4.3 培优专题16：尺规作图&培优专题17：全等三角形性质与判定的综合应用-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

☑同行学案学练测七年级数学下BS 培优专题16 学 1.下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的 养 作法： ①以点O为圆心、适当长为半径画弧，交 OA,OB于点D,E; 抽象能 ②分别以点D,E为圆心，以大于2DE的长 运算 为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C; ③画射线OC,射线OC就是∠AOB的平 分线. 何直双 如图，在用尺规作角平分线的过程中，用到的 三角形全等的判定方法是( 空 间 A.ASA 念 B.SAS 理 C.SSS D.AAS 数据 2.如图是数轴的一部分，其单位长度为a.已知 名 △ABC中，AB=3a,BC=4a,AC=5a.用直 尺和圆规作出△ABC.(要求：使点A,C在数 轴上，保留作图痕迹，不必写出作法) 识 3.如图，已知线段a和∠a.求作：△ABC,使得 AB=a,BC=2a,∠ABC=∠a. 104做神龙题得好成绩 尺规作图 4.如图，已知线段a和∠O,只用直尺和圆规，求 作△ABC,使BC=a,∠B=∠O,∠C= 2∠B.(保留作图痕迹，不写作法) 0 5.已知一个三角形的两条边长分别是1cm和 2cm,一个内角为40°. 1 cm 2 cm 40 (1)请你画出一个满足题设条件的三角形. (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1) 中所画的三角形不全等的三角形？若能，请 你用尺规作图作出所有这样的三角形；若不 能，请说明理由. 第四章三角形☑ 培优专题17：全等三角形性质与判定的综合应用 学 1.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,QC= 3.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且 素 OD(OA<OC),∠AOB=∠COD,直线AC, B,C,D三点共线，连接AD,BE相交于点 BD交于点M,连接OM,试说明：∠OAM= P.试说明：AD=BE ∠OBM. 累 运算能 九问直观 理能力 2.如图，CA=CB,AD=BD,M,N分别为CA, 4.如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点， CB的中点，若∠ADN=80°，∠BDN=30°， AE是∠DAC的平分线，P是AE上的一点 求∠CDN的度数. (点P不与点A重合)，连接PB,PC.通过观 察、测量，猜想PB+PC与AB十AC之间的 大小关系并说明理由. 做神龙题得好成绩105 ☑同行学案学练测七年级数学下BS 5.如图所示，已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE= 学素养 AB,AF=AC.试判断线段EC与BF的关 系，并说明理由 D 抽象能力·运算能力·几何直观·空间观念·推理能力·数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 106做神龙题得好成绩 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BD,AE⊥ EC,垂足分别为点D,E,且∠BAE= ∠CAD. (1)试说明：△ABD≌△ACE. (2)设BD,CE相交于点O,∠BOC=140°，求 ∠OBC的度数. 7.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，D为 △ABC边AC上一点，BC=CD,点M在BC 的延长线上，CE平分∠ACM,且AC=CE, 连接BE交AC于点F,G为边CE上一点， 满足CG=CF,连接DG交BE于点H. (1)试说明：△ABC≌△EDC. (2)求∠DHF的度数. 第四章三角形 8.如图，点M是线段AB上一点，ED是过点M 垫 的一条直线，连接AE,BD,过点B作BF∥ 学素 AE,交ED于点F,且EM=FM (1)若AE=5,求BF的长 (2)若∠AEC=90°，∠DBF=∠CAE,试说 明：CD=FE. D 抽象能力·运算能力 几何直观·空间观念·推理能力·数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 做神龙题得好成绩107以△ABD≌△ECD(SAS),所以AB=EC.(2)由三角11.3 形的三边关系得EC十AC>AE.因为DE=AD,所以 12.解：：AC⊥BC,∴∠ACF+∠BCE=90°.，BE⊥FC, AE=2AD.又因为AB=EC,所以AB+AC>2AD. ∴∠BEC=90°，.∠CBE+∠BCE=90°，∠ACF= (3)1<AD<5 ∠CBE.,AF⊥FC,.∠F=90°.在△AFC和△CEB 第4课时选用合适的方法判定三角形全等 (∠F=∠CEB 1.C 中，∠ACF=∠CBE,∴.△AFC≌△CEB(AAS),∴.AF 2.AE=AF SAS(答案不唯一) AC-CB 3.解：因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,所以BF= =CE.EF=CF-CE,.'.EF=CF-AF. AB-DC 培优专题16：尺规作图 CE.在△ABF和△DCE中，因为∠B=∠C,所以△ABF 1.C BF=CE 2.解：如图所示 ≌△DCE(SAS),所以∠GEF=∠GFE,所以GE=GF(提 示：等角对等边). 4.D5.B6.(1)C(2)D 7.解：：DE∥AC,∠EDB=∠A.在△DEB与△ABC中， (DE=AB 3.解：如图所示. ,∠EDB=∠A,.△DEB≌△ABC(SAS),.∠E BD-CA =∠ABC. 8.A[解析]：OA=OD,AC=DE,.OA十AC=OD+ DE,即OC=OE.在△AOE和△DOC中， 4.解：如图所示 OA=OD ∠AOE=∠DOC,∴.△AOE≌△DOC(SAS),∴.DC= OE-OC AE,∠C=∠E.易知∠2=∠1+∠E,∴.∠2=∠1+∠C, 故甲、乙均正确. 5.解：示例：(1)如图①所示.(2)能.如图②所示. 9.解：(1)AB∥CD,∴∠A=∠D,∠ABO=∠DCO.在 X ∠A=∠D △ABO和△DCO中，AB=CD ,.△AB0≌ ∠ABO=∠DCO 409 40° △DCO(ASA). (2),△ABO≌△DCO,∴.BO=CO 1 cm .BECF,∴.∠OBE=∠OCF,∠OEB=∠OFC. ① 9 '∠OBE=∠OCF 培优专题17：全等三角形性质 在△OBE和△OCF中， ∠OEB=∠OFC,∴.△OBE≌ 与判定的综合应用 OB=OC 1.解：：∠AOB=∠COD,∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+ △OCF(AAS),∴.BE=CF. ∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中， 10.解：(1)BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE.在△ABE (OA=OB (AB=DB .∠AOC=∠BOD,∴.△AOC≌△BOD(SAS), 和△DBE中，{∠ABE=∠DBE,∴.△ABE≌△DBE OC=OD BE=BE ∴.∠OAC=∠OBD,即∠OAM=∠OBM. (SAS).(2)∠A=100°，∠C=50°，∠ABC=30°. (CA=CB :BE平分∠ABC,·∠ABE=∠DBE=合∠ABC= 2.解：在△CAD和△CBD中，{AD=BD,∴.△CAD≌ CD-CD 15°，∴.在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE= △CBD(SSS),∴.∠CDA=∠CDB,∠A=∠B.又·'AC= 180°-100°-15°=65°. CB,M,N分别为CA,CB的中点，∴.AM=BN.又：AD ·26·同行学案学练测 =BD,∴.△ADM≌△BDN(SAS),.∠ADM=∠BDN CG=CF =30°，∴.∠CDM=∠CDN.,∠ADN=80°，∴∠ADM+ (2)在△CDG和△CBF中，：{∠ACE=∠ACB, 2∠CDN=80°，.∠CDN=25. CD=BC 3.解：因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以CA= .△CDG≌△CBF(SAS),'.∠CBF=∠CDG.,∠DFH CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACE=60°， =∠BFC,∴∠DHF=∠BCF=6O°. 所以∠ACD=∠BCE=120°.在△ACD和△BCE中，因为 8.解：(1)BF∥AE,∠EAM=∠FBM,∠E=∠BFM. (CA=CB I∠EAM=∠FBM {∠ACD=∠BCE,所以△ACD≌△BCE(SAS),所以AD 在△AEM和△BFM中，，∠E=∠BFM ，,∴.△AEM CD-CE EM-FM =BE. ≌△BFM(AAS),∴.AE=BF.,AE=5,.BF=5. 4.解：PB十PC>AB十AC.理由如下：如图，在BA的延长线 (2)BF∥AE,.∠AEC=∠BFM.∠AEC=90°， 上截取AF=AC,连接PF.在△FAP和△CAP中，因为 ∴.∠BFM=90°，∴∠BFD=180°-90°=90°，∴.∠AEC= AF-AC ∠BFD.由(1)知AE=BF,.在△ACE和△BDF中， ∠FAP=∠CAP,所以△FAP≌△CAP(SAS),所以FP I∠CAE=∠DBF LAP-AP AE-BE ,△ACE≌△BDF(ASA),.CE= =CP.在△FPB中，FP+BP>FA+AB,即PB+PC> ∠AEC=∠BFD AB+AC. DF,..DF-CF=CE-CF,CD=FE 培优专题18：一线三等角模型 D 基本模型1：解：，∠B=∠ACD=90°，∴∠A十∠ACB= 90°，∠ACB十∠DCE=90°，∴∠A=∠DCE(同角的余角相 I∠A=∠DCE 等).在△ABC和△CED中，∠B=∠E,∴.△ABC≌ B AC-CD 5.解：EC=BF,EC⊥BF,理由如下：因为AE⊥AB,AF⊥ △CED(AAS),∴.BC=ED,AB=CE.,BE=CE+BC, AC,所以∠BAE=∠CAF=90°，所以∠BAE+∠BAC= .'.BE=AB+DE. ∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF.在△AEC和 基本模型2：解：∠E=∠BAD=90°，∴.∠D=∠BAC(同 (AE-AB ∠BAC=∠D △ABF中，因为∠EAC=∠BAF,所以△AEC≌△ABF 角的余角相等).在△ABC和△DAE中， ∠BCA=∠E, AC=AF AB-AD (SAS),所以EC=BF,∠AEC=∠ABF.因为AE⊥AB, .△ABC≌△DAE(AAS),.∴.BC=AE,AC=DE.'CE= 所以∠BAE=90°，所以∠AEC+∠ADE=90°.因为 AE-AC,..CE=BC-DE. ∠ADE=∠BDM(对顶角相等)，所以∠ABF十∠BDM= 基本模型3：解：BC⊥DE,∠CPE=90°，∠PCE十 90°.因为在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM ∠PEC=90°.，∠A=90°，.∠PCE+∠B=90°，∴.∠B= =180°-90°=90°，所以EC⊥BF. I∠B=∠CED 6.解：(1)∠BAE=∠CAD,∴.∠BAD=∠CAE.在 ∠PEC.在△ABC和△CED中，∠A=∠ECD,.△ABC I∠BAD=∠CAE BC=ED △ABD和△ACE中，：∠ADB=∠AEC,.△ABD≌ ≌△CED(AAS),.AB=CE,AC=CD.AE=AC-CE, AB-AC ∴AE=CD-AB. △ACE(AAS).(2):△ABD≌△ACE,∴.∠ABD= ∠ACE.,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴.∠OBC= 基本模型4：解：易知∠CPB=∠A+∠C.又，∠CPB= ∠OCB.∠B0C=140°，∠OBC=20°. ∠CPD+∠BPD,∠A=∠CPD,∴.∠C=∠BPD.在 7.解：(1)∠ACB=60°，.∠ACM=120°CE平分 I∠C=∠BPD △ACP和△BPD中，∠A=∠B,.△ACP≌△BPD ∠ACM,∴∠ACE=∠ACM=60在△ABC和△EDC PC=PD BC=CD (AAS),.'.AC=BP,AP=BD..'AB=AP+BP,..AB= 中，∠ACB=∠ECD,∴.△ABC≌△EDC(SAS). BD+AC. AC-CE 1.解：易知∠EFC=∠A十∠AGF,∠ABC=∠D十∠BGD.