5.2 第3课时 角平分线的性质-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

☑同行学案学练测七年级数学下BS 第3课时 角 即知识技能 >>>>>》>>》>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：角的对称性 1.(怀化中考变式)如图，OP平分∠AOB,PCL OA于点C,PD⊥OB于点D,M为OP上任 意一点，连接CM,DM,则CM和DM的大小 关系是 第1题图 第2题图 2.如图，OP平分∠MON,PE⊥OM于点E, PF⊥ON于点F,OA=OB,则图中有 对全等三角形 知识点二：角平分线的性质及其应用 3.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示， 则点P,Q,M,N中到∠AOB的两边距离相 等的是( ) M D AP点 B.Q点 C.M点 D.N点 4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD= 4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若点P 是BC边上一动点，则DP长的最小值 为 第4题图 第5题图 5.(湖州中考变式)如图，ABCD,BP和CP分 126做神龙题得好成绩 平分线的性质 别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与 AB垂直，若AD=8,则点P到BC的距离 为 6.[一题多辨](1)如图①，在△ABC中，∠A= 90°，BD平分∠ABC,AD=6cm,BC= 15cm,则△BDC的面积为 ① ② (2)如图②，AD是△ABC中∠BAC的平分 线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若 S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长 是 知识点三：角平分线的尺规作图及其应用 7.(枣庄中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆 心，大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点 P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4, AB=15,则△ABD的面积是( M A.15 B.30 C.45 D.60 8.如图，现有两个场地A,B位于两条公路OC, OD之间的地带，现要建一座物流中转站P, 若要求中转站P到两条公路OC,OD的距离 相等，且到两个场地A和B的距离相等.请用 尺规作出点P的位置， B 即数学理解+问题解决>》难度等级中等题 素养提升微专题 【三角形角平分线交点与 三边垂直平分线交点的区别】 9.[一题多辨]两两相交的三条公路经过A,B, C三个村庄. (1)要建一个水电站P到三 个村庄的距离相等，请在图 中通过尺规作图确定点P 的位置， (2)要建一个加油站Q,使加油站Q到三条公 路的距离相等，则这样的加油站Q的位置有 处 10.如图，AB∥CD,以点A为圆心，小于AC长 为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两 点，再分别以点E,F为圆心，大于EF的 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,作射 线AP,交CD于点M. (1)若∠ACD=138°，求∠MAB的度数 (2)若CN⊥AM,垂足为点N,试说明： △ACN≌△MCN. 第五章图形的轴对称√ 即联系拓广 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 … 素养提升微专题 【构造角平分线模型解决问题】 11.[一题多辨](1)如图①，△ABC的三边AB, BC,CA的长分别为40,50,60，其三条角平 分线交于点O,则S△ABO·S△B0·S△CA0 ① ② (2)如图②，△ABC的角平分线AD将BC 边分成2：1两部分，若AC=3cm,则AB= (3)如图③，△ABC中，AD 是角平分线，BE是△ABD 的中线，若△ABC的面积是 8,AB=5,AC=3,则B ③ △ABE的面积是 12.如图，在四边形ABCD中，BD平分 ∠ABC,∠A+∠C=180°.试说明： AD=CD. 做神龙题得好成绩127点P,点P就是桥的位置（作法不唯一）.理由：两点之间 因为点E为CD的中点，所以DE=CE.在△ADE和 线段最短. (∠D=∠ECF △FCE中， {∠DAE=∠F,所以△ADE≌△FCE DE=CE P----- (AAS),所以AD=FC.(2)因为BF=BC+FC,所以 BF=BC十AD.因为△ADE≌△FCE,所以AE=EF.因 17.B18.60°19.1520.100 为BE⊥AE,所以BE垂直平分AF,所以AB=BF,所以 21.15°或75°[解析]如图所示，当点P在点B的左侧时， AB=BC-AD. .AB=AC,∠ABC=70°，∴.∠ACB=∠ABC=70°， 14.7815.50°16.125° ∴.∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°= 第3课时角平分线的性质 40.CA=CP1,∠CAP,=∠CP,A=180°∠ACP 1.相等2.33.B4.45.4 6.(1)45cm2(2)37.B _180°70°=55，∠BAP,=∠CAP,-∠CAB=55 8.提示：分别作∠CD的平分线、线段AB的垂直平分线，它 2 们的交点即为点P的位置. -40°=15°.当点P在点C的右侧时，，AB=AC, 9.(1)提示：分别作AB,AC边的垂直平分线，相交于点P,点 ∠ABC=70°，∴.∠ACB=∠ABC=70°，.∠BAC=180 P即为所求.(2)4 -∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°.，CA=CP2, 10.解：(1)因为AB∥CD,所以∠ACD十∠CAB=180°.又因 易知∠CAP,=∠CP,A=180°-∠ACP2=∠ACB70 为∠ACD=138°，所以∠CAB=42°.由作法知AM是 2 2 2 =35°，∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=35°+40°=75°. ∠CAB的平分线，所以∠MAB=号∠CAB=2I. 综上，∠BAP的度数是15或75° (2)因为AM平分∠CAB,所以∠CAM=∠MAB.因为 AB∥CD,所以∠MAB=∠CMA,所以∠CAM= ∠CMA.又因为CN⊥AM,所以∠ANC=∠MNC.在 |∠ANC=∠MNC △ACN和△MCN中，因为∠CAM=∠CMA,所以 P B CN=CN 22.3或24或27 △ACN≌△MCN(AAS). 23.解：OC=CD=DE,∴.∠O=∠ODC,∠DCE= 11.(1)4:5:6(2)6cm ∠DEC,∴∠DCE=180°-∠OCD=∠O+∠ODC= 2∠ODC.,∠O+∠OED=3∠ODC=180°-∠ODE= (3)2.5[解析]：AD是角平分线，AB=5,AC=3, ∠BDE=75°，.∠ODC=25.:∠CDE+∠ODC=180 5 S△Am=8SaAc=5.:BE是△ABD的中线， -∠BDE=105°，∴.∠CDE=105°-25°=80°. 1 24.母题：①②③④ S△AaE=2SaNm=2.5, 变式1：2等边三角形 12.解：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,作 变式2：解：因为△ABC,△ADE是等边三角形，所以AE DF⊥BC于点F.因为BD平分∠ABC,所以DE=DF. =AD,BC=AC=AB,∠BAC=∠DAE=60°，所以 因为∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，所以 ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠C=∠DAE.在△ADE和△CDF中，因为 ∠CAE,所以△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE.因 ∠DAE=-∠C 为BD=BC+CD=AC+CD,所以CE=AC+CD. ∠AED=∠CFD=90°，所以△ADE≌△CDF(AAS),所 第2课时线段垂直平分线的性质 DE=DF 1.C2.C3.B4.(1)C(2)16cm5.A 以AD=CD. 6.(1)B(2)120°7.(1)6(2)120°8.D 9.A[解析]作△ABC任意两边的垂直平分线，它们的交点 D 即为所求，可知超市的修建地址只有一处 10.D11.D12.B 13.解：(1)因为AD∥BC,所以∠D=∠ECF,∠DAE=∠F. FC ·28·同行学案学练测 问题解决策略：转化 的周长的最小值.∠AOB=44°，∠P'Pp”=360°-90 1.C[解析]甲会先取中间的4号，这样左边和右边都是 -90°-44°=136°，∴.∠P′+∠P"=44°.：∠P'= 3枚硬币，正好成轴对称，乙取几枚硬币，甲在另一边对称 ∠MPP',∠P"=∠P"PN,∴.∠MPN=∠P'PP"-(∠P 的位置取几枚硬币，这样确保甲取走最后一枚硬币. +∠P"=136°-44°=92°. 2.解：芳芳的第一步应放在正方形硬纸板的中心位置.这时， 明明放一枚硬币，芳芳就放在与明明的硬币对称的地方， 直到明明无处可放，芳芳就赢了 3.解：3.14X2×号 2×2÷2=1.14(平方厘米). 4.解：延长AD,HF相交于点N,如图. D 培优专题19：应用轴对称图形的性质的 五种技巧 1.C C 2.20°[解析]设∠BAC=x.因为在△ABC中，AB=AC,所 (8+6)×8-(8+6)×6÷2-(8-6)×6÷2-(8-6+8)× 8÷2=24(平方分米).图中阴影部分的面积是24平方分米. 以∠ABC=∠C=(180°-x.因为BD是∠ABC的平 5.B 6B[解析]如图，连接CE交AD于点F,连接BF. 分线，AD是∠BAC的平分线，所以∠ABD=(180°- :△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，∴.AD垂直 ）,∠DAB=号.因为∠ABD+∠DAB+∠ADB= 平分BC,∴.BF=CF,∴.BF+EF=CF+EF=CE,此时 BF十EF的值最小，最小值为CE的长.，D,E分别是 180,所以180-x)+2x+130°=180，所以x=20, BC,AB边的中点，AD=CE.AD=6,.CE=6,BF 即∠BAC=20°. 十EF的最小值为6. 3.解：如图，过点E作EF⊥AC于点F.因为EA=EC,所以 AC=2AF.又因为AC=2AB,所以AB=AF.因为AD平 分∠BAC,所以∠BAE=∠FAE.又因为AE=AE,所以 △AEB≌△AEF(SAS).所以∠ABE=∠AFE=90°，即 EB⊥AB. 7.A[解析].△ABC是等边三角形，D为AC的中点，AQ D =3,QD=2,..AD=DC=AQ+QD=5,..AB=BC=AC =10.如图，作点Q关于BD的对称点Q',连接PQ交BD 于点E,连接QE,此时PE十QE的值最小，最小值为PQ 4.解：如图，延长BA,CD交于点E 的长.AQ=AD+DQ'=5+2=7,∴.AP=AQ=7. :∠A=60°，∴△APQ'是等边三角形，.PQ=AP=7. 因为BF平分∠ABC,CD⊥BD,所以∠1=∠2，∠BDC= 8.6 ∠BDE=90°.又因为BD=BD,所以△BDC≌△BDE 9.D[解析]如图，作点P关于OA的对称点P',交OA于点 (ASA),所以BC=BE.因为BD⊥CE,所以CE=2CD.因 C,作点P关于OB的对称点P",交OB于点D,连接P'P” 为∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠AFB=∠DFC,所以∠2 交OA于点M,交OB于点N.OA,OB分别为PP',PP" =∠ACE.又因为AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°，所以 的垂直平分线，.∠PCO=∠PDO=90°，PM=P'M,PN △ABF≌△ACE(ASA).所以BF=CE.故BF=2CD. =P"N(垂直平分线的性质)，此时P'P"的长即为△PMN5.解：(1)70(2)如图，连接BF.因为AB=BC,且点F是