专题04 整式的乘除考点清单汇编（十二大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新版）

专题04 整式的乘除考点清单汇编（十二大题型） 【题型1】同底数幂的乘法运算..............................................................................................1 【题型2】幂的乘方与积的乘方..............................................................................................4 【题型3】同底数幂的除法运算..............................................................................................7 【题型4】零指数幂和负整数的指数幂...................................................................................8 【题型5】科学计数法-表示较小的数.....................................................................................10 【题型6】整式的乘法.............................................................................................................11 【题型7】整式乘法的应用.....................................................................................................13 【题型8】整式除法运算........................................................................................................16 【题型9】平方差及几何意义................................................................................................18 【题型10】完全平方及几何意义.............................................................................................24 【题型11】整式的混合运算..................................................................................................30 【题型12】整式的化简求值...................................................................................................32 清单01 幂运算 1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 (a≠0,m,n均为正整数) 2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数 3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 5.零指数 a0=1 (a≠0) 6.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 7.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 清单02 整式的乘除 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单03 乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算 1．______． 【答案】 【分析】本题主要考查整数幂的运算，根据整数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 2．若，则___． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则. 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加得到，再把代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．若，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，利用同底数幂的乘法法则，将等式左边化为，右边写成，再比较指数得出结果即可． 【详解】解：∵，， ， ． 故答案为：2． 【题型2】幂的乘方与积的乘方及逆运算 4．若，，则________． 【答案】12 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则的逆运用； 利用指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故答案为 ：12． 5．已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 6．若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，根据幂的运算法则可得，再将，代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， 将，代入，可得． 故答案为：28． 7．计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方．应用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 8．计算：________． 【答案】 【分析】考查积的乘方运算． 应用积的乘方法则，分别计算系数和变量的平方． 【详解】原式 ． 故答案为：． 9．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法． 先计算积的乘方，同底数幂的乘法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．已知，，则______． 【答案】 54 【分析】本题主要考查了代数式求值，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：． 11．已知，，那么__________（用含和的式子表示） 【答案】 【分析】利用指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将 分解为 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，则由和得，，代入原式即可求解；本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【题型3】同底数幂的除法运算及逆运算 12．计算：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若，则_____________． 【答案】81 【分析】本题考查了同底数幂相除，已知式子的值求代数式的值，利用同底数幂的除法法则，将原式转化为，再代入已知条件计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：81． 14．已知，则的值是______． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算规则是解题的关键．利用同底数幂的除法法则，将等式左边化为，右边写成以2为底的幂形式，再比较指数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 15．，，则______． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴． 16．已知，，，则________． 【答案】20 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的除法，根据幂的乘方的逆运算法则得到，再根据同底数幂的除法的逆运算法则，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：． 故答案为：20． 17．已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆用． 逆用同底数幂的除法得到，逆用幂的乘方得到，进而将代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型4】零指数幂和负整数的指数幂 18．计算__________． 【答案】 【分析】先判断底数是否为非零数，再依据零指数幂的运算法则计算． 【详解】解：根据零指数幂的运算法则：任何不等于的数的次幂都等于， ∵， ∴， ∴． 19．计算∶=__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则，分别先计算出各项，再算加减运算． 【详解】解：原式 ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，负指数幂，掌握好相关的运算法则是关键． （1）按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可； （2）先将负指数幂和零指数幂化简，再按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 【题型5】科学计数法-表示较小的数 23．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，需遵循科学记数法的形式（其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数），确定与的值是解题关键． 【详解】解：∵科学记数法表示绝对值较小的数的形式为，其中，为原数左边第一个非零数字前面的0的个数， ∴对于，，原数左边第一个非零数字3前面有6个0，即， ∴， 故选：A． 24．“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为，则n的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 对于小于1的数，n为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 25．通常一根头发丝的直径约为70微米，已知1米微米，则一根头发丝的直径用科学记数法表示为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据1米微米，将70微米转换为米，再表示为标准科学记数法形式即可． 【详解】解：∵1米微米， ∴70微米米米米. 故选：D． 【题型6】整式的乘法的有关运算 26．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【详解】解： . 27．若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 28．若，则（   ） A．，B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法法则及多项式相等的条件，通过展开左边多项式，对比等式两边对应项的系数，建立方程求解和的值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，， 故选：C． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式与多项式的乘法法则进行计算即可； （2）先算单项式乘以多项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则，掌握知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答． （2）先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7】整式乘法的应用 32．如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个木制的长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的应用，能够列出乘法式子正确计算是解题关键． 先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：长方体的体积为： 故选：A ． 33．如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法运算及图形面积的理解．先计算出长为、宽为的长方形面积，再分析该面积表达式中与C类卡片面积相关项的系数，从而确定C类卡片的张数． 【详解】解：∵大长方形的长为、宽为， ∴大长方形面积为， 而A类正方形卡片的面积为，B类正方形卡片的面积为，C类长方形卡片的面积为， 由大长方形的面积可知，对应A类卡片的面积，对应B类卡片的面积，对应C类卡片的面积， ∴需要C类卡片的张数为， 故选：B． 34．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)绿化面积是平方米． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意是解题的关键． （1）绿化面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）解：当时，原式（平方米)． 答：绿化面积是平方米． 35．如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了多项式乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形变化准确表示出扩建后长方形的长和宽，再利用面积公式建立方程求解． （1） 先求出扩建后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出表达式并化简； （2） 先求出原面积与扩建后面积的差，代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：扩建后的长为：， 扩建后的宽为：， 扩建后的面积为： 故扩建后的面积为 平方米． （2）解：原面积为：， 面积增加量为：， 当 时，面积增加了400平方米， 代入得，即，， ∴． 答：的值为． 【题型8】整式除法运算 36．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂的指数相减，保留独有因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 37．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式的法则，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，然后相加． 【详解】解： ， 故答案为：． 38．已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______． 【答案】 【详解】解：∵ 长方形的面积为，一边长为， ∴ 它的另一边长为：． 39．如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为_____． 课后作业 1．计算： 2…… 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘以单项式．根据整式的除法，被除式等于商乘以除式，由此可求出被墨水覆盖的部分． 【详解】解：被覆盖部分为， 故答案为：． 40．弟弟不小心把小华的作业本撕掉了一角，留下了一道不完整的题目，如图所示，这是一道整式乘法题，被撕掉的是一个一次三项式，则被撕掉的多项式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式意，熟练掌握多项式除以单项式法则是解答本题的关键． 根据题意出算式，利用多项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 41．已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了：结果得，则______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式、整式的加减，由题意可知，，结合多项式除以单项式的运算法则即可得出，再根据整式的减法法则计算即可得解，理解题意，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9】平方差及几何意义 42．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 43．如图①从边长为的大正方形的四个角中挖去四个边长为的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．由图②到图①通过计算阴影部分的面积可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论． 【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为； 拼成的长方形的面积：， ∴得出， 故选：A． 44．如图所示，从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项） A． B． C． (2)若，，求的值． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查的是平方差公式，熟练掌握正方形和长方形的面积公式是解题的关键． （1）先计算出边长为a的大正方形的面积，边长为b的正方形的面积和剩余部分的长方形面积，由题可知，大正方形的面积﹣边长为b的正方形的面积＝剩余部分的长方形面积，即可得出答案； （2）由（1）可知：因此，将，代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题可知，边长为a的大正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， 剩余部分的长方形面积为：， ∴， ∴能验证的等式是， 故选：A． （2）解：由（1）可知：， ∴， 将，代入， 即， ∴． 45．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：________（请选择正确的选项）． A．    B． C．     D． (2)应用与计算：请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：． ②计算：． 【答案】(1)D (2)①800；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键． （）分别表示出图和图阴影部分的面积，根据面积相等即可求解； （）利用平方差公式直接计算即可求解； 利用平方差公式即可求解； 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为， 由图可得，阴影部分的面积为， ∵图和图阴影部分的面积相等， ∴， 故选：． （2）解： ； ． 46．如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)1． 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 故答案为：，； （2）解：以上结果可以验证乘法公式为：， 故答案为：； （3） ． 47．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 【题型10】完全平方及几何意义 48．如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，数形结合，熟记完全平方公式是解决问题的关键． （1）数形结合，表示出，利用完全平方公式展开后，合并同类项即可得到答案； （2）由（1）中所求的，将代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：放置冰块部分的面积 ； （2）解：当时，． 49．如图甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把得到的四块相同的长方形按图乙那样拼成一个正方形． (1)图乙中，中间的小正方形(阴影部分)的边长为 (用含m、n的式子表示)； (2)观察乙图，可得到和之间的等量关系，请直接写出这个等量关系式 ； (3)若，利用（2）的关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，已知式子的值求代数式的值，完全平方公式与几何图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题干甲乙这两个图形的关系，即可作答． （2）根据甲乙这两个图形的面积关系，整理得出，即可作答． （3）根据把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图： 则中间的小正方形(阴影部分)的边长为， （2）解：依题意，， 则图甲的长方形的面积、图乙的大正方形的面积分别为 结合面积关系：中间的小正方形(阴影部分)的面积为 即 （3）解：由（2）得 则 ∵， ∴ ∴ ∴ ， ∴． 50．数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用1张A种纸片，1张B种纸片和2张C种纸片拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的正方形，则需要C种纸片________张； (3)根据（1）中的等量关系，解决问题：当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)6 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是运用数形结合思想得出完全平方公式并灵活运用． （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出 ，，之间的等量关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片4张，B号卡片1张，C号卡片4张，即可解答； （3）由（1）的等量关系，代入求值即可解答． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：， 因此有； （2）解：， ∴要拼出一个面积为的正方形，则需要C种纸片4张； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 51．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解： 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若， ①则 ， ②求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）①3；②7；（3）长方形院子的面积为 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算、合并同类项、完全平方公式在几何图形中的应用； （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； ②由①可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 即， ∴； （2）①， 故答案为：3； ②由①得，， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 答：长方形院子的面积． 52．如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： (2)根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； (3)解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值． （1）方法1可采用两个正方形的面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）根据完全平方公式变形求值，即可求解； （3）设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【详解】（1）解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 两种方式表示的面积是相等可知：． 故答案为：；；． （2）解：∵ 由（1）得：， （3）设 ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【题型11】整式的混合运算 53．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式及合并同类项，熟练掌握整式乘法法则和乘法公式，并能准确合并同类项是解题的关键． （1）先利用单项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简． （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 54．计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握整式加减运算规则是解题关键．先将完全平方公式展开，再计算二项式乘二项式，最后，合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 55．计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，多项式乘多项式法则，整式的加减运算，正确运用计算公式与法则是解题关键． 先运用平方差公式和多项式乘法展开原式，再通过去括号、合并同类项，最终化简得到结果． 【详解】解：原式 ． 56．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题可根据乘法公式及单项式乘以多项式进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 57．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）使用多项式除以单项式的法则，将每一项分别除以单项式； （2）运用完全平方公式和平方差公式进行展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型12】整式的化简求值 58．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；10 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及知识点：多项式除以单项式、平方差公式．解题方法是先分别化简除法和乘法部分，再合并同类项；解题关键是准确应用公式与运算法则，易错点是平方差公式的符号处理．解题思路：先算除法和乘法，再合并同类项，最后代入数值计算． 【详解】解： 代入，： 原式． 59．利用完全平方公式先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查整式的四则运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并得最简结果，然后把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 60．先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确运用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项． 先利用完全平方公式展开，平方差公式展开，再合并同类项化简式子，最后代入计算． 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 61．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，7 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 62．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；1 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用多项式除以单项式，用平方差公式运算，去括号，合并同类项得到最简结果，再把a与b的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘除考点清单汇编（十二大题型） 【题型1】同底数幂的乘法运算..............................................................................................3 【题型2】幂的乘方与积的乘方..............................................................................................4 【题型3】同底数幂的除法运算..............................................................................................4 【题型4】零指数幂和负整数的指数幂...................................................................................4 【题型5】科学计数法-表示较小的数.....................................................................................5 【题型6】整式的乘法.............................................................................................................5 【题型7】整式乘法的应用.....................................................................................................6 【题型8】整式除法运算........................................................................................................7 【题型9】平方差及几何意义.................................................................................................9 【题型10】完全平方及几何意义............................................................................................11 【题型11】整式的混合运算..................................................................................................13 【题型12】整式的化简求值...................................................................................................14 清单01 幂运算 1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 (a≠0,m,n均为正整数) 2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数 3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 5.零指数 a0=1 (a≠0) 6.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 7.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 清单02 整式的乘除 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单03 乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算 1．______． 2．若，则___． 3．若，则________． 【题型2】幂的乘方与积的乘方及逆运算 4．若，，则________． 5．已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 6．若，，则_______． 7．计算：____________． 8．计算：________． 9．计算：________． 10．已知，，则______． 11．已知，，那么__________（用含和的式子表示） 【题型3】同底数幂的除法运算及逆运算 12．计算：____________． 13．若，则_____________． 14．已知，则的值是______． 15．，，则______． 16．已知，，，则________． 17．已知，则___________． 【题型4】零指数幂和负整数的指数幂 18．计算__________． 19．计算∶=__________． 20．计算：． 21．计算： (1)； (2)． 22．计算：． 【题型5】科学计数法-表示较小的数 23．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 24．“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为，则n的值是（    ） A．6 B． C． D． 25．通常一根头发丝的直径约为70微米，已知1米微米，则一根头发丝的直径用科学记数法表示为（    ）米． A． B． C． D． 【题型6】整式的乘法的有关运算 26．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 27．若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 28．若，则（   ） A．，B．， C．， D．， 29．计算： (1)； (2)． 30．计算： (1)； (2)． 31．计算 (1) (2) 【题型7】整式乘法的应用 32．如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个木制的长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 33．如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 34．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 35．如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【题型8】整式除法运算 36．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 37．计算：________． 38．已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______． 39．如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为_____． 课后作业 1．计算： 2…… 40．弟弟不小心把小华的作业本撕掉了一角，留下了一道不完整的题目，如图所示，这是一道整式乘法题，被撕掉的是一个一次三项式，则被撕掉的多项式是______． 41．已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了：结果得，则______． 【题型9】平方差及几何意义 42．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 43．如图①从边长为的大正方形的四个角中挖去四个边长为的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．由图②到图①通过计算阴影部分的面积可以得到（    ） A． B． C． D． 44．如图所示，从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项） A． B． C． (2)若，，求的值． 45．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：________（请选择正确的选项）． A．    B． C．     D． (2)应用与计算：请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：． ②计算：． 46．如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 47．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【题型10】完全平方及几何意义 48．如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的值． 49．如图甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把得到的四块相同的长方形按图乙那样拼成一个正方形． (1)图乙中，中间的小正方形(阴影部分)的边长为 (用含m、n的式子表示)； (2)观察乙图，可得到和之间的等量关系，请直接写出这个等量关系式 ； (3)若，利用（2）的关系式，求的值． 50．数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用1张A种纸片，1张B种纸片和2张C种纸片拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的正方形，则需要C种纸片________张； (3)根据（1）中的等量关系，解决问题：当时，求的值． 51．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解： 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若， ①则 ， ②求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积． 52．如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： (2)根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； (3)解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 【题型11】整式的混合运算 53．化简： (1) (2) 54．计算：． 55．计算：． 56．计算：． 57．计算： (1) (2) 【题型12】整式的化简求值 58．先化简，再求值：，其中，． 59．利用完全平方公式先化简，再求值：，其中． 60．先化简，再求值：，其中． 61．先化简，再求值：，其中，． 62．先化简，再求值：，其中，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $