5.2 简单的轴对称图形（第1课时）等腰三角形的性质 课件 -2024-2025学年北师大版七年级数学下册

5.2 简单的轴对称图形 （第1课时）等腰三角形的性质 素养目标 情 境 导 入 等腰三角形是生活中常见的图形，它有什么特征?下面我们一起来探究！ 观察下列图片，它们有什么共同的特征？ 合 作 探 究 如图,在△ABC中,AB=AC，则三角形为等腰三角形. 它的各部分名称分别是什么？ A B C (1)相等的两条边都叫腰; 腰 腰 底边 (2)另一边叫底边; 顶角 底角 底角 (3)两腰的夹角∠A叫顶角; (4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角. 合 作 探 究 解:(1)等腰三角形是轴对称图形. 如图，将等腰三角形沿过顶点的直线折叠,使得两底角重合,折痕所在的直线即为等腰三角形的对称轴. 两腰、两底角等都相等. (1)等腰三角形是轴对称图形吗?如果是,沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？ 合 作 探 究 (3)你认为等腰三角形有哪些特征?与同伴进行交流 (3)等腰三角形底边上的中线和底边上的高所在的直线是它的对称轴. (2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线?你是如何描述的？ (2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 新课探究 等腰三角形的性质 问题1：如图,在△ABC中,AB=AC，则三角形为等腰三角形.它的各部分名称分别是什么？ (1)相等的两条边都叫腰; (2)另一边叫底边; (3)两腰的夹角∠A叫顶角; (4)腰与底边夹角∠B，∠C叫底角. 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 新课探究 等腰三角形的性质 问题2：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的△ABC有什么特点？ 新课探究 等腰三角形的性质 AB=AC △ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴. 新课探究 等腰三角形的性质 问题2.1：把剪出的等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 线段 角 AB与________重合 AB与________重合 AD与________重合 ∠ABD与________重合 BD与________重合 ∠ADB与________重合 AC AD CD ∠CAD ∠ACD ∠ADC 新课探究 等腰三角形的性质 问题2.2：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 线段 角 AB与________重合 AB与________重合 AD与________重合 ∠ABD与________重合 BD与________重合 ∠ADB与________重合 AC AD CD ∠CAD ∠ACD ∠ADC 新课探究 等腰三角形的性质 问题2.3：由这些重合的线段，你能发现等腰三角形的其他性质吗？说一说你的猜想. 线段 角 AB与________重合 AB与________重合 AD与________重合 ∠ABD与________重合 BD与________重合 ∠ADB与________重合 AC AD CD ∠CAD ∠ACD ∠ADC 猜想：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 新课探究 等腰三角形的性质 问题3.2：根据所学知识，证明你的猜想. 已知：如图， △BAD≌ △CAD. 求证： AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶 角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线. 证明：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易，得 BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . 新课探究 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质: (1)等腰三角形是_________图形. (2)等腰三角形______的平分线、_______上的中线、_______上的高重合(也称“__________”),它们所在的直线是等腰三角形的________. (3)等腰三角形的___________相等. 轴对称 顶角 底边 底边 三线合一 对称轴 两个底角 等腰三角形“三线合一” 典例精讲 例1 如图， AB ＝ AC ． (1)若 AD ⊥ BC ， BC ＝10，则 BD ＝____________； (2)若 AD 平分∠ BAC ， CD ＝4，则 BC ＝____________. 5 8 等腰三角形的边角性质 典例精讲 例2 下列各图中，已知 AB ＝ AC ，求图中的 x . (1) (2) x ＝_________, x ＝_________. 70 30 例3.如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 等腰三角形的边角性质 典例精讲 提示：找出图中所有相等的角,确定等腰三角形的个数，通过三角形内角及外角之间的数量关系解答. 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD(等腰三角形的性质). 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 °. 在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 针 对 练 习 1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°. A 分类讨论思想. 针 对 练 习 解:∵AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC. 又∵BE⊥AC, ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°. ∴∠CBE=∠CAD. ∴∠CBE=∠BAD. 2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.试说明:∠CBE=∠BAD. 针 对 练 习 (1)等腰三角形“三线合一”的性质是说明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法; (2)在等腰三角形中,作“三线”中的“一线”,利用“三线合一”的性质是解决有关等腰三角形问题的常见方法. 方法归纳 针 对 练 习 3.如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,点E在AC上,且AE=AD,求∠EDC的度数. 随 堂 检 测 2.等腰三角形的一个角是50°,则它一腰上的高与底边的夹角是(　　) A.25° B.40° C.25°或40° D.不能确定 C D 1.如图所示，在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是(　　) A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD 4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上，∠BAD= ∠CAE,若BD=7,则CE的长为　　　　.  随 堂 检 测 50° 7 5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则该等腰三角形顶角的度数为　 　　　.  110°或70° 3.如图所示,小艾同学坐在秋千上,秋千旋转了80°,小艾同学的位置也从A点运动到了A′点,则∠OAA′的度数为　　　.  随 堂 检 测 6.如图所示，在△ABC中,AB=AC，∠A=40°，BD平分∠ABC，求∠BDC的度数. 随 堂 检 测 解:(1)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C=36°. ∵BD=CD,AB=AC, ∴AD⊥BC. ∴∠ADB=90°. ∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-36°=54°. 7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD, BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F. (1)若∠C=36°,求∠BAD的度数; 随 堂 检 测 7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD, BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F. (2)试说明:∠FBE=∠FEB. (2)∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∵EF∥BC, ∴∠FEB=∠CBE. ∴∠FBE=∠FEB. 课堂总结 课堂检测 1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的 大小是(　　 ) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 2.等腰三角形有一个角是96°，则另两个角分别是___________. A 42°，42° 3． 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AD ＝ DC ，∠ B ＝70°，则∠ C 的度 数为（　　） A． 35° B． 40° C． 45° D． 50° A 4.如图，在等腰三角形纸片 ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝50°，折叠 该纸片，使点 A 落在点 B 处，折痕为 DE ，则∠ CBE ＝__________________． 15° 5.如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 是 BC 的中点， DE ⊥ AC ，垂足为点 E ，∠ BAC ＝50°，求∠ ADE 的度数． 解：因为 AB ＝ AC ，点 D 是 BC 的中点， 所以 AD 平分∠ BAC ． 因为∠ BAC ＝50°， 所以∠ DAE ＝ 1/2 ∠ BAC ＝25°. 又因为 DE ⊥ AC ，所以∠ AED ＝90°. 所以∠ ADE ＝90°－∠ DAE ＝90°－25°＝65°. 6.如图，河道 l 的同侧有 M ， N 两个村庄，计划铺设管道将河水引 至 M ， N 两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） B 7. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝50°，点 D 为 BC 上一 点， BF ＝ CD ， CE ＝ BD ，求∠ EDF 的度数． 解：因为 AB ＝ AC ，∠ A ＝50°，所以∠ B ＝∠ C ＝65°. 在△ BDF 和△ CED 中， 所以△ BDF ≌△ CED (SAS)． 所以∠ BFD ＝∠ CDE . 因为∠ BDF ＋∠ EDF ＋∠ CDE ＝180°，∠ B ＋∠ BFD ＋∠ BDF ＝180°， 所以∠ EDF ＝∠ B ＝65°. BD=CE， ∠B=∠C, BF=CD. $$