第八章 四边形（单元复习课件）数学新教材苏科版八年级下册

单元复习课件 第八章 四边形 新教材苏科版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.梳理四边形与特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）的定义、性质与判定方法，明确各类图形间的包含关系与转化条件，构建完整的知识网络。 3. 感悟 “从一般到特殊” 的知识梳理过程，提升分析、概括与知识迁移能力。 2.能准确运用特殊四边形的特征与识别方法，解决线段相等、角相等、平行、垂直等基础证明问题，规范几何证明的书写步骤。 单元学习目标 四边形 平行四边形 菱形 矩形 梯形 两组对边 分别平行 一组对边平行 另一组对边不平行 一个内角90° 邻边相等 正方形 邻边相等 一个内角90° 一个内角90°+邻边相等 两腰相等 等腰梯形 三角形中位线 证明 单元知识图谱 1.平行四边形的定义： 分别 的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ 2．平行四边形的性质: （1）边： ． （2）角： ． （3）对角线： ． （4）对称性：是 图形但不一定是 图形． 两组对边 一、平行四边形 平行 两组对边分别平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 中心对称 轴对称 考点串讲 360 百分比 数量 变化趋势 具体数量 判定 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 方法2 方法3 方法4 3．平行四边形的判定: 一、平行四边形 两组对边分别平行的四边 形是平行四边形； ∵ ∴四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形. ∵ ∴四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形. ∵AD//BC,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形. ∵ ∴四边形是平行四边形 考点串讲 1．矩形的定义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形。 2．矩形的性质： （1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）对称性：是 图形，也是 图形； 3．矩形的判定方法： 方法1： ； 方法2： ； 方法3： ． 直角 二、矩形 对边平行且相等；邻边垂直 四个角都是直角 对角线相等且互相平分 中心对称 轴对称 有一个角是直角的平行四边形 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 考点串讲 1.菱形的定义：有一组 的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）整体：既是 图形，也是 图形； （5）面积= = ． 三、菱形 邻边相等 对边平行，四边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相垂直平分 中心对称 轴对称 底×高 对角线乘积的一半 考点串讲 3.菱形的判定： 三、菱形 判定 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 方法2 方法3 有一组邻边相等的 平行四边形 ∵ □中, ∴四边形是菱形 四条边都相等的四边形 ∵ ∴四边形是菱形 对角线互相垂直的 平行四边形 ∵ □中,AO=CO,BO=DO ∴四边形是菱形 3．菱形的判定方法: 考点串讲 1.正方形：有一个角是 ，并且 的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）整体：既是 图形，也是 图形。 直角 四、正方形 有一组邻边相等 四边相等，邻边垂直 四个角都是直角 对角线相等且互相垂直平分 中心对称 轴对称 考点串讲 3.正方形的判定方法： 四、正方形 判定 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 方法2 方法3 有一个角是直角， 且有一组邻边相 等的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∠A=90°,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 一组邻边相等的 矩形是正方形 ∵四边形是矩形, ∴四边形是正方形 一个角是直角的 菱形是正方形 ∵四边形是菱形,∠A=90° ∴四边形是正方形 考点串讲 1.梯形:一组对边 ,另一组对边 的四边形叫作梯形。 2.等腰梯形： 的梯形叫作等腰梯形； 3.直角梯形： 的梯形叫作直角梯形； 4.三角形，梯形，平行四边形的面积之间关系（见下图） 所有考查对象 五、梯形 平行 不平行 两腰相等 有一个角是直角 考点串讲 1.三角形的中位线:连接三角形两边 的 ； 2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于 ,并且等于第三边的 。 几何语言： 中点 六、三角形的中位线 线段 第三边 一半 考点串讲 七、特殊四边形的性质对比 考点串讲 题型一、平行四边形的性质与判定 例1如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上．请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______ ； (2)说明理由． 【详解】(1)解：从对角线的角度思考，可以添加BE=DF，答案不唯一 (2)证明：∵▱的对角线与相交于点，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型剖析 题型一、平行四边形的性质与判定 如图，在□中，，，垂足分别是 (1)求证：△≌△； (2)连接EF，请添加一个与角度相关的条件， 使四边形BEFC是平行四边形．(不需要说明理由) 【详解】 (1)证明： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ； (2)如图所示，连接， 添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， / 又 ∴四边形四边形是平行四边形． 针对训练 题型二、矩形的性质与判定 例2如图，菱形的对角线与相交于点，的中点为，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【详解】(1)证明：∵CD的中点为E， ∴DE=CE， ∵EF=OE， ∴四边形OCFD是平行四边形， ∵菱形ABCD对角线相交于点O， ∴AC⊥BD， ∴∠COD=90°， ∴四边形OCFD是矩形． (2)解：， ， ， ， ∴， ∴菱形面积=96， ∴菱形的面积为96． 题型剖析 题型二、矩形的性质与判定 如图，矩形中，点分别在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求的长． 【详解】(1)证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2)解：过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴． 针对训练 题型三、菱形的性质与判定 例3如图，中，是上任意一点，//． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 【详解】(1)解：∵//， ∴四边形为平行四边形； (2)解：平分时，四边形为菱形， 理由如下，∵四边形为平行四边形，∴， 当平分时, ∵, ,∴四边形为菱形． 题型剖析 题型三、菱形的性质与判定 如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【详解】(1)连接与交于点， ∵□ABCD，∴， ， ∵， ， ， ， ， 即， ∴□是菱形； (2)解：∵， □是菱形， ∴， ∴，即BD=16， ∴菱形的面积=． 针对训练 题型四、正方形的性质与判定 例4. (1)如图1，在正方形中，相交于点，且，则和的数量关系为_____． (2)如图2，在正方形中，分别是边上的点，，垂足为．求证：． 【详解】解：(1)在正方形中， ， ∵， ， ， ， ∴； 题型剖析 题型四、正方形的性质与判定 例4. (2)如图2，在正方形中，分别是边上的点，，垂足为．求证：． 【详解】解： (2)过点作于点， ， 则四边形为矩形．∴， 在正方形中，，∴． ∵，． ∵，，， 在△和△中， ， ∴△BCG≌△EMF(ASA)， ∴BG=EF． 题型剖析 题型四、正方形的性质与判定 如图，四边形中，，，=17，=7，作于点E，交的延长线于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【详解】(1)证明：∵， ， 又， ∴四边形为矩形， °， ， ， 又， ， ∴， ∴四边形是正方形； (2)解：由(1)得四边形是正方形，， ∴的面积等于正方形的面积，， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 针对训练 题型五、三角形的中位线 例5.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则BD=_____，GH的最大值是_____． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最大值10，此时， ∴的最大值为5． 题型剖析 题型五、三角形的中位线 已知：如图，中，∥，分别是的中点．求证： (1)∥； (2)． 【详解】(1)证明：连接并延长交于点， ∵， ， ∵是的中点， ∴， ， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∥ ； 针对训练 题型五、三角形的中位线 已知：如图，中，∥，分别是的中点．求证： (1)∥； (2)． 【详解】 (2)解：由(1)知是△的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 针对训练 题型六、等腰梯形与直角梯形 例6.如图，已知梯形ABCD中，∥，，是梯形的一条对角线，，将△沿着翻折后得到△，连接交于点． (1)求证：； (2)如果∥，求证：四边形是等腰梯形． 【详解】(1)证明：∵梯形是等腰梯形， ， 由折叠得，， ， ， ， 在△和△中， ， ， ∴； 题型剖析 题型六、等腰梯形与直角梯形 例6.如图，已知梯形ABCD中，∥，，是梯形的一条对角线，，将△沿着翻折后得到△，连接交于点． (1)求证：； (2)如果∥，求证：四边形是等腰梯形． (2)证明：由折叠得， ， ， 又， ， 又， ， ∵ ∥ ， ，四边形是梯形 ∵ ∥ ， ∴, ， ∴四边形是等腰梯形． 题型剖析 题型六、等腰梯形与直角梯形 如图，在梯形中，∥，∠=90°，=24cm，=26cm，动点从点开始沿边以每秒1cm的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒3cm的速度向移动，同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【详解】(1)解：根据题意得：=t，=3t，则． ∵ ∥ ， 即 ∥ ， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； 针对训练 【详解】 (2)解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动 秒时，四边形是直角梯形． 题型六、等腰梯形与直角梯形 如图，在梯形中，∥，∠=90°，=24cm，=26cm，动点从点开始沿边以每秒1cm的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒3cm的速度向移动，同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 针对训练 题型六、等腰梯形与直角梯形 如图，在梯形中，∥，∠=90°，=24cm，=26cm，动点从点开始沿边以每秒1cm的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒3cm的速度向移动，同时出发． (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【详解】(3)：过作于，过点作于点，则四边形为矩形， ∴，∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 四边形是矩形， ∴， 在Rt△和Rt△中，， ∴Rt△≌Rt△(HL)，∴ ， 即，解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 针对训练 ✅ 知识构建：特殊四边形的性质与判定、中位线定理 四边形→特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 ✅ 思想方法： 一般到特殊：普通四边形→特殊四边形 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $