专题03 菱形的性质与判定（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题03 菱形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据菱形的性质计算角度（常考） 1 题型二、根据菱形的性质证明线段相等或计算线段长（常考） 2 题型三、菱形的判定之添加条件问题（常考重点） 2 题型四、菱形的面积问题（常考重点） 3 题型五、菱形的性质与判定综合问题（常考） 4 题型六、坐标系中的菱形问题（常考重点） 5 B综合攻坚・能力越升 题型一、根据菱形的性质计算角度（常考） 1．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 题型二、根据菱形的性质证明线段相等或计算线段长（常考） 4．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 所以这个菱形的边长为5． 5．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 6．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 题型三、菱形的判定之添加条件问题（常考重点） 7．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①   ②平分   ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 题型四、菱形的面积问题（常考重点） 10．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是______． 11．如图，的对角线相交于点，且．若，，则的面积为__________． 12．四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_____________． 题型五、菱形的性质与判定综合问题（常考） 13．如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 14．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 15．如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型六、矩形与菱形的综合问题（常考重点） 16．如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片不动，将矩形纸片按如图2方式缠绕：先将点与点重合，再依次沿、对折，点A、C所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后边刚好经过点G． 若，，则长为______ 17．阅读与思考 下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中翻作出一个最大的内接菱形”实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀将到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1）．则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形．则四边形也是矩形的内接菱形，（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E．与边交于点F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)填空：通过“方法一”能得到的菱形，它的依据是_______． (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程，（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若矩形，，请你根据日记中三种方法，计算此矩形的内接菱形的面积最大值为______． 18．数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ； ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明； 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你求出线段的长． 1．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A．B．C． D． 2．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点O，．现以点O为旋转中心，将所在的直线绕点O逆时针旋转，旋转之后的直线与所在的直线分别交于点E、F，连接．要使四边形是矩形，则的大小可以是（   ） A． B． C． D． 6．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 7．如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 8．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 9．如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 10．如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：__________，使得四边形为菱形．并说明理由； (2)若四边形为菱形，，，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 菱形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据菱形的性质计算角度（常考） 1 题型二、根据菱形的性质证明线段相等或计算线段长（常考） 3 题型三、菱形的判定之添加条件问题（常考重点） 3 题型四、菱形的面积问题（常考重点） 7 题型五、菱形的性质与判定综合问题（常考） 8 题型六、坐标系中的菱形问题（常考重点） 12 B综合攻坚・能力越升 题型一、根据菱形的性质计算角度（常考） 1．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由菱形的性质得，可得，由作图过程可知，所作直线为线段的垂直平分线，可得，则，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． 由作图过程可知，所作为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型二、根据菱形的性质证明线段相等或计算线段长（常考） 4．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 所以这个菱形的边长为5． 5．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 6．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 题型三、菱形的判定之添加条件问题（常考重点） 7．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 8．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 9．如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①  ②平分  ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．（1）根据题意选择条件即可； （2）根据为边上的中线，得到，根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：（答案不唯一）①． （2）证明：为边上的中线， ． 在中，，， ，， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 题型四、菱形的面积问题（常考重点） 10．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是______． 【答案】24 【分析】题目主要考查菱形的性质及勾股定理解三角形，理解题意是解题关键． 根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：如图，在菱形中，． ∴，， ∴ ． ∴面积 故答案为：24． 11．如图，的对角线相交于点，且．若，，则的面积为__________． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题的关键； 利用平行四边形的性质以及勾股定理求出另一边的长度，再根据平行四边形面积公式求解． 【详解】解：在中， ， 在中， ∴ 则 故答案为：24 ． 12．四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，则有，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 题型五、菱形的性质与判定综合问题（常考） 13．如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）根据矩形性质和线段垂直平分线的性质证明，可得，所以四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； （2）根据勾股定理可得即可． 【详解】（1）证明：连接，， 四边形是矩形， ， ，， 由题意知：垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）可得，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， ， 解得， ∴ 菱形的边长为． 14．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，则，根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 15．如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据矩形的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，求出，根据菱形的判定得出即可； （2）求出是等边三角形，求出，求出，求出，求出，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 由勾股定理得：． 题型六、矩形与菱形的综合问题（常考重点） 16．如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片不动，将矩形纸片按如图2方式缠绕：先将点与点重合，再依次沿、对折，点A、C所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后边刚好经过点G．   若，，则长为______ 【答案】1 【分析】根据矩形的性质，得出，，证明四边形是平行四边形，利用证明，得出，即可证明四边形是菱形；标记点，根据矩形的性质，得出，，，，证明四边形和四边形是平行四边形，根据菱形的性质、全等三角形的性质，得出，，，证明四边形是菱形，根据含角的直角三角形的性质，得出，证明、、、是边长相等的等边三角形，求出，，根据，得出答案即可． 【详解】解：∵两张纸片是等宽的矩形纸片， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 如图，标记点，    ∵两张纸片是等宽的矩形纸片， ∴，，，， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ ∵由（1）得，，四边形是菱形， ∴，，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴、是等边三角形， ∵、、、依次有公共边， ∴、、、是边长相等的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 17．阅读与思考 下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中翻作出一个最大的内接菱形”实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀将到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1）．则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形．则四边形也是矩形的内接菱形，（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E．与边交于点F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)填空：通过“方法一”能得到的菱形，它的依据是_______． (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程，（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若矩形，，请你根据日记中三种方法，计算此矩形的内接菱形的面积最大值为______． 【答案】(1)四边相等的四边形是菱形 (2)见解析 (3) 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形 的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质证明，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （3）方法一：根据菱形的面积矩形的面积即可得到结论； 方法二：如图，根据全等三角形的判定和性质定理得到，设，根据勾股定理得到，求得菱形的面积，方法三：同理方法二，菱形的面积，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵将矩形纸片横对折后再竖对折， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）， 故答案为：四条边相等的四边形是菱形； （2）如图所示，四边形即为所求； （3）方法一：菱形的面积矩形的面积； 方法二：如图， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 方法三：同理方法二，菱形的面积， ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为， 故答案为：． 18．数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ； ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明； 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你求出线段的长． 【答案】（1）①全等；②见解析；（2）． 【分析】（1）①利用翻折变换的性质以及全等三角形的判定定理解决问题即可；②先证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形； （2）由矩形和折叠的性质证明，设，利用勾股定理构建方程求解即可； 【详解】（1）①解：由折叠的性质得，，垂直平分， ， ， 故答案为：全等 ②证明：， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， 矩形， ，， ， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ． 1．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 2．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 4．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点O，．现以点O为旋转中心，将所在的直线绕点O逆时针旋转，旋转之后的直线与所在的直线分别交于点E、F，连接．要使四边形是矩形，则的大小可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的对角线互相垂直知，由矩形的两条对角线互相平分且相等的性质、等边对等角推知，则，再由求解即可． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形， ∴，即，， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴， ， ， 即把所在的直线绕点逆时针旋转最小的角是． 6．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质结合已知得出是等边三角形，，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，对角线与相交于点，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 7．如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 【答案】 【分析】,根据菱形的性质可知与是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，根据含角的直角三角形的性质可知，可得：，，根据线段之间的关系可得：，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 菱形中，，， ，， 与是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 8．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可知，，作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上，可证得四边形是平行四边形，则，可知，当点在上时取等号，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， 作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上， ∵分别是的中点， ∴，， 由轴对称可知，， 则， ∴四边形是平行四边形，则， ∴，当点在上时取等号， 故的最小值为， 故答案为：． 9．如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（或③） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选①或③，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】（1）解：①（或③） （2）解：选①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 10．如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：__________，使得四边形为菱形．并说明理由； (2)若四边形为菱形，，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)的长为 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定定理（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是先利用矩形对边平行的性质推导平行四边形，再通过添加条件满足菱形判定，第二问结合菱形面积的两种计算方法建立等式求线段长度． （1）先根据矩形性质得，推出；结合和添加的条件（如）证，得，判定四边形为平行四边形；再由，根据菱形判定定理得出结论． （2）先利用勾股定理求矩形对角线的长；设菱形边长，在中列方程求；再分别用“底高”和“对角线乘积的一半”表示菱形面积，建立等式求的长． 【详解】（1）解：添加条件，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是菱形． ∴， 设，则 在中，由勾股定理得：， 即． 展开得：， 化简得：， 解得：． ∵代入得：， 化简得：， 解得：， 答：的长为． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $