2.1 一元二次方程和它的解（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

2.1 《一元二次方程和它的解 》 第2章 《一元二次方程》 学 习 目 标 1 2 3 体会从实际生活情境（绿地面积、放射性衰变、包装盒容积）中抽象出一元二次方程的过程，体会数学建模思想，感受一元二次方程在解决实际问题中的价值，同时通过与一元一次方程的对比，体会“数与式”的拓展规律。 掌握一元二次方程的定义及三个核心特征，能准确判断一个方程是否为一元二次方程；掌握一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），能熟练将任意一元二次方程化为一般形式，并准确识别二次项系数、一次项系数和常数项；掌握检验一元二次方程根的方法。 理解一元二次方程“根”的含义，明确一般形式中 a≠0 的本质原因，理解 b、c 可以为零的特殊性，建立“定义—一般形式—根”的知识逻辑体系。 请看这张统计图：根据 2019-2022 年中国风电装机容量统计，2019 年我国风电装机容量为 2.1 亿千瓦，2022 年增长到 3.3 亿千瓦。如果我们想知道 2020-2022 年这三年间，我国风电装机容量平均每年增长的百分比，就需要建立一个数学模型来求解。 章前导言 同学们，在我们的生活与学习中，许多看似复杂的问题，都可以通过数学的语言来描述和解决。 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载的这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？” 这个问题，同样需要我们通过建立方程来求解。  章前导言 南宋数学家杨辉 这两个问题，一个是关于平均变化率的现代统计问题，一个是关于矩形面积的古代算题，它们都可以转化为同一个类型的方程 —— 一元二次方程。 一元二次方程是初中数学的重要内容，它不仅是解决实际问题的有力工具，也是后续学习函数、不等式等知识的基础。在本章中，我们将一起学习一元二次方程的概念、解法，并运用它来解决更多有趣的实际问题。 现在，就让我们一起走进一元二次方程的世界，探索其中的奥秘吧！ 知识回顾 (3) 如何判断一个数是否为一元一次方程的解？ (1) 什么是一元一次方程？请用三个关键词概括其特征。 只含一个未知数、 未知数最高次数为1、 两边都是整式 定义：含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程. 特征： (2) 一元一次方程的一般形式是什么？其中系数有何限制？ 一般形式：（，、 为常数）。 检验：将数代入方程，验证左边=右边是否成立。 导入新课 将一个容积为750 的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示。图中x （cm）应满足怎样的方程？ 解：设包装盒的高为， 列方程： ， 整理得 。 ∵容积为750 ∴容积V=长 × 宽 × 高 = 750 ∵由图得：2×宽+2 ∴宽=15-x 分析 任务学习单 新知探究 知识点1 一元二次方程的定义 议一议 列出下列关于x的方程 （1）绿地问题：某小区规划在两幢楼之间设置一块面积1200平方米的长方形绿地，长比宽多10米，那么这块绿地的长和宽各式多少米？ 设长方形绿地宽为 米，列方程 ； 解：设长方形绿地宽为 米，列方程： ， 整理得 ：。 分析 长方形面积S=1200平方米 长方形面积公式：S=长 ×宽 长= 任务学习单 新知探究 知识点1 一元二次方程的定义 议一议 列出下列关于x的方程 (2) 衰变问题：某放射性物质经2天后，该物质的质量衰变为原来的 ，这种放射性物质平均每天减少率为多少？ 设每天减少率为 ，列方程 。 分析 a-ax=a(1-x) a(1-x)-a(1-x)x=a(1-x)2 设每天减少率为 ，某放射性物质开始质量为a 经1天后， 该物质的质量衰变为原来的 ； a(1-x) 经2天后， 该物质的质量衰变为原来的 ； a(1-x)2 a(1-x)2= a 解：设每天减少率为 ，列方程 新知探究 知识点1 一元二次方程的定义 一元二次方程定义： 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 观察上述方程，它们有什么共同点？与一元一次方程对比，相同点和不同点分别是什么？ 议一议 1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2 共同点： 与一元一次方程相同 与一元一次方程不同 1.整式方程（排除分式方程）； 2. 一元（一个未知数）； 3. 二次（最高次数为2，且二次项必须存在）。 核心特征 一元二次方程的定义 两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程。 整式方程 方程两边必须是整式 排除分式和无理方程 只含一个未知数 仅含一个未知数 如 x² - xy = 0 含两个未知数，不满足 最高次数为 2 未知数最高次项为2次 且二次项系数不为 0 核心洞察：判断一个方程是否为一元二次方程，必须同时满足“整式”、“一元”、“二次”这三个条件，缺一不可。特别是“二次”条件，隐含了二次项系数不能为零的要求。 新知探究 知识点1 一元二次方程的定义 归一归 典例分析 知识点1 一元二次方程的定义 例1.判断下列方程是否为一元二次方程，说明理由。 （1）； (2) ； (3) ； (4) 。 解：(1) 是。符合“整式、一元、二次”三个特征，未知数最高次数为2。 (2) 否。整理后为 ，即 ， 未知数最高次数为1，是一元一次方程。 (3) 是。完全符合一元二次方程的定义。 (4) 否。方程中含有 、，是分式，不是整式方程。 做一做 新知探究 知识点2 一元二次方程的根的检验 一元二次方程的根（解） 议一议 定义 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（也叫解）。 检验方法：代入验证 将 未知数的值代入方程，分别计算左右两边，若左边 = 右边，则该值是方程的根。 典例分析 知识点2 一元二次方程的根的检验 例2.判断 ，， 是否为方程 的根。 解： （1）把代入方程的左右两边 ∵左边 ∴左边=右边， ∴ 是根。 做一做 （2）把代入方程的左右两边 ∵左边 ∴左边≠右边， ∴ 是根。 （3）把代入方程的左右两边 ∵左边 ∴左边≠右边， ∴ 是原方程的根。 ∴方程x2-2=x的根是：x=-1或x=2 新知探究 知识点3 一元二次方程的一般形式 新知探究 议一议 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax²+bx+c=0 （ a≠0 ） 的形式 一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0） ——一元二次方程的一般形式. 各项系数： （二次项系数） （一次项系数） （常数项） 组成：方程左边有三项 （二次项）、（一次项）、（常数项） （1）观察下列方程，任何一个关于x 的一元二次方程都可以化什么形式？ 知识点3 一元二次方程的一般形式 新知探究 议一议 （2）为什么一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0中？ 若 ，则二次项消失，方程变为 ，不再是一元二次方程 （3）一般形式ax²+bx+c=0中、 可以为零吗？ 可以，此时方程为缺项的一元二次方程 当 a = 0 时 bx＋c = 0， 当 a ≠ 0，b = 0 时 ax2＋c = 0， 当 a ≠ 0，c = 0 时 ax2＋bx = 0， 当 a ≠ 0，b = c =0 时 ax2 = 0， 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 例1：把方程3x（x-1）=2（x-2）-4 化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项． 解：去括号，得 3x2-3x=2x-4-4 移项，合并同类项,得方程的一般形式： 3x2-5x+8=0 它的二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为8． 典例分析 知识点3 一元二次方程的一般形式 典例分析 例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 ； (2) 。 解：（1）移项整理，得： （一般形式） 系数：二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 。 （2）去括号：， 整理得：（一般形式） 系数：二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 。 典例分析 例2.已知一元二次方程 的两个根为 和 ，求这个方程。 解：根据“根的定义”，将两个根分别代入方程，得到关于 、 的二元一次方程组： 化简方程组 ①② 解得 将 代入②，得： ， 解得 将 ， 代入原方程， 得 :。 ∴ 新知巩固 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） （A）； (B) ； (C) ； (D) 。 C 解： A：分式方程，不符合一元二次方程定义； B：整理为 ，一元一次方程，不符合题意； C：整理为 ，符合定义； D：最高次数为3，一元三次方程，不符合一元二次方程定义。 教材p32页 新知巩固 2. 填表题 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项                         解： 方程 ：移项得 ；系数：，，。 方程 ：整理为 ；系数：，，。 方程 ：展开得 ，移项整理得 ；系数：，，。 教材p32页 新知巩固 3. 已知关于 x 的一元二次方程 的一个根是3，求 a 的值。 解：根据根的定义，将 代入方程： ， 计算得 ， 移项得 ， 解得 。 教材p32页 1、若方程是关于x的 是一元二次方程，则m的值为 ． 拓展提升 解：由一元二次方程定义可得： 解得 ∴ 2 2．若m是方程的根，则 ． 6 解：∵m是方程的根， ∴， 即：， ∴ 拓展提升 拓展提升 3.已知 是一元二次方程 的一个根，求代数式 的值。 解：将 代入方程，得 ， 即 。 ∵， ∴把 代入， 得 。 真题感知 1.（2024·浙江杭州拱墅区期末） 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） ； B. ； C. ； D. 。 解： A：分式方程； B：含两个未知数 、，二元方程； C：整理为 ，符合定义； D：一元一次方程。 C 真题感知 2.（2023·浙江宁波中考改编）已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ） 5； B. -5； C. 4； D. -4。 解：将 代入方程，得 ， 即 ， 合并得 ， 解得 。 3．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 5．（2025·云南昆明·一模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． A 真题感知 1、等号两边都是________，只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程. 2、一元二次方程的一般形式是：____________________. 整式 一 2 ax2+bx+c=0（a≠0） 左右两边相等 一元二次方程的根 课堂小结 3、使方程 的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做 . 一元二次方程 核心概念 定义： 两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程 根（解）：代入验证是否成立 一般形式 ax²+bx+c=0（ a≠0 ） 系数识别：注意二次项系数a≠0及符号 数学思想 建模思想： 实际问题转化为方程 转化思想： 未知转化为已知 易错点 忽略二次项系数 a ≠ 0 移项时忘记变号 各项系数符号判断错误 课堂小结 课后练习 （教材p32-33A组） 1.在下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ） A. C. D. D 解：一元二次方程需满足“只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”。 A、B、C选项均符合一元二次方程定义。 D选项展开后为 ，即 ，未知数最高次数为3，属于一元三次方程，因此不属于一元二次方程。 课后练习 （教材p32-33A组） 2.把一元二次方程 化成一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. A 解： A 分析：根据平方差公式：，得 根据完全平方公式：，得： 课后练习 （教材p33A组） 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3、填表： 解：：补充一次项和常数项后，一般形式为 ，对应系数分别为2、0、0。 ：，移项得 ，对应系数为 、0、-3。 ：展开得 ， 移项合并后为 ，对应系数为3、-14、9。 1 -4 -3 2 0 0 0 -3 3 -14 9 课后练习 （教材p33B组） 4、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根： () 解：：代入得 ，等式成立，是方程的根。 ：代入得 ，等式成立，是方程的根。 ：代入得 ，等式不成立，不是方程的根。 2). () ：代入得 ，等式成立，是方程的根。 ：代入得 ，等式不成立，不是方程的根。 ：代入得 ，等式成立，是方程的根。 课后练习 （教材p33B组） 4、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根： 3). () () ：代入得 ，即 ，等式成立，是方程的根。 ：代入得 ，即 ，等式不成立，不是方程的根。 ：代入得 ，即 ，等式不成立，不是方程的根。 ：代入得 ，等式成立，是方程的根。 ：代入得 ，等式不成立，不是方程的根。 ：代入得 ，等式成立，是方程的根。 课后练习 （教材p33B组） 5、将一个容积为 的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示。写出关于 的方程。该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一般形式。 解：设包装盒的高为， 列方程： ， 整理得 。 课后练习 （教材p33B组） 6.写一个一元二次方程，它的二次项系数为1，其中一个根为-2，另一个根为3。 解：根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程的两个根为 ，，则方程可表示为： 感谢聆听 $