专题04 正方形的性质与判定（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题04 正方形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据正方形的性质计算角度（常考） 1 题型二、根据正方形的性质证明线段相等或计算线段长（常考） 3 题型三、正方形的判定之添加条件问题（常考重点） 3 题型四、正方形的面积问题（常考重点） 8 题型五、正方形的折叠问题（常考） 11 题型六、正方形的性质与判定的综合问题（常考重点） 17 B综合攻坚・能力越升 题型一、根据正方形的性质计算角度（常考） 1．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 3．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二、根据正方形的性质证明线段相等或计算线段长（常考） 4．如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【答案】17 【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 5．如图，是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转得到．若四边形的面积为，，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用旋转性质可得是等腰直角三角形，然后将四边形面积转化为正方形面积求出正方形边长，再通过勾股定理依次求出和等腰直角三角形的斜边． 【详解】解：由绕点顺时针旋转所得， ，， ，是等腰直角三角形， 四边形的面积为， ， ，即正方形的面积为， ，解得， ， ， ． 6．如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点顺时针旋转，得到． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理；掌握旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由正方形的性质得，由旋转的性质得，由即可得证； （2）由正方形的性质得，由旋转的性质得，由全等三角形的性质得，设，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质，可得， ∴． ∴， ∵， ∴（）． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴． 由旋转的性质，可得． ∵． ∴， 设，则． ∴， 在中，， 即， 解得． ∴的长为． 题型三、正方形的判定之添加条件问题（常考重点） 7．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．先根据给定条件判断平行四边形是否为矩形或菱形，再结合正方形的判定定理(对角线互相垂直的矩形是正方形、邻边相等的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形)逐一分析不同条件组合能否判定为正方形，最终得出②③组合不能判定为正方形，其余符合条件的组合可以判定的结论． 【详解】解：A、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以②③组合不能判定为正方形，故此选项错误，符合题意； B、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ④矩形的对角线互相垂直说明是正方形(对角线垂直的矩形是正方形)； 所以②④组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； C、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； 所以①②组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； D、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以①③组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； 根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形是正方形． 故选：A． 8．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定定理，掌握正方形的判定条件是解题关键． 结合矩形的角和角平分线，先推导四边形的基础形状，再根据正方形的判定条件逐一分析选项． 【详解】解：已知四边形为矩形，且平分，平分． 故，， 可得，，是等腰直角三角形． 选项：由两边平行可得四边形为平行四边形， 再由可得四边形为菱形， 再由可得四边形为正方形，故选项正确； 选项：，，仅可得到，无法证明四边形为正方形，故选项错误； 选项：根据题意可知，故，无法判定正方形，故选项错误； 选项：，，仅能判断是等腰三角形，不能证明，无法判定正方形，故选项错误． 故选：． 9．如图，AD是的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交和于点、，连接、． (1)试判定四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，，求EF的长； (3)满足______时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)6 (3) 【分析】本题考查了菱形的判定和正方形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形． （1）由，，证，推出，得出平行四边形，根据得出菱形； （2）由（1）知，，，在中，利用勾股定理求得，进而可求解； （3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得时，四边形是正方形． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴相互平分， ∴四边形是平行四边形 又， ∴平行四边形为菱形； （2）解：由（1）知相互平分， ∴，，， 在中，， ∴， ∴； （3）解：当中时，四边形是正方形； 理由如下： ∵，平行四边形为菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 题型四、正方形的面积问题（常考重点） 10．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 11．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 12．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 题型五、正方形的折叠问题（常考） 13．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得,， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵， 设， , ， 在中， ， ∴． 14．已知如图1，E是正方形边上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)试猜想与的数量关系并证明； (2)如图2，若点为的中点，其他条件不变，连接，请判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，求折痕的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明即可得出结论； （2）延长，交于点，同（1）可得，根据全等三角形的性质得．由点为的中点以及得，再证明可得，根据直角三角形斜边上的中线定理即可得出结论； （3）连接，过点作交于，可得，再证明即可得，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：． 证明：如图1， 四边形是正方形， ，，． 又， ， ， ， ； （2）． 证明：延长，交于点， 同（1）可得， ． 又点为的中点，． ， ． 又， ， 又， (， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， ， 将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处， ， ， ， ， ()， ， 为的中点， 15．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是关键． （1）根据折叠得到，即，由正方形的性质得到，则，由此即可求解； （2）如图，过点作交于点，可证，，，且，由此即可求解． 【详解】（1）解：由折叠得，， ， ， 即， 正方形中，， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， ， 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， 正方形中，， ， 在和中， ， ， ， ，且， ． 题型六、正方形的性质与判定的综合问题（常考重点） 16．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又 ， ， ， 四边形是正方形． 17．如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【分析】（1）由正方形的性质，结合已知可证明，可得，，从而可得，即可证得结论； （2）由正方形的面积可得边长，根据勾股定理计算，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵正方形的面积为4， ∴，， ∴， ∴的长为． 18．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 1．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的对角线特征来逐一判断选项即可． 【详解】解：A.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等且垂直，A选项不符合题意； B.正方形的对角线相等且互相垂直平分，B选项符合题意； C.菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，C选项不符合题意． D.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，D选项不符合题意． 故选：B． 2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形和等边三角形的性质可得，即，进而求得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 则， 则， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 5．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形． A、当时，矩形是正方形，故A选项不符合题意； B、当时，矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、当时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意； D、当时，则，，，矩形是正方形，故D选项不符合题意． 故选：C． 7．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接， ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 8．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 9．如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 11．如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． (1)四边形是正方形吗?请说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)4 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，，再证明四边形是矩形和，得出，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，从而可得，进而得出，最后由正方形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是正方形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 四边形是正方形． （2）解：四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ． 12．如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，（点的对应点为）．延长交，于点，连接． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的长为 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，，然后判断四边形为正方形，从而得到； （2）过点作于点，于点，则，利用四边形为正方形得到，，设，则，，在中，利用勾股定理得到，解方程得到，，根据旋转的性质得到，接着利用等面积法求出，则根据勾股定理可计算出，由四边形为矩形得到，，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ，，， ， 四边形为矩形， 而， 四边形为正方形， ； （2）如图，过点作于点，于点，则， 四边形为正方形， ，， 设，则，， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ，， 绕点按顺时针方向旋转，得到， ， ， ， 在中，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 即的长为． 13．如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，连接，且． (1)尺规作图：求作点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：； (3)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质； （1）根据作一个角等于已知角的方法，作出的等角即可； （2）过点作于点，连接．证明得出，进而证明得出，根据，即可得证； （3）设正方形的边长为，在中，由勾股定理得：，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求． （2）证明：如图，过点作于点，连接． 由作图可得， 平分． ，， ，， ， ． 又是的中点， ， ． 在和中，， ， ． 又， ． （3）解：设正方形的边长为， 则， ． 又， ． 在中，由勾股定理得：， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 正方形的边长为． 14．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，请求出的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：设为， 四边形是边长为的正方形， ， ， 正方形纸片翻折，使点落到点处， ， 点是边的中点， ， 在中，根据勾股定理，得到， ， 解得， ． 15．如图1，已知正方形，是边上的一个动点（不与点、重合），连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交于点，连接，． (1)①求证； ②求的度数． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）①由轴对称的性质可知，，，利用即可得； ②根据全等三角形的性质可得，即可解决问题． （2）证得，设，，则，推出，，根据，构建关系式即可解决问题． （3）如图3中，过点作直线交，于，．证明，推出，，设．，推出，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形，点关于对称， ，，， ， ， ②解：， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2中， ， ，， ， ， ， ， 设，，则， ，， ， ， ， ， ，即； （3）解：结论：． 理由：如图3中，过点作直线交，于，． ，， ， ，， ， ， ， ，， 设．， ， ， ， ，， ． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 正方形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据正方形的性质计算角度（常考） 1 题型二、根据正方形的性质证明线段相等或计算线段长（常考） 2 题型三、正方形的判定之添加条件问题（常考重点） 2 题型四、正方形的面积问题（常考重点） 3 题型五、正方形的折叠问题（常考） 4 题型六、正方形的性质与判定的综合问题（常考重点） 5 B综合攻坚・能力越升 题型一、根据正方形的性质计算角度（常考） 1．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 题型二、根据正方形的性质证明线段相等或计算线段长（常考） 4．如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 5．如图，是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转得到．若四边形的面积为，，则的长为__________． 6．如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点顺时针旋转，得到． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型三、正方形的判定之添加条件问题（常考重点） 7．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 8．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 9．如图，AD是的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交和于点、，连接、． (1)试判定四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，，求EF的长； (3)满足______时，四边形是正方形？ 题型四、正方形的面积问题（常考重点） 10．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 11．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 12．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 题型五、正方形的折叠问题（常考） 13．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 14．已知如图1，E是正方形边上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)试猜想与的数量关系并证明； (2)如图2，若点为的中点，其他条件不变，连接，请判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，求折痕的长． 15．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的周长． 题型六、正方形的性质与判定的综合问题（常考重点） 16．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 17．如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 18．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 1．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 5．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 9．如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 10．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 11．如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． (1)四边形是正方形吗?请说明理由； (2)若，求四边形的面积． 12．如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，（点的对应点为）．延长交，于点，连接． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，，求线段的长． 13．如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，连接，且． (1)尺规作图：求作点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：； (3)若，求正方形的边长． 14．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，请求出的长． 15．如图1，已知正方形，是边上的一个动点（不与点、重合），连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交于点，连接，． (1)①求证； ②求的度数． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，直接写出线段与的数量关系． 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