第5章 问题解决策略：转化&培优专题19：应用轴对称图形的性质的五种技巧-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

☑同行学案学练测七年级数学下BS 问题解决 类型一：从对称的角度解决策略问题 1.甲、乙两名同学玩抢硬币游戏.将7枚硬币排 成一行，两人轮流从中取一枚或相邻的两枚 硬币，如果两枚硬币中间有空位，则不能将这 两枚硬币同时拿走，谁取走最后一枚硬币谁 就获胜.如果甲同学先取，并确保获胜，甲会 先取( F1: 1号 2号 3号4号5号 6号 7号 A.2号 B.3号 C.4号 D.5号或6号 2.芳芳和明明要玩一个游戏：两人轮流在一个 正方形硬纸板上放同样大小的硬币，规则：每 人每次只能放一枚，让硬币平躺在桌面上，任 何两枚硬币不能重合.谁放完最后一枚，使得 对方再也找不到空地放下一枚硬币的时候， 谁就赢了.如果芳芳走第一步，她应该放在哪 里才可能稳操胜券？请说明你的理由. 类型二：用转化的思维求解图形面积 3.计算图中阴影部分的面积.（π取3.14） R=2厘米 128做神龙题得好成绩 策略：转化 4.如图，两个正方形的边长分别是8分米和 6分米，求图中阴影部分的面积： 类型三：用转化的思维求解最短路径问题 模型1：两定一动 十十十十十十 [类型1：异侧型] 如图，定，点A,B在直线1的两侧，在1上找 一点P,使PA十PB的值最小. 作法：如图，连接AB,AB与直线1的交点 即为所求的点P 证明：.PA十PB≥AB,.PA十PB的最 小值为线段AB的长. A' ‘B [类型2：同侧型] 如图，定点A,B在直线1的同侧，在直线1 上找一，点P,使PA十PB的值最小. 十++++++++++十++十+++十++十 作法：如图，作点B关于直线1的对称点 B,连接AB',AB'与直线1的交点即为所 求的点P 证明：.PA十PB=PA+PB≥AB', .PA十PB的最小值为线段AB'的长。 B A B B 十十十十十十4十十十十十十十十十”十十十十十十 5.如图，A,B两个小镇在河流的同侧，随着居民 用水量的增加，现需要在河边1上修建一个自 来水厂P,分别向两个小镇供水.为了使所用 水管最短，则下列图形中自来水厂P的位置 正确的是() B. 6.如图，D,E分别是等边三角形ABC中BC, AB边的中点，AD=6,F是线段AD上的动 点，则BF+EF的最小值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 第6题图 第7题图 7.如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中 点，P,Q分别为AB,AD上的点，且BP= AQ=3,QD=2,在BD上有一动点E,则PE十 第五章图形的轴对称 QE的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 模型2：两动一定 [模型归纳] 如图，P为∠AOB内一点，在射线OA,OB上 分别找点M,N,使△PMN的周长最小 P 0 B 作法：如图，分别作点P关于射线OA,OB 的对称，点P1,P2,连接P1P2,P1P2与两条 射线的交点即为所求点M,N. N B P2 证明：，'CAPMN=PM+PN+MN=P,M +P2N+MN≥P1P2,∴.当P1,M,N,P2 四，点共线时，PM+PN十MN的值最小，最 小值为线段PP2的长 8.如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内一条射 线，P为射线OC上一点，OP=6,M,N分别 为OA,OB上的动点，则△MNP周长的最小 值为 0■ N B 9.如图，∠AOB=44°，P为∠AOB内一定点， 点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的 周长取最小值时，∠MPN的度数为() B A.82° B.84° C.88° D.92° 做神龙题得好成绩129 /同行学案学练测七年级数学下BS 培优专题19：应用轴对称图形的性质的五种技巧 学 技巧一：利用等量代换求三角形周长 技巧四：构造“三线合一”模型说明线段的数量 1.如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10, 关系 AD平分∠BAC交BC于点D,AD的垂直平 4.如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC, 分线交AC于点E,连接DE,则△CDE的周 ∠BAC=90°，BF平分∠ABC,CD⊥BD交 抽象能力 长为() BF的延长线于点D.试说明：BF=2CD. 运算能力 几何直观 A.23 B.26 C.18 D.15 技巧二：构建方程求角的度数 间 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC, 念 ∠ABC的平分线相交于点D.若∠ADB= 推理 130°，则∠BAC的度数为 能力 数据观 技巧五：构造“三线合一”模型说明角的数量 关系 模型 B 5.如图所示，在△ABC中，AB=BC,点D为 技巧三：构造几何模型说明线段的位置关系 BC上一点，DE⊥AB于点E,DF⊥BC交 3.如图，在△ABC中，AC=2AB,AD平分 应 AC于点F. ∠BAC,E是AD上一点，且EA=EC.试说 (1)若∠AFD=160°，则∠A= 识 明：EB⊥AB. (2)若点F是AC的中点，试说明：∠CFD= 创新意识 2∠ABC. E B D C 130做神龙题得好成绩点P,点P就是桥的位置（作法不唯一）.理由：两点之间 因为点E为CD的中点，所以DE=CE.在△ADE和 线段最短. (∠D=∠ECF △FCE中， {∠DAE=∠F,所以△ADE≌△FCE DE=CE P----- (AAS),所以AD=FC.(2)因为BF=BC+FC,所以 BF=BC十AD.因为△ADE≌△FCE,所以AE=EF.因 17.B18.60°19.1520.100 为BE⊥AE,所以BE垂直平分AF,所以AB=BF,所以 21.15°或75°[解析]如图所示，当点P在点B的左侧时， AB=BC-AD. .AB=AC,∠ABC=70°，∴.∠ACB=∠ABC=70°， 14.7815.50°16.125° ∴.∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°= 第3课时角平分线的性质 40.CA=CP1,∠CAP,=∠CP,A=180°∠ACP 1.相等2.33.B4.45.4 6.(1)45cm2(2)37.B _180°70°=55，∠BAP,=∠CAP,-∠CAB=55 8.提示：分别作∠CD的平分线、线段AB的垂直平分线，它 2 们的交点即为点P的位置. -40°=15°.当点P在点C的右侧时，，AB=AC, 9.(1)提示：分别作AB,AC边的垂直平分线，相交于点P,点 ∠ABC=70°，∴.∠ACB=∠ABC=70°，.∠BAC=180 P即为所求.(2)4 -∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°.，CA=CP2, 10.解：(1)因为AB∥CD,所以∠ACD十∠CAB=180°.又因 易知∠CAP,=∠CP,A=180°-∠ACP2=∠ACB70 为∠ACD=138°，所以∠CAB=42°.由作法知AM是 2 2 2 =35°，∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=35°+40°=75°. ∠CAB的平分线，所以∠MAB=号∠CAB=2I. 综上，∠BAP的度数是15或75° (2)因为AM平分∠CAB,所以∠CAM=∠MAB.因为 AB∥CD,所以∠MAB=∠CMA,所以∠CAM= ∠CMA.又因为CN⊥AM,所以∠ANC=∠MNC.在 |∠ANC=∠MNC △ACN和△MCN中，因为∠CAM=∠CMA,所以 P B CN=CN 22.3或24或27 △ACN≌△MCN(AAS). 23.解：OC=CD=DE,∴.∠O=∠ODC,∠DCE= 11.(1)4:5:6(2)6cm ∠DEC,∴∠DCE=180°-∠OCD=∠O+∠ODC= 2∠ODC.,∠O+∠OED=3∠ODC=180°-∠ODE= (3)2.5[解析]：AD是角平分线，AB=5,AC=3, ∠BDE=75°，.∠ODC=25.:∠CDE+∠ODC=180 5 S△Am=8SaAc=5.:BE是△ABD的中线， -∠BDE=105°，∴.∠CDE=105°-25°=80°. 1 24.母题：①②③④ S△AaE=2SaNm=2.5, 变式1：2等边三角形 12.解：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,作 变式2：解：因为△ABC,△ADE是等边三角形，所以AE DF⊥BC于点F.因为BD平分∠ABC,所以DE=DF. =AD,BC=AC=AB,∠BAC=∠DAE=60°，所以 因为∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，所以 ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠C=∠DAE.在△ADE和△CDF中，因为 ∠CAE,所以△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE.因 ∠DAE=-∠C 为BD=BC+CD=AC+CD,所以CE=AC+CD. ∠AED=∠CFD=90°，所以△ADE≌△CDF(AAS),所 第2课时线段垂直平分线的性质 DE=DF 1.C2.C3.B4.(1)C(2)16cm5.A 以AD=CD. 6.(1)B(2)120°7.(1)6(2)120°8.D 9.A[解析]作△ABC任意两边的垂直平分线，它们的交点 D 即为所求，可知超市的修建地址只有一处 10.D11.D12.B 13.解：(1)因为AD∥BC,所以∠D=∠ECF,∠DAE=∠F. FC ·28·同行学案学练测 问题解决策略：转化 的周长的最小值.∠AOB=44°，∠P'Pp”=360°-90 1.C[解析]甲会先取中间的4号，这样左边和右边都是 -90°-44°=136°，∴.∠P′+∠P"=44°.：∠P'= 3枚硬币，正好成轴对称，乙取几枚硬币，甲在另一边对称 ∠MPP',∠P"=∠P"PN,∴.∠MPN=∠P'PP"-(∠P 的位置取几枚硬币，这样确保甲取走最后一枚硬币. +∠P"=136°-44°=92°. 2.解：芳芳的第一步应放在正方形硬纸板的中心位置.这时， 明明放一枚硬币，芳芳就放在与明明的硬币对称的地方， 直到明明无处可放，芳芳就赢了 3.解：3.14X2×号 2×2÷2=1.14(平方厘米). 4.解：延长AD,HF相交于点N,如图. D 培优专题19：应用轴对称图形的性质的 五种技巧 1.C C 2.20°[解析]设∠BAC=x.因为在△ABC中，AB=AC,所 (8+6)×8-(8+6)×6÷2-(8-6)×6÷2-(8-6+8)× 8÷2=24(平方分米).图中阴影部分的面积是24平方分米. 以∠ABC=∠C=(180°-x.因为BD是∠ABC的平 5.B 6B[解析]如图，连接CE交AD于点F,连接BF. 分线，AD是∠BAC的平分线，所以∠ABD=(180°- :△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，∴.AD垂直 ）,∠DAB=号.因为∠ABD+∠DAB+∠ADB= 平分BC,∴.BF=CF,∴.BF+EF=CF+EF=CE,此时 BF十EF的值最小，最小值为CE的长.，D,E分别是 180,所以180-x)+2x+130°=180，所以x=20, BC,AB边的中点，AD=CE.AD=6,.CE=6,BF 即∠BAC=20°. 十EF的最小值为6. 3.解：如图，过点E作EF⊥AC于点F.因为EA=EC,所以 AC=2AF.又因为AC=2AB,所以AB=AF.因为AD平 分∠BAC,所以∠BAE=∠FAE.又因为AE=AE,所以 △AEB≌△AEF(SAS).所以∠ABE=∠AFE=90°，即 EB⊥AB. 7.A[解析].△ABC是等边三角形，D为AC的中点，AQ D =3,QD=2,..AD=DC=AQ+QD=5,..AB=BC=AC =10.如图，作点Q关于BD的对称点Q',连接PQ交BD 于点E,连接QE,此时PE十QE的值最小，最小值为PQ 4.解：如图，延长BA,CD交于点E 的长.AQ=AD+DQ'=5+2=7,∴.AP=AQ=7. :∠A=60°，∴△APQ'是等边三角形，.PQ=AP=7. 因为BF平分∠ABC,CD⊥BD,所以∠1=∠2，∠BDC= 8.6 ∠BDE=90°.又因为BD=BD,所以△BDC≌△BDE 9.D[解析]如图，作点P关于OA的对称点P',交OA于点 (ASA),所以BC=BE.因为BD⊥CE,所以CE=2CD.因 C,作点P关于OB的对称点P",交OB于点D,连接P'P” 为∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠AFB=∠DFC,所以∠2 交OA于点M,交OB于点N.OA,OB分别为PP',PP" =∠ACE.又因为AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°，所以 的垂直平分线，.∠PCO=∠PDO=90°，PM=P'M,PN △ABF≌△ACE(ASA).所以BF=CE.故BF=2CD. =P"N(垂直平分线的性质)，此时P'P"的长即为△PMN5.解：(1)70(2)如图，连接BF.因为AB=BC,且点F是 AC的中点，所以BFLAC,.∠ABF=∠CBF=2∠ABC, ∠ABF=90°，∴.∠BFD=∠BDF=45°.同理，∠AFE= 45°，.∠DFE=45°+45-50°=40°. 所以∠CFD+∠BFD=90°.因为DF⊥BC,所以∠BDF= 90°，所以∠CBF+∠BFD=90°，所以∠CFD=∠CBF,所 以∠CFD-2∠ABC. 4.解：：AE∥BC,.∠EAD=∠BDA.AB=AD, 培优专题20：等腰三角形与全等三角形 ∴∠BDA=∠B,.∠EAD=∠B.在△ABC和△DAE 的综合应用 (AB-AD 1.C[解析]如图，延长DE交AB的延长线于点F.E为 中，∠B=∠EAD,∴.△ABC≌△DAE(SAS). BC-AE BC的中点，∴.BE=EC.AB∥CD,∴∠F=∠CDE.在 5.解：(1)AD∥EB,∴.∠DAC=∠B.在△ACD和△BEC [∠F=∠CDE (AD-BC △BEF与△CED中，，{∠BEF=∠CED,∴.△BEF≌ 中，∠DAC=∠B,.△ACD≌△BEC(SAS),,.CD= BE-EC AC-BE △CED(AAS),∴.EF=DE,BF=CD=3,∴.AF=AB+ CE.,CF⊥DE,∴.CF平分∠DCE.(2)由(1)得△ACD BF=8.AE⊥DE,EF=DE,∴.AD=AF=8. ≌△BEC,∴.CD=CE,∠ADC=∠BCE,∠DCF= A ∠ECF.易知∠DCF=∠AGC+∠ADC,∠ECF=∠BCF +∠BCE,∴.∠AGC=∠BCF=∠ACG,∴AG=AC, ..DG=AD+AG=BC+AC=AB=6. 6.解：(1)：AB=AC,∠BAC=30°，.∠ABC=∠ACB= 合180-300=75.DB=DC,∠D0B=30,ZDBC 2.C[解析]在射线AD上截取AE=AB,连接CE,如图所 =∠DCB=30°，∴.∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°.在 示.∠BAD=90°，AC平分∠BAD,∠BAC=∠EAC. (AB-AC AC-AC △ABD和△ACD中，{DB=DC,∴.△ABD≌△ACD 在△ABC与△AEC中，∠BAC=∠EAC,∴.△ABC≌ AD-AD AB-AE (SS),∠BAD=∠CAD=2∠BAC=15易得∠ADE △AEC(SAS),∴.BC=EC,∠B=∠AEC.·CB=CD, =∠ABD+∠BAD=60°，.∠ADB=180°-∠ADE= .CD=CE,∴.∠CDE=∠CED,.∠B=∠CDE. 180°-60°=120°.(2)DE=AD+CD.理由：如图，在线 ,∠ADC+∠CDE=180°，∴.∠ADC+∠B=180°. 段DE上截取DM=AD,连接AM.,∠ADE=60°，DM =AD,易得△ADM是等边三角形，∴.∠ADB=∠AME= 120°.AE=AB,.∠ABD=∠E.在△ABD和△AEM ∠ABD=∠E 中，∠ADB=∠AME,∴.△ABD≌△AEM(AAS),.BD A D E AB-AE 3.40°[解析]如图，连接BD,AE.:DA⊥AB,FC⊥AB, =ME.BD=CD,.CD=ME.DE DM+ME, .∠DAB=∠BCF=90°.在△DAB和△BCF中， ..DE=AD+CD. DA=BC ∠DAB=∠BCF,·△DAB≌△BCF(SAS),,∴.BD= AB-FC BF,∠ADB=∠ABF,∴.∠BDF=∠BFD.,∠DAB= 90°，∴∠ADB+∠DBA=90°，.∠DBF=∠ABD+ 培优专题21：等腰三角形与一线三等角 章末复习 1.60°[解析].△ABC是等边三角形，∴.∠BCN=∠ABM 1.B2.D3.C4.C5.87 =60°，AB=BC.在△ABM和△BCN中， 6.4[解析]，AB=AC=12,.∠B=∠C.,∠ADE= (BM=CN ∠B,∠BAD=180°-∠B-∠ADB,∠CDE=180°- ∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS),.∠N= ∠ADE-∠ADB,·∠BAD=∠CDE.,AE的垂直平分 线交BC于点D,∴.AD=ED.在△ABD与△DCE中， AB-BC I∠BAD=∠CDE ∠M.易知∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM= ∠B=∠C ,.△ABD≌△DCE(AAS),.CD= ∠ACB=60° AD-DE 2.解：(1)AB=AC,.∠B=∠C.AB=AD+BD,AB AB=12,BD=CE.'.'CD=3BD,.'.CE=BD=4. =AD+EC,.BD=EC.在△DBE和△ECF中， 7.C8.C9.50°10.36°11.60° BE=CF 12.解：(1)20°70°70 ∠B=∠C,∴△DBE≌△ECF(SAS),∴.DE=EF. (2)AE=BE.理由：如图，连接CE.,AB=AC,AD是 BD-EC BC边上的高，∴.BD=CD,AD⊥BC,∴BE=CE.:EF 是线段AC的垂直平分线，AE=CE,∴.AE=BE. 2∠A=40,∴∠B=∠C=号(180-40)=70， (3)由(1)(2)可知，∠ABC=70°，AE=BE,∴.∠ABE= .∠BDE+∠DEB=110°.又，△DBE≌△ECF, ∠BAD=20°，∴.∠EBD=∠ABC-∠ABE=70°-20° .∠BDE=∠FEC,∴.∠FEC+∠DEB=110°，∴.∠DEF =50°. =70°.(3)当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°.理 由：：∠EDF+∠EFD=120°，.∠DEF=60°.由(2)知， ∠DEF=∠B,∴∠B=60°.AB=AC,∴.△ABC是等边 三角形，∠A=60°. 3.解：(I)BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴.∠BDA=∠CEA B D C =90°.∠BAC=90°，∴.∠BAD+∠CAE=90°. 13.解：(1)·∠ADC=180°-∠ADB=∠B+∠1，∠B= ,∠BAD+∠ABD=90°，∴.∠CAE=∠ABD.在△ADB ∠1，.2∠B=80°，∴.∠B=40°.AB=CB,∠BAC= ∠ACB,.∠ACB=(180°-40)÷2=70°.CE平分 (∠BDA=∠CEA ∠ACB,∴∠2=∠3=35. 和△CEA中，了∠ABD=∠CAE,∴.△ADB≌△CEA (2)设∠B=x,则∠1=x.EF∥AB,.∠DEF=∠1= AB-AC (AAS),.'.AE=BD,AD=CE,.DE=AE+AD=BD+ 2∠ACB=0-7,∠2=∠3=46-青， CE.(2)成立.∠BDA=∠BAC=a,∠DBA+ ∴∠DEC=180°-（∠EDC+∠DCE)=180°-（2x+45° ∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a,∴.∠DBA= (∠BDA=∠CEA -})=135-子x,∠PBC=∠FED+∠CED=x ∠CAE.在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CAE, +135-7=1s5-,∠FBC=3∠8 LAB-AC 14.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求. .△ADB≌△CEA(AAS),'.AE=BD,AD=CE,.DE =AE+AD=BD十CE.(3)△DEF为等边三角形.理 （②)△ABc的面积=2X4×2x2-合×1×2-2× 由：由(2)可知△ADB≌△CEA,∴.BD=AE,∠DBA= 1×4=3. ∠CAE.,△ABF和△ACF均为等边三角形，∴.∠ABF (3)如图所示，点P即为所求， =∠CAF=60°，BF=AF,∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+ ∠CAF,∴∠DBF=∠FAE.,在△DBF和△EAF中， (BD=AE ∠DBF=∠EAF,.△DBF≌△EAF(SAS),∴.DF= BF-AF EF,∠BFD=∠AFE,'.∠DFE=∠DFA+∠AFE= ∠DFA十∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形. 同行学案学练测·29·