第八章 四边形（复习讲义）数学新教材苏科版八年级下册

该初中数学第八章四边形复习讲义以“从一般到特殊”为逻辑主线，通过表格系统梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形及三角形中位线的定义、性质、判定方法，同步标注常见易错点，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分题型设计例题与变式训练，如“平行四边形的性质与判定”“矩形折叠问题”等，融入推理意识与空间观念培养。基础巩固与能力提升分层练习，助力不同学生掌握推理计算方法，为教师实施精准复习教学提供有力支持。

第八章 四边形（复习讲义） 1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的概念； 2.熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的性质和判定方法，并会应用特殊四边形的性质和判定进行推理计算； 3.会应用三角形中位线定理进行推理与证明。 4. 感悟 “从一般到特殊” 的知识梳理过程，提升分析、概括与知识迁移能力。 知识点 重点归纳 常见易错点 平 行 四 边 形 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ABCD 2．平行四边形的性质: （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称图形但不是轴对称图形． 3．平行四边形的判定方法 方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 方法3：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定方法中最易出错的地方是下面两种情况，错误一“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”； 错误二是“一组对边相等，一组对角相等”。 矩形 1． 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2． 矩形的性质： （1） 边：对边平行且相等；邻边垂直； （2） 角：四个角都是直角； （3） 对角线：对角线相等且互相平分； （4） 整体：中心对称图形、轴对称图形； 3．矩形的判定方法： 方法1：有一个角是直角的平行四边形； 方法2：有三个角是直角； 方法3：对角线相等的平行四边形． 矩形的性质与菱形的性质容易混淆，矩形的对角线是相等，且互相平分，而菱形的对角线是互相垂直且互相平分。 这些都不能判定矩形： 对角线相等的四边形 有一个角是直角的四边形 对边相等且有一个直角 对角线互相垂直 菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）边：对边平行，四边相等； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形； （5）面积=底×高=对角线乘积的一半． 3.菱形的判定方法： 方法1：有一组邻边相等的平行四边形 方法2：四条边都相等的四边形 方法3：对角线互相垂直的平行四边形 这些都不能判定菱形： 对角线垂直的四边形 四边相等的平行四边形（多余，平行四边形对边已等） 一组邻边相等的四边形 正方形 1.正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）边：四边相等，邻边垂直； （2）角：四个直角； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形。 3.正方形的判定方法： 方法1：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形 方法2：一组邻边相等的矩形是正方形 方法3：一个角是直角的菱形是正方形 下面几种情况都不能判定正方形： 四边相等的四边形 四个角是直角的四边形 对角线相等的菱形（错，要先是菱形） 对角线垂直的矩形（错，要先是矩形） 梯形 1.定义：一组 对 边 平 行,另 一 组 对 边 不 平 行 的 四 边 形 叫 作 梯 形； 2.等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形； 3. 有一个角是直角的梯形叫作 直角梯形。 梯形的概念是要求一组对边平行，另一组对边不平行，这个条件是不能忽略的 三角形中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.性质定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言： 注意三角形的中位线与中线是不同的两个概念。 中位线和中线分不清 · 中线：一个端点是顶点 · 中位线：两个端点都是中点 题目里经常故意画得像，文字一换就错。 题型一 平行四边形的性质与判定 【例1】如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【变式1-1】如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 题型二 矩形的性质与判定 【例2】如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【变式2-1】如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若． (1)求证： (2)求的长． 【变式2-2】如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 题型三 菱形的性质与判定 【例3】如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式3-1】如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【变式3-2】如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 题型四 正方形的性质与判定 【例4】如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． (1)求线段的长； (2)连接，求证： 【变式4-1】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到________时，四边形是矩形． (3)进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ 【变式4-2】如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)当，时，求四边形的面积； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 题型五 三角形的中位线 【例5】如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 【变式5-1】如图所示，在四边形中，为上一点，都是等边三角形，点分别为的中点，线段与有什么关系？请说明理由． 【变式5-2】如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 题型六 等腰梯形与直角梯形 【例6】如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【变式6-1】如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式6-2】如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 基础巩固通关测 一、选择题 1．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 6．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 7．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 8．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 9．如图，在复习特殊的平行四边形时，小明画出了下面关系图，并在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 11．如图，的周长为60，对角线、交于点O，交于点E，则的周长为______． 12．如图，在梯形中，，则_____． 13．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则_______． 14．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________． 15．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 16．如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 三、解答题 17．如图，在四边形中，，，，点从点出发，向以的速度运动，到点即停止．点从点出发，向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为 (1)用含t的代数式表示：_________；___________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；请说明理由． 18．如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形是菱形． 19．如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求证：． 20．如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． (2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． (3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 能力提升进阶练 一、选择题 1．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．平行四边形中，对角线，，交点为点O，则边的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 4．在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 5．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（   ） A． B． C．5 D．7 6．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角 8．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 9．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 10．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 二、填空题 11．如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 12．如图，矩形的边，，则的长为__________． 13．如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 14．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 15．如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 16．如图，在矩形中，，，为射线上的动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，连接，则线段的最小值是________． 三、解答题 17．如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 18．在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：A为的中点； (2)若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形是矩形，请填空，并说明理由． 19．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 20．在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． (1)如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； (2)如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 四边形（复习讲义） 1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的概念； 2.熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的性质和判定方法，并会应用特殊四边形的性质和判定进行推理计算； 3.会应用三角形中位线定理进行推理与证明。 4. 感悟 “从一般到特殊” 的知识梳理过程，提升分析、概括与知识迁移能力。 知识点 重点归纳 常见易错点 平 行 四 边 形 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ABCD 2．平行四边形的性质: （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称图形但不是轴对称图形． 3．平行四边形的判定方法 方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 方法3：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定方法中最易出错的地方是下面两种情况，错误一“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”； 错误二是“一组对边相等，一组对角相等”。 矩形 1． 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2． 矩形的性质： （1） 边：对边平行且相等；邻边垂直； （2） 角：四个角都是直角； （3） 对角线：对角线相等且互相平分； （4） 整体：中心对称图形、轴对称图形； 3．矩形的判定方法： 方法1：有一个角是直角的平行四边形； 方法2：有三个角是直角； 方法3：对角线相等的平行四边形． 矩形的性质与菱形的性质容易混淆，矩形的对角线是相等，且互相平分，而菱形的对角线是互相垂直且互相平分。 这些都不能判定矩形： 对角线相等的四边形 有一个角是直角的四边形 对边相等且有一个直角 对角线互相垂直 菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）边：对边平行，四边相等； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形； （5）面积=底×高=对角线乘积的一半． 3.菱形的判定方法： 方法1：有一组邻边相等的平行四边形 方法2：四条边都相等的四边形 方法3：对角线互相垂直的平行四边形 这些都不能判定菱形： 对角线垂直的四边形 四边相等的平行四边形（多余，平行四边形对边已等） 一组邻边相等的四边形 正方形 1.正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）边：四边相等，邻边垂直； （2）角：四个直角； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形。 3.正方形的判定方法： 方法1：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形 方法2：一组邻边相等的矩形是正方形 方法3：一个角是直角的菱形是正方形 下面几种情况都不能判定正方形： 四边相等的四边形 四个角是直角的四边形 对角线相等的菱形（错，要先是菱形） 对角线垂直的矩形（错，要先是矩形） 梯形 1.定义：一组 对 边 平 行,另 一 组 对 边 不 平 行 的 四 边 形 叫 作 梯 形； 2.等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形； 3. 有一个角是直角的梯形叫作 直角梯形。 梯形的概念是要求一组对边平行，另一组对边不平行，这个条件是不能忽略的 三角形中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.性质定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言： 注意三角形的中位线与中线是不同的两个概念。 中位线和中线分不清 · 中线：一个端点是顶点 · 中位线：两个端点都是中点 题目里经常故意画得像，文字一换就错。 题型一 平行四边形的性质与判定 【例1】如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出等腰三角形，进而求出的长度．根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出，从而得到的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 平分， ． 又， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式1-1】如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键． 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项：， ， 在和中， , ， ， 四边形为平行四边形． 故正确． 故选：． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 题型二 矩形的性质与判定 【例2】如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【答案】(1)②或③ (2)选择②或③，证明见解析 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； （2）解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【变式2-1】如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若． (1)求证： (2)求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用折叠的性质得到，再由矩形的性质求得，通过等量代换证得； （2）利用矩形的性质和已知条件得到各边长的值，再由折叠的性质得到，通过设未知数，利用勾股定理列出方程并求解未知数，进而求得的值，最后由（1）的结论即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵矩形沿折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：在矩形中，， ∴，， 又∵矩形沿折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 由（1）知，， ∴． 【变式2-2】如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 题型三 菱形的性质与判定 【例3】如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 【变式3-1】如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【变式3-2】如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）根据矩形性质和线段垂直平分线的性质证明，可得，所以四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； （2）根据勾股定理可得即可． 【详解】（1）证明：连接，， 四边形是矩形， ， ，， 由题意知：垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）可得，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， ， 解得， ∴ 菱形的边长为． 题型四 正方形的性质与判定 【例4】如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． (1)求线段的长； (2)连接，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】对于本题，重点掌握折叠的不变性，即对应边相等，以及正确利用方程的思想解决问题． （1）根据折叠得到，，再设，然后对运用勾股定理建立方程求解； （2）直接根据折叠得到对应边相等即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 落在边的中点处， ， ， 解得：， ； （2）证明：如图，由折叠可得． 【变式4-1】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到________时，四边形是矩形． (3)进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形 (3)，详见解析 【分析】本题考查矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键： （1）根据角平分线+平行线模型容易证明，根据等角对等边可得，同理可得，由此即可得出； （2）当O为中点时，结合（1）可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴. （2）解：当点O在边上运动到边中点时，四边形是矩形，理由如下， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形， 故答案为：边中点． （3）解：当的，且O在中点时，四边形是正方形，理由如下， 由（2）得，四边形是矩形， ∵，，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式4-2】如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)当，时，求四边形的面积； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)菱形；理由见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的性质、正方形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由得，而即可根据“”证明得，则四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形； （2）先根据菱形的性质、等腰三角形的判定与性质可证，即四边形的面积倍的面积，再求得的面积即可解答； （3）当时，四边形是正方形，由，点C与点E重合，则，所以当时，四边形是正方形，据此即可解得． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ． ∵点D为的中点， ． 在和中 ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ，交的延长线于点F， ， ∴四边形是菱形． （2）解：，四边形是菱形， ， ， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∴四边形的面积倍的面积． ，， 的面积， ∴四边形的面积． （3）解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形． ， ∴点C与点E重合， ， ∴当满足时，四边形是正方形（答案不唯一）． 题型五 三角形的中位线 【例5】如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， , ， 在和中， , ， ，， , 为的中点，， 是的中位线， ． 【变式5-1】如图所示，在四边形中，为上一点，都是等边三角形，点分别为的中点，线段与有什么关系？请说明理由． 【答案】互相垂直平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 分别连接，，根据等边三角形的性质证明，得出相等的边，根据中点得出三角形的中位线，根据中位线的性质得出平行且相等的边，证明平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：线段与互相垂直平分， 理由：如图所示，分别连接，． 都是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， 分别是的中点， ，且． 同理： ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． ∴线段与互相垂直平分． 【变式5-2】如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 【答案】 【分析】平行线和角平分线结合构造出等腰三角形，推出，，等量代换得出，结合题干中得出的，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ∵梯形的周长为， ， ． 题型六 等腰梯形与直角梯形 【例6】如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 【变式6-1】如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 【变式6-2】如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 基础巩固通关测 一、选择题 1．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，灵活运用平行四边形对角相等的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等得到，进而结合求出的度数． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 故选：． 2．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合求出和的度数；再根据得到，在直角三角形中求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵ ∴． 在 中，， ∴ 为等腰三角形． ∵ ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是利用矩形对角线的性质得到等腰三角形，再结合直角三角形的两个锐角互余求出角度． 4．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 5．如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，设，则，，，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 6．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 7．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 8．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 9．如图，在复习特殊的平行四边形时，小明画出了下面关系图，并在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】由菱形、矩形和正方形当判定方法，即可判断． 本题考查平行四边形的性质，菱形、矩形和正方形的判定，关键是掌握菱形、矩形和正方形的判定方法． 【详解】解：A、平行四边形的对角相等，但不一定是矩形，故A符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形又是菱形，得到矩形的四条边相等，因此它是正方形，故C不符合题意； D、有一个角是直角的菱形又是矩形，得到菱形的四个角是直角，因此它是正方形，故D不符合题意． 故选：A 10．如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质与勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线，严谨证明，再利用勾股定理求解． 先利用三角形中位线定理得到、的长度与平行关系；再通过取中点并连接，结合平行线的性质严谨推导出；最后在中，用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵ ，分别是的中点， ∴ 是的中位线， ∴ ，． ∵ ，分别是的中点， ∴ 是的中位线． ∴ ，． 取的中点，连接． ∵ 是中点，是中点 ∴ （三角形中位线定理） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵ ， ∴ （两直线平行，同位角相等）． ∴ ． ∵ ， ∴ （两直线平行，同位角相等）． ∵ ， ∴ （两直线平行，内错角相等）． ∴, ∴ ． 结合已知，得 ． 在中，由勾股定理得． 故选：． 二、填空题 11．如图，的周长为60，对角线、交于点O，交于点E，则的周长为______． 【答案】30 【分析】根据题意可知为的垂直平分线，结合平行四边形的性质求的周长即可． 【详解】解：且在中，， 为的垂直平分线， ， ， 即的周长为30． 12．如图，在梯形中，，则_____． 【答案】11 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图——作垂线及矩形的性质，正确得出是的垂直平分线是解题关键．由作图可知，，是的垂直平分线，根据矩形的性质得出，，，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，，是的垂直平分线， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴． 故答案为： 14．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，取得最小值为， 故答案为：． 15．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 【答案】24 【分析】根据菱形的对角线性质可得、，易证得四边形是矩形，进而得到，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，从而计算菱形的面积． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， 、， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：24． 16．如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，取的中点，连接，根据勾股定理得到，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， ， ， ， ， ∵点为的中点，点为线段靠近的四等分点， ， ∴是的中位线， ． 三、解答题 17．如图，在四边形中，，，，点从点出发，向以的速度运动，到点即停止．点从点出发，向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为 (1)用含t的代数式表示：_________；___________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；请说明理由． 【答案】(1)tcm， (2)当时，四边形是平行四边形 (3)存在，时，四边形是平行四边形 【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可进行解答； （2）当时，四边形是平行四边形，列出方程求解即可； （3）当时，四边形是平行四边形，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点以的速度运动，点以的速度运动， ∴，， 故答案为：tcm，． （2）解：∵， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：∵， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵，， ∴，解得：， ∴存在，当时，四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想，根据平行四边形的判定定理，列出方程求解． 18．如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形是菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)①当满足时，四边形是矩形，详见解析；②当满足时，四边形是菱形，详见解析 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得，由证得，得出，由为的中线得出，进而得出，再根据平行四边形的判定定理(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)即可得证； （2）连接，如图，①先证出 ，再证出四边形是平行四边形，进而即可得证，②先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再证出四边形是平行四边形，进而即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵为的中线， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形； （2）解：连接，如图， ①当满足时，四边形是矩形，理由如下， ∵是中线，且， ∴，即 ， 由（1）知，且， ∵是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； ②当满足时，四边形是菱形，理由如下， ∵ ，是中线， ∴， 由（1）知，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 19．如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据折叠的性质，正方形的性质，推出，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）由（2）可得，进而得到，得到，三角形的外角得到，全等三角形的性质，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． (2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． (3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 【答案】(1)矩形 (2)四边形是中母菱形，见解析 (3)四边形是中母菱形，见解析 【分析】（1）从学过的特殊图形中，寻找对角线相等的图形(正方形，矩形，等腰梯形等)； （2）欲证明四边形是中母菱形，只需证明该四边形的对角线即可； （3）通过全等三角形的判定定理证得，然后根据全等三角形的对应边相等的性质推知四边形的对角线，所以四边形是中母菱形. 【详解】（1）解：∵矩形、正方形的对角线相等， 故答案为：矩形； （2）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵ ， 分别是 ，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是中母菱形； （3）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  四边形是中母菱形. 能力提升进阶练 一、选择题 1．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 的周长． 2．平行四边形中，对角线，，交点为点O，则边的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到的两条边长，再结合三角形三边关系即可求出的取值范围． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线，，交点为， ∴，， ∵， ∴，即． 3．如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，设，则，，，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 4．在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系，根据这些特殊平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项所添加的条件是否能使图形按箭头方向进行正确的转化． 【详解】解：A项：一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴①处可填是正确的，故该选项不符合题意； B项：有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴②处可填是正确的，故该选项不符合题意； C项：有一个角是直角的菱形是正方形， ∴无法判定两角是否为直角，故该选项符合题意； D项：一组邻边相等的矩形是正方形， ∴④处可填是正确的，故该选项不符合题意， 故选：C． 5．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，    ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故选：B． 6．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 7．下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质和菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质进行判断即可． 【详解】解：矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等， 故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选B． 8．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 9．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可． 【详解】解：．如图，连接，， 在四边形中， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，， ， 同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误． 故选：C． 10．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】延长，，相交于点F，证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可．本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长，，相交于点F是解题的关键． 【详解】解：延长，，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴无法得出四边形是平行四边形，故②不正确； ③∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． 12．如图，矩形的边，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先由矩形对角线相等且互相平分得到，再证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 13．如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解． 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大， 此时． 14．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形面积，掌握菱形的性质是解题关键．连接，根据菱形的性质，推出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形都是菱形， ，，，， ，， ， ， ， ， 和同底等高， ， 菱形的面积为，的面积为， ， ， 故答案为：． 15．如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质； 过点B作，且，连接、、，求出，证明和全等，可得，把求的最大值转换为求的最大值即可． 【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、， ∵，，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时， ∵， ∴， 即的最大值为． 16．如图，在矩形中，，，为射线上的动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，连接，则线段的最小值是________． 【答案】/ 【分析】首先，根据题意添加辅助线，在中，可得，接着，证出是的中位线，进而得到，最后，在中，根据三角形的三边关系，得，确定的最小值，运用勾股定理求出的长，进而得出最终答案． 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接，，． ∵， ∴． ∵是的中点，， ∴． ∵，分别是，的中点， ∴，是的中位线． ∴． ∵， ∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为的值． 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识．通过构造辅助线，利用直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及三角形三边关系求出的最小值是解题关键． 三、解答题 17．如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，通过内错角相等得到，继而得证四边形是平行四边形． （2）通过证明是等边三角形，得到，继而证明，根据对应边相等得到． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 18．在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：A为的中点； (2)若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形是矩形，请填空，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）证明，得出，从而证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即A为的中点． （2）解：； 理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 19．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理： （1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形； （2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 沿直线翻折得到， ， ， 四边形是菱形． （2）解：是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 20．在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． (1)如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； (2)如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由，是的中点可知，是的中位线，，由正方形的对角线互相垂直可知，所以，由得，所以； （2）过点作于，通过证得、，在中，由勾股定理可得线段的长． 【详解】（1），是的中点， 是的中位线， ，， 又正方形中，， ， 中，，， ， ； （2）如图，过点作于， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $