专题01 幂运算重难点题型汇编（八大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题01 幂运算重难点题型汇编（八大题型） 【题型1：直接应用幂的运算性质】................................................1 【题型2：混合运算】..........................................................1 【题型3：幂的大小比较】......................................................2 【题型4：幂的等式求解】......................................................3 【题型5：科学计数法中的应用】................................................3 【题型6：零指数与负指数】.....................................................4 【题型7：逆用幂的运算性质】..................................................4 【题型8：新定义运算】........................................................5 【题型1：直接应用幂的运算性质】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D．a 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．若，则“？”是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2：混合运算】 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．计算： ______． 7．已知，则_______． 8．计算：的结果是________． 9．计算： (1) (2)． 10．计算： (1) (2) 【题型3：幂的大小比较】 11．若，，，比较a、b、c的大小（　　） A． B． C． D． 12．已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 13．比较，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 14．已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 15．比较大小：______． 16．比较大小：____． 17．比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【题型4：幂的等式求解】 18．规定，求： (1)求； (2)若，求的值． 19．若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 20．若（都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【题型5：科学计数法中的应用】 21．国家移民管理局数据显示，2026年中国春节假期全国边检机关共计查验1779.6万人次中外人员出入境，较去年春节假期日均增长，将1779.6万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 22．据统计，年全国高考人数再次突破千万，高达万人．数据万用科学记数法可表示为（   ）． A． B． C． D． 23．钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克．数据“0.0008”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 24．某孢子体的孢蒴直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为，则n的值是（   ） A．6 B． C． D． 25．已知1米纳米，某种病毒的直径是234纳米，“234纳米”用科学记数法表示为______米． 【题型6：零指数与负指数】 26．计算：______． 27．若式子有意义，则实数满足___________ 28．计算：； 29．计算：． 【题型7：逆用幂的运算性质】 30．已知，，则 ________． 31．若，则______． 32．若，则代数式的值为____________． 33．已知，，为正整数，则______． 34．已知 (1)求的值． (2)求的值． 35．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【题型8：新定义运算】 36．我们定义一个新运算：，如，那么为（    ） A． B． C． D．32 37．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定．如，则的值为（    ） A．－3 B．1 C． D． 38．我们定义：三角形，四边形；若，则______． 39．新定义：如果，那么我们规定．例如：因为，所以．则_______． 40．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 41．阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂运算重难点题型汇编（八大题型） 【题型1：直接应用幂的运算性质】................................................1 【题型2：混合运算】..........................................................2 【题型3：幂的大小比较】......................................................5 【题型4：幂的等式求解】......................................................7 【题型5：科学计数法中的应用】................................................10 【题型6：零指数与负指数】.....................................................11 【题型7：逆用幂的运算性质】..................................................12 【题型8：新定义运算】........................................................14 【题型1：直接应用幂的运算性质】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D．a 【答案】B 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可求解． 【详解】解：． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得. 3．若，则“？”是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方法则建立方程求解即可． 【详解】解：设“？”为， ∵， ∴， ∴， 解得：，即“？”是． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算规则与同类项的概念，需依据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则及同类项定义，对每个选项进行判断 【详解】∵同底数幂相除，底数不变，指数相减 ∴，故A选项正确 ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ∴，故B选项错误 ∵与不是同类项，不能直接合并 ∴无法化简为，故C选项错误 ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘 ∴，故D选项错误 故选：A 【题型2：混合运算】 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可． 【详解】解：． 故选A． 【点睛】本题考查幂的混合运算．掌握运算法则是解题关键． 6．计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．已知，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了幂的运算，根据幂的运算法则得到和得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 8．计算：的结果是________． 【答案】 【分析】根据整式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 9．计算： (1) (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先算幂的乘方，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握幂的乘方法则，去括号、合并同类项法则是解决本题的关键． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算法则进行计算； （2）根据积的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了乘方混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【题型3：幂的大小比较】 11．若，，，比较a、b、c的大小（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．利用零指数，负整数指数幂的运算法，计算、、的值，再比较大小． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：C． 12．已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：A． 13．比较，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方的逆用可进行排除选项． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键． 14．已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用． 本题应先将、d化为指数都为2的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ ， 故选：D． 15．比较大小：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，将转化为 ，然后比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 16．比较大小：____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是把这两个数写成指数相同的幂．先根据乘方的意义，把写成，写成的形式，然后比较大小即可． 【详解】解： ， ， ，， ，即， 故答案为：． 17．比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方将两数变形后变形大小． 【详解】解：， ， ， ， 故 ． 故答案为：． 【题型4：幂的等式求解】 18．规定，求： (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)27 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确理解题目中给出的式子，正确计算是解答本题的关键． （1）根据题意把写成的形式，算出最后结果即可； （2）根据给出的式子，表示出，而，根据等式算出最后结果即可． 【详解】（1）解：， ； （2）∵，， ， ∴， 解得：． 19．若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 20．若（都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把32写成，再根据同底数幂相乘法则进行计算，从而列出关于x的方程，解方程即可； （2）先把各个底数化成2，再根据幂的乘方和同底数幂乘除法则进行计算，从而列出关于x的方程，解方程即可． 本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、幂的乘方和同底数幂乘除法则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴． 【题型5：科学计数法中的应用】 21．国家移民管理局数据显示，2026年中国春节假期全国边检机关共计查验1779.6万人次中外人员出入境，较去年春节假期日均增长，将1779.6万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将带“万”单位的数转换为普通整数，再根据科学记数法的规则确定a和n的值即可． 【详解】解：∵1779.6万， 科学记数法的表示形式为，要求，n为整数， 将17796000的小数点向左移动7位，可得到符合要求的， ∴． 22．据统计，年全国高考人数再次突破千万，高达万人．数据万用科学记数法可表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为，其中，为整数，确定和的值后按一般形式表示即可． 【详解】解：∵万， ∴将表示为时，，满足，小数点向左移动了位，即， ∴万用科学记数法可表示为． 23．钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克．数据“0.0008”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 24．某孢子体的孢蒴直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为，则n的值是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】将小数写成的形式，其中，n为负整数，n的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案． 【详解】解：，则． 25．已知1米纳米，某种病毒的直径是234纳米，“234纳米”用科学记数法表示为______米． 【答案】 【分析】根据科学记数法的一般形式（其中，为正整数），先将纳米单位换算为米，再转化为符合要求的科学记数法形式即可解答． 【详解】解：因为1米纳米，所以1纳米米， 则234纳米米米． 【题型6：零指数与负指数】 26．计算：______． 【答案】10 【分析】本题考查负整数指数幂与零指数幂的运算，掌握知识点是解题的关键． 依据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 27．若式子有意义，则实数满足___________ 【答案】 【分析】依据零指数幂有意义的条件求解． 【详解】解：， 解不等式得． 28．计算：； 【答案】1 【分析】分别计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再计算加减． 【详解】解： ． 29．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；根据乘方运算、零次幂及负指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【题型7：逆用幂的运算性质】 30．已知，，则 ________． 【答案】12 【分析】逆用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 31．若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方逆运算．将看作一个整体并求出其值，然后逆用幂的乘方，同底数幂相乘将变形为，再整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 32．若，则代数式的值为____________． 【答案】2 【分析】本题考查幂的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键，利用幂的乘方将原式进行化简，再整体代入求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：2． 33．已知，，为正整数，则______． 【答案】2 【分析】本题考查指数运算的性质，掌握知识点是解题的关键． 利用指数运算的性质，将表示为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 34．已知 (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和除法的逆运算，进行求解； （2）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】重点掌握幂的运算法则． 35．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 【题型8：新定义运算】 36．我们定义一个新运算：，如，那么为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据新定义运算，列出算式，再根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【详解】解：由题意得：=， 故选A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘方法则，熟练掌握上述法则，是解题的关键． 37．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定．如，则的值为（    ） A．－3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： = = =． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 38．我们定义：三角形，四边形；若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而求得四边形的值为，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴． 故答案为：． 39．新定义：如果，那么我们规定．例如：因为，所以．则_______． 【答案】2 【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及负整数指数幂．根据定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 40．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算，正确理解利用新运算规则是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出 ，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ∵ ∴ ∴ ∴ 41．阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $