第5章 培优专题20：等腰三角形与全等三角形的综合应用&培优专题21：等腰三角形与一线三等角-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

AC的中点，所以BFLAC,.∠ABF=∠CBF=2∠ABC, ∠ABF=90°，∴.∠BFD=∠BDF=45°.同理，∠AFE= 45°，.∠DFE=45°+45-50°=40°. 所以∠CFD+∠BFD=90°.因为DF⊥BC,所以∠BDF= 90°，所以∠CBF+∠BFD=90°，所以∠CFD=∠CBF,所 以∠CFD-2∠ABC. 4.解：：AE∥BC,.∠EAD=∠BDA.AB=AD, 培优专题20：等腰三角形与全等三角形 ∴∠BDA=∠B,.∠EAD=∠B.在△ABC和△DAE 的综合应用 (AB-AD 1.C[解析]如图，延长DE交AB的延长线于点F.E为 中，∠B=∠EAD,∴.△ABC≌△DAE(SAS). BC-AE BC的中点，∴.BE=EC.AB∥CD,∴∠F=∠CDE.在 5.解：(1)AD∥EB,∴.∠DAC=∠B.在△ACD和△BEC [∠F=∠CDE (AD-BC △BEF与△CED中，，{∠BEF=∠CED,∴.△BEF≌ 中，∠DAC=∠B,.△ACD≌△BEC(SAS),,.CD= BE-EC AC-BE △CED(AAS),∴.EF=DE,BF=CD=3,∴.AF=AB+ CE.,CF⊥DE,∴.CF平分∠DCE.(2)由(1)得△ACD BF=8.AE⊥DE,EF=DE,∴.AD=AF=8. ≌△BEC,∴.CD=CE,∠ADC=∠BCE,∠DCF= A ∠ECF.易知∠DCF=∠AGC+∠ADC,∠ECF=∠BCF +∠BCE,∴.∠AGC=∠BCF=∠ACG,∴AG=AC, ..DG=AD+AG=BC+AC=AB=6. 6.解：(1)：AB=AC,∠BAC=30°，.∠ABC=∠ACB= 合180-300=75.DB=DC,∠D0B=30,ZDBC 2.C[解析]在射线AD上截取AE=AB,连接CE,如图所 =∠DCB=30°，∴.∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°.在 示.∠BAD=90°，AC平分∠BAD,∠BAC=∠EAC. (AB-AC AC-AC △ABD和△ACD中，{DB=DC,∴.△ABD≌△ACD 在△ABC与△AEC中，∠BAC=∠EAC,∴.△ABC≌ AD-AD AB-AE (SS),∠BAD=∠CAD=2∠BAC=15易得∠ADE △AEC(SAS),∴.BC=EC,∠B=∠AEC.·CB=CD, =∠ABD+∠BAD=60°，.∠ADB=180°-∠ADE= .CD=CE,∴.∠CDE=∠CED,.∠B=∠CDE. 180°-60°=120°.(2)DE=AD+CD.理由：如图，在线 ,∠ADC+∠CDE=180°，∴.∠ADC+∠B=180°. 段DE上截取DM=AD,连接AM.,∠ADE=60°，DM =AD,易得△ADM是等边三角形，∴.∠ADB=∠AME= 120°.AE=AB,.∠ABD=∠E.在△ABD和△AEM ∠ABD=∠E 中，∠ADB=∠AME,∴.△ABD≌△AEM(AAS),.BD A D E AB-AE 3.40°[解析]如图，连接BD,AE.:DA⊥AB,FC⊥AB, =ME.BD=CD,.CD=ME.DE DM+ME, .∠DAB=∠BCF=90°.在△DAB和△BCF中， ..DE=AD+CD. DA=BC ∠DAB=∠BCF,·△DAB≌△BCF(SAS),,∴.BD= AB-FC BF,∠ADB=∠ABF,∴.∠BDF=∠BFD.,∠DAB= 90°，∴∠ADB+∠DBA=90°，.∠DBF=∠ABD+ 培优专题21：等腰三角形与一线三等角 章末复习 1.60°[解析].△ABC是等边三角形，∴.∠BCN=∠ABM 1.B2.D3.C4.C5.87 =60°，AB=BC.在△ABM和△BCN中， 6.4[解析]，AB=AC=12,.∠B=∠C.,∠ADE= (BM=CN ∠B,∠BAD=180°-∠B-∠ADB,∠CDE=180°- ∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS),.∠N= ∠ADE-∠ADB,·∠BAD=∠CDE.,AE的垂直平分 线交BC于点D,∴.AD=ED.在△ABD与△DCE中， AB-BC I∠BAD=∠CDE ∠M.易知∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM= ∠B=∠C ,.△ABD≌△DCE(AAS),.CD= ∠ACB=60° AD-DE 2.解：(1)AB=AC,.∠B=∠C.AB=AD+BD,AB AB=12,BD=CE.'.'CD=3BD,.'.CE=BD=4. =AD+EC,.BD=EC.在△DBE和△ECF中， 7.C8.C9.50°10.36°11.60° BE=CF 12.解：(1)20°70°70 ∠B=∠C,∴△DBE≌△ECF(SAS),∴.DE=EF. (2)AE=BE.理由：如图，连接CE.,AB=AC,AD是 BD-EC BC边上的高，∴.BD=CD,AD⊥BC,∴BE=CE.:EF 是线段AC的垂直平分线，AE=CE,∴.AE=BE. 2∠A=40,∴∠B=∠C=号(180-40)=70， (3)由(1)(2)可知，∠ABC=70°，AE=BE,∴.∠ABE= .∠BDE+∠DEB=110°.又，△DBE≌△ECF, ∠BAD=20°，∴.∠EBD=∠ABC-∠ABE=70°-20° .∠BDE=∠FEC,∴.∠FEC+∠DEB=110°，∴.∠DEF =50°. =70°.(3)当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°.理 由：：∠EDF+∠EFD=120°，.∠DEF=60°.由(2)知， ∠DEF=∠B,∴∠B=60°.AB=AC,∴.△ABC是等边 三角形，∠A=60°. 3.解：(I)BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴.∠BDA=∠CEA B D C =90°.∠BAC=90°，∴.∠BAD+∠CAE=90°. 13.解：(1)·∠ADC=180°-∠ADB=∠B+∠1，∠B= ,∠BAD+∠ABD=90°，∴.∠CAE=∠ABD.在△ADB ∠1，.2∠B=80°，∴.∠B=40°.AB=CB,∠BAC= ∠ACB,.∠ACB=(180°-40)÷2=70°.CE平分 (∠BDA=∠CEA ∠ACB,∴∠2=∠3=35. 和△CEA中，了∠ABD=∠CAE,∴.△ADB≌△CEA (2)设∠B=x,则∠1=x.EF∥AB,.∠DEF=∠1= AB-AC (AAS),.'.AE=BD,AD=CE,.DE=AE+AD=BD+ 2∠ACB=0-7,∠2=∠3=46-青， CE.(2)成立.∠BDA=∠BAC=a,∠DBA+ ∴∠DEC=180°-（∠EDC+∠DCE)=180°-（2x+45° ∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a,∴.∠DBA= (∠BDA=∠CEA -})=135-子x,∠PBC=∠FED+∠CED=x ∠CAE.在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CAE, +135-7=1s5-,∠FBC=3∠8 LAB-AC 14.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求. .△ADB≌△CEA(AAS),'.AE=BD,AD=CE,.DE =AE+AD=BD十CE.(3)△DEF为等边三角形.理 （②)△ABc的面积=2X4×2x2-合×1×2-2× 由：由(2)可知△ADB≌△CEA,∴.BD=AE,∠DBA= 1×4=3. ∠CAE.,△ABF和△ACF均为等边三角形，∴.∠ABF (3)如图所示，点P即为所求， =∠CAF=60°，BF=AF,∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+ ∠CAF,∴∠DBF=∠FAE.,在△DBF和△EAF中， (BD=AE ∠DBF=∠EAF,.△DBF≌△EAF(SAS),∴.DF= BF-AF EF,∠BFD=∠AFE,'.∠DFE=∠DFA+∠AFE= ∠DFA十∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形. 同行学案学练测·29·第五章图形的轴对称☑ 培优专题20：等腰三角形与全等三角形的综合应用 1.如图，在四边形ABCD中，ABDC,E为BC5.如图，点C为线段AB上一动点，AD∥EB, 素 的中点，连接DE,AE,AE⊥DE.若AB=5, AC=BE,AD=BC,过点C作CF⊥DE于 CD=3,则AD的长为() 点F,CF所在直线交DA的延长线于点G. A.2 B.5 C.8 D.11 (1)试说明：CF平分∠DCE. 抽 B (2)若AB=6,求DG的长度. C 能 运算 第1题图 第2题图 2.如图，∠BAD=90°，AC平分∠BAD,CB= CD,∠B与∠ADC满足的数量关系 为() A.∠B=∠ADC B.2∠B=∠ADC C.∠B+∠ADC=180° D.∠B+∠ADC=90° 3.如图，点C在线段AB上，DA⊥AB,EB⊥ 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=30°， AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC= 点D是△ABC内一点，DB=DC,∠DCB= AB,∠AFB=50°，则∠DFE= 30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB. (1)求∠ADB的度数. (2)线段DE,AD,CD之间有什么数量关系？ 请说明理由. 4.如图，点D在△ABC的边BC上，AB=AD, BC=AE,AE∥BC.试说明：△ABC≌ △DAE. D 做神龙题得好成绩131 /同行学案学练测七年级数学下BS 数 培优专题21：等腰三角形与一线三等角 素 1.如图，已知△ABC为等边三角形，点M是射 3.(1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= 线BC上任意一点，点N是射线CA上任意 AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直 一点，且BM=CN,直线BN与AM相交于 线m,垂足分别为点D,E.试说明：DE= 点Q,则∠BQM的度数为 BD+CE. 抽象能力 (2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上， 运算能力 并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中 α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD十 B 几何直观 CE是否成立？若成立，请你给出说明过程； 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分 若不成立，请说明理由。 别在AB,BC,AC边上，且BE=CF,AD十 (3)拓展与应用：如图③，D,E是D,A,E三 间观 EC=AB. 点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互 (1)试说明：DE=EF. 不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且 推理能力 (2)当∠A=40时，求∠DEF的度数， △ABF和△ACF均为等边三角形，连接 (3)请你猜想，当∠A为多少度时，∠EDF+ BD,CE,DF,EF,若∠BDA=∠AEC= ∠EFD=120°，并请说明理由. 数据观 ∠BAC,试判断△DEF的形状并说明理由. ·模型观念·应用意识·创新意识 A E m 132做神龙题得好成绩