可以是 故答案为： (答案不唯一)． 【变式训练3-4】（23-24七年级下·福建泉州·期中）判断 （填“是”或“不是”）方程组的解． 【答案】不是 【详解】解：把分别代入到两个方程中，看左、右两边的值是否相等即可，可发现它不是方程的解，不是方程的解，所以它不是这个方程组的解． 故答案为：不是． 【变式训练3-5】（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 【答案】 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 题型四：已知二元一次方程组的解求参数 【经典例题4】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：． 故答案为：1． 【变式训练4-1】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【答案】 【详解】解：两式相加得：， ∴， ∵的和为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练4-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）已知是关于，的方程的一组解，那么的值是 ． 【答案】4 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一个解， ， 解得． 故答案为：4． 【变式训练4-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）方程组的解中与互为相反数，则 ． 【答案】 【详解】解：， ∵与互为相反数， ∴③， 把③代入②，得：， 把代入③，得：， 把，代入①，得：． 故答案为：． 【变式训练4-4】（23-24七年级下·云南大理·期末）已知关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练4-5】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【详解】解：， 得：③， 把代入③得：， 解得：， 把代入得：， 把和代入②得：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练4-6】（23-24七年级上·湖南常德·期中）当 时，方程组的解为． 【答案】 【详解】解：把代入方程得，， ∴， 故答案为：． 题型五：已知二元一次方程组的解求代数值 【经典例题5】（23-24七年级下·吉林·期中）已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则 ． 【答案】4 【详解】解：把代入得，解得， ∴▲为． 再把代入，得， ∴●为6， ∴ 故答案为：4． 【变式训练5-1】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ 由①②得：， 即， ∴， 由①②得： 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练5-2】（23-24七年级上·全国·单元测试）若方程组的解是，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得 ， ①②得， ， 解得：， 故答案：． 【变式训练5-3】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）关于x、y的方程组的解为，则的平方根是 【答案】 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， ∴， ∴的平方根是． 故答案为： 【变式训练5-4】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式训练5-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】9 【详解】解：把代入方程组，得：， 解得：， ∴； 故答案为：9． 【变式训练5-6】（23-24七年级下·重庆江津·期末）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回●这个数，●＝ ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴整理为：， ∴将代入中得：， ∵， ∴， 故答案为：． 题型六：二元一次方程组的综合 【经典例题6】（23-24七年级上·广东广州·期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵对于任意实数都成立， ∴， ∴为． 故选：B． 【变式训练6-1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 【变式训练6-2】（23-24七年级下·湖南永州·期末）无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 【答案】6 【详解】解：， ，得， 即 ∴， ∵无论m为何值，方程组都有解， ∴，即， 且， ∴． 故答案为：6 【变式训练6-3】（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决”，参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【详解】， 方程组中两个方程的两边都除以4，得， ∵方程组的解是， ∴， ∴， 故答案为. 【变式训练6-4】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于的方程组，下列说法正确的有 ①若是第一个方程的解，则一定是第二个方程的解； ②若是方程组的解，则一定是第二个方程的解； ③若是方程组的解，且，则； ④若是方程组的解，且，则． 【答案】②③ 【详解】解：若是第一个方程的解，则不一定是第二个方程的解，故说法①错误； 若是方程组的解，则一定是第二个方程的解，说法②正确； 若是方程组的解，则有， 将两个方程相加，可得，整理可得， 又因为，即有，解得， 故说法③正确，说法④错误． 故答案为：②③． 【变式训练6-5】（23-24七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)a，b的值分别是和1 【详解】（1）解：将方程组变形为， 所以，将写成矩阵形式为：， 故答案为：； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， ∵此方程组的解为 ∴将代入方程组得： 由①得； 由②得； 所以a，b的值分别是和1 学科网（北京）股份有限公司 $