专题01 平行四边形的性质与判定（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题01 平行四边形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据平行四边形的性质解决角度问题（重点） 1 题型二、根据平行四边形的性质证明线段相等（常考） 1 题型三、平行四边形的判定之添加条件问题（常考重点） 2 题型四、平行四边形的判定解答题（常考重点） 3 题型五、与已知三点组成平行四边形的点的个数问题（常考） 3 题型六、平行四边形的性质与判定综合问题（常考重点） 4 B综合攻坚・能力越升 题型一、根据平行四边形的性质解决角度问题（重点） 1．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．在中，若，则_______． 题型二、根据平行四边形的性质证明线段相等（常考） 4．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：． 5．如图，在中，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点，交、于点、，求证：． 6．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 题型三、平行四边形的判定之添加条件问题（常考重点） 7．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 9．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 题型四、平行四边形的判定解答题（常考重点） 10．如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 11．如图，点，，，在同一直线上，，，．连接，． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形． 12．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且． 求证：四边形是平行四边形． 题型五、与已知三点组成平行四边形的点的问题（常考） 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过点C的另一条直线与x轴交于点． (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，的顶点坐标为，，． (1)画出向右平移3个单位后的； (2)将绕原点旋转，画出旋转后的； (3)在网格上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、． (1)点坐标为________，点坐标为________； (2)求直线的表达式； (3)若的面积为4，求点坐标； (4)在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型六、平行四边形的性质与判定综合问题（常考重点） 16．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 17．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 18．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 1．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 5．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 7．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 8．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 9．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 10．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． (3)如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，请直接写出为何值时，以四点组成的四边形是平行四边形． 11．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 12．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，为内一点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，平分，作的平分线； (2)在图2中，为任意一点，在内作线段，使平行且等于． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行四边形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据平行四边形的性质解决角度问题（重点） 1 题型二、根据平行四边形的性质证明线段相等（常考） 2 题型三、平行四边形的判定之添加条件问题（常考重点） 2 题型四、平行四边形的判定解答题（常考重点） 7 题型五、与已知三点组成平行四边形的点的个数问题（常考） 7 题型六、平行四边形的性质与判定综合问题（常考重点） 9 B综合攻坚・能力越升 题型一、根据平行四边形的性质解决角度问题（重点） 1．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，灵活运用平行四边形对角相等的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等得到，进而结合求出的度数． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 故选：． 2．平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，牢记“平行四边形的对角相等”是解题的关键，根据该性质得到，，进而判断出角度比值的特征． 【详解】解：四边形是平行四边形， 平行四边形对角相等，即， 中，比值的第一项与第三项相等，第二项与第四项相等， 观察选项，只有选项满足，，符合平行四边形的性质， 故选：． 3．在中，若，则_______． 【答案】45 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补及内角和为的性质，通过等量代换建立关系求解的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，且， （平行四边形邻角互补）， ， 又，， ，即， 将代入， 得：， ， ． 题型二、根据平行四边形的性质证明线段相等（常考） 4．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，得出，，，根据角平分线定义证明，根据“”证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． 5．如图，在中，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点，交、于点、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质．首先根据平行四边形对边平行的性质得到内错角相等；再由尺规作图的步骤可知直线垂直平分线段，得到；最后结合对顶角相等，利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等的性质即可证得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴； 又∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 题型三、平行四边形的判定之添加条件问题（常考重点） 7．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 8．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 9．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形． 题型四、平行四边形的判定解答题（常考重点） 10．如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 11．如图，点，，，在同一直线上，，，．连接，． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意易得，，，然后可得，则有，再证明，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后根据平行四边形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）知， ． 又， 四边形是平行四边形． 12．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 题型五、与已知三点组成平行四边形的点的问题（常考） 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过点C的另一条直线与x轴交于点． (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，D的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质．分类讨论是解（2）的关键． （1）分别令、可求出点B、C的坐标；用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （2）先求出，根据平行四边形的性质得，，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴． 设直线的函数解析式为， 把代入，得 ， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵，，， ∴． ∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ∴，， ∴，． 14．如图，的顶点坐标为，，． (1)画出向右平移3个单位后的； (2)将绕原点旋转，画出旋转后的； (3)在网格上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可； （3）分别以、、为对角线作出平行四边形，即可找出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，分别以、、为对角线作出平行四边形， 可知点的坐标为或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、． (1)点坐标为________，点坐标为________； (2)求直线的表达式； (3)若的面积为4，求点坐标； (4)在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标； （2）根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定法可以计算出直线的解析式； （3）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可； （4）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 时，， 点， 当时，， ， ， 故答案为：，； （2）解∶∵点， ， ∵点C为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式：， 将点，点代入直线解析式 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； （3）解：设点， ， ， 的面积， ， ， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积， ， 解得， ， ∴点E坐标为 ； （4）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴设点，点， ①当四边形以， 为对角线时， ∵点，， ∴， 解得， ， ∴点； ②当四边形以， 为对角线， ∵点，， ， 解得， ， ∴点， ③当四边形以， 为对角线， ， 解得， ， ∴点， 综上，满足条件的点Q坐标为或或； 题型六、平行四边形的性质与判定综合问题（常考重点） 16．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 17．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点，可得与同底同高，与同底同高，由此即可求解．掌握平行四边形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：与之间的关系∶． 理由：如图，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 18．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 1．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 2．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；首先根据平行四边形的性质可得，，，然后证明，进而可得长，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：D． 3．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 的周长． 4．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 5．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 6．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图 因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 7．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】或或 【分析】先分别求出，和点坐标，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①，为边，②，为边，③，为边，根据平行四边形的判定方法求出点坐标即可 【详解】解：∵函数的图象分别交轴，轴于，两点， 当时，， ∴， ∵，且点位于轴正半轴， ∴， ∴ 当时，，解得， ∴， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 如图所示： ①，为边， ∴，， ∵，，， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段， 则点的对应点为点，点的对应点为点， ∴； ②，为边， ∴，， ∵，，， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移6个单位得到线段， 则点的对应点为点，点的对应点为点， ∴； ③，为边， ∴，， ∵，，， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到线段， 则点的对应点为点，点的对应点为点， ∴． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 8．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 9．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． 10．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． (3)如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，请直接写出为何值时，以四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒 【分析】（1）如图①中，只要证明是等边三角形即可； （2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题； （3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：如图中， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 即； （2）解：如图中，过作于点， 由知，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）解：， 当时，四边形是平行四边形， 当时，，， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，，， ， 解得：； 当时，，， ， 解得：； 当时，，， ， 解得：； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形． 11．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 12．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． 是的平分线， ， ， ． ， ． （2）解：存在．由（1）可知，，． 由题意可知，，（）． ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要满足即可． 分以下两种情况讨论： ①当点在边上时，， ，解得； ②当点在边的延长线上时，， ，解得． 综上，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握是关键． 13．如图，为内一点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，平分，作的平分线； (2)在图2中，为任意一点，在内作线段，使平行且等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）连接交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接，则即为所求； （2）连接、于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，连接交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接，则即为所求； ∵是对角线的交点 ∴ ∴四边形是平行四边形，则 ∴ ∵平分， ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴，即是的平分线； （2）解：如图2所示，连接、于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，则即为所求 如图，连接， 根据作图可得，， 则四边形是平行四边形， 则， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴平行且等于．则即为所求． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $