第五章 图形的轴对称问题解决策略—— 转化课件 2025-2026学年 北师大版七年级数学下册

第五章　图形的轴对称 问题解决策略—— 转 策略精讲 问题初探 随 堂 测 策略应用 问题初探 返回目录 1.如图1，点A，B在直线l的异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小． (1)请你画出这样的点P； (2)这样做的原理是____________________． 图1 解：(1)画出点P如答图1所示． 答图1 两点之间线段最短 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 策略精讲 返回目录 类型一　两定点一动点 例1　如图2，现要紧挨一条笔直街道l修建供奶站C，来向A，B两个小区提供牛奶．供奶站应建在什么地方，才能使A，B两个小区到它的距离之和最短？ 将军饮马模型 例题讲练　 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 (1)如图3，如果在街道对面有一个小区A′，且A，A′关于街道对称，那么小区A到街道旁的距离__________小区A′到街道旁的距离(填“＞”“＜”或“＝”)； (2)请你在图3中画出供奶站的位置． 作图步骤： 作点A关于l的对称点A′，根据轴对称的性质，对于l上任意一点C，都有AC＝A′C，因此AC＋BC＝A′C＋BC.问题转为：在直线l上确定一个点C，使A′C＋BC最短． 根据“两点之间线段最短”，连接A′B，与l交于点C，点C就是所要确定的点． ＝ 解：如答图2，点C即为所求． 答图2 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 类型二　一定点两动点 例2　(BS七下P138改编)如图4，点P在∠AOB的内部，在射线OA上找出一点M，在射线OB上找出一点N，使PM＋MN＋NP的值最小． 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 (1)如果作出点P关于OA对称的点P1，那么此时OA上一点到点P与到点P1的距离有什么关系？ (2)请你在图5中继续作图，画出点M，N的位置． 作图步骤： 分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，根据轴对称的性质，对于OA上任意一点M，都有PM＝P1M，对于OB上任意一点N，都有PN＝P2N，因此PM＋PN＝P1M＋P2N.问题转为：分别在直线OA，OB上确定点M，N，使P1M＋MN＋P2N最短． 根据“两点之间线段最短”，连接P1P2，分别与OA，OB交于点M，N，点M，N就是所要确定的点． 解：(1)此时OA上一点到点P与到点P1的距离相等． (2)完成作图如答图3所示． 答图3 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 例3　如图6是由四个边长为3 cm的小正方形组成的长方形． 求阴影部分的面积 (1)你能在图中找到些面积相等的部分吗？并说明理由． 解：图中的4个扇形的面积均相等． 理由：因为相邻的两扇形都关于正方形一条边所在的直线对称(或因为它们的圆心角和半径都相等). 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 (2)请在图7中将阴影部分转为规则图形． (3)图中阴影部分的面积是__________cm. 解：(2)将阴影部分转为规则图形 如答图4所示．(答案不唯一) 18 答图4 转过程： 如下图，将阴影部分分为4个部分①②③④.由于图形①与⑤关于正方形一条边所在的直线对称，所以它们的面积相等，即可将阴影①对称至⑤的位置；同理也可将阴影④对称至⑥的位置． 最终阴影部分面积就转为由②③⑤⑥组成的规则图形，即两个小正方形的面积． 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 例4　现有两堆火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次只能在任意一堆中取1根或若干根(不能两堆同时取，也不能不取)，规定取走最后一根火柴的人获胜．已知甲、乙两人都按照最佳策略取火柴，且甲先取． 获胜策略 策略分析： 当两组物品的数量相等时，后取者可选择与前取者拿相同数量的物品，这样就能保证前取者总拿不到最后一件物品． 当两组物品的数量不相等时，前取者将数量多的一组多出的部分取出，即可变为数量相等的情况，此时前取者变为后取者的情况，后取者变为前取者的情况． 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 (1)若两堆火柴数量相等，则甲、乙谁会获胜？获胜的策略是什么？ 解：乙会获胜． 获胜的策略是：甲先在其中一堆火柴中取a根火柴，则乙就在另一堆火柴中也取a根火柴． 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 (2)若两堆火柴分别有26根和28根，则甲、乙谁会获胜？获胜的策略是什么？ 解：甲会获胜． 获胜的策略是：甲先从28根的那堆火柴中取走2根火柴，使两堆火柴的数量相等．后续当乙从任意一堆中取走火柴时，甲就从另一堆中取走同样多的火柴． 总结　转是解决数学问题的一种重要策略．通过转，可以把一个问题转为与它等价的问题，达到繁为简、难为易、不熟悉为熟悉的目的． 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 策略应用 返回目录 1．如图8，在△ABC中，AB＝10，AC＝5，BC＝8，直线l垂直平分AB，分别交BC，AB于点D，E，点F在直线l上，则AF＋CF的最小值是(　　) A．6 B．8 C．10 D．14 图8 B 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 2．如图9，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上找一点P，使PM＋PN的值最小，则点P应选在(　　) A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 图9 C 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 3．如图10，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为__________． 图10 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 4．某班举行儿童节晚会，将桌子从点O开始沿两条射线OA，OB摆放(如图11，中间无缝隙)，桌面OA上摆满了零食，桌面OB上摆满了饮料，坐在点C处的小明先去拿零食再去拿饮料，最后回到座位上，请你帮他确定一条路线，使其行走的路程最短．(不考虑桌面长度限制) 图11 解：如答图5，分别作点C关于OA，OB的对称点E，F，连接EF，分别交OA，OB于点M，N，则路线CMNC即为所求． 答图5 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 5．甲、乙两名同学玩抢硬币游戏．如图12，将7枚硬币排成一行，两人轮流从中取一枚或相邻的两枚硬币，如果两枚硬币中间有空位，那么不能将这两枚硬币同时取走，规定谁取走最后一枚硬币谁就获胜．如果甲同学先取，并确保获胜，那么甲会先取几号？获胜的策略是什么？ 图12 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 解：甲会先选4号． 获胜策略：根据轴对称的性质，甲先拿正中间的1枚硬币，这样使左右两边形成对称，乙拿多少数量的硬币，甲在另一边对称的位置拿相同数量的硬币，乙有的拿，甲就有的拿，这样就能确保甲取走最后一枚硬币，从而获胜． 点拨　尝试取走一枚或相邻的两枚后，将剩下的硬币分为相同的两部分． 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 6．如图13，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠B＝70°，D为BC的中点，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F.M为直线EF上一动点，当CM＋DM的值最小时，∠ACM的度数为__________． 图13 20° 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 7．如图14，∠AOB＝30°，P为∠AOB内一点，OP＝8.点M，N分别在射线OA，OB上，则△PMN周长的最小值为__________． 图14 8 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 随 堂 测 返回目录 1．如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是(　　) B 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 2.如图1，△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆，交AB于点D，连接CD(CD⊥AB)，则图中阴影部分的面积为__________． 图1 4 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 3．如图2，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B均在格点(网格线的交点)上，直线l与点A右侧2个单位长度的竖直方向的网格线重合． (1)请画出与线段AB关于直线l对称的线段A′B′； 图2 解：如答图1，线段A′B′即为所求． 答图1 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 (2)在l上找一点C，使得AC＋BC的值最小． 答图1 解：如答图，连接A′B交直线l于点C，连接AC， 此时AC＋BC＝A′C＋BC＝A′B最小，点C即为所求． 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 4．“抢30”游戏的规则是：第一个人先说“1”或“1，2”，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就得胜．如果采取适当策略，其结果是__________(填“先报数者”或“后报数者”)胜． 后报数者 第5课时　☆问题解决策略—— 转 返回目录 $