第23讲 简单的轴对称图形（3知识点+7大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第23讲 简单的轴对称图形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 知识点2：线段的垂直平分线（简称中垂线） 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 作法：作已知线段的垂直平分线. 知识点3：角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 【题型1 等腰三角形两腰相等求解】 例1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是 ． 【答案】11或13 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当为腰时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当为底时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，的周长是或， 故答案为：11或13． 例2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ． 【答案】5 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握相关知识并分类讨论是解题关键．首先根据非负数的性质确定，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，解得， 当等腰的底边为5时，该三角形的三边长分别为5，11，11， 能构成三角形； 当等腰的底边为11时，该三角形的三边长分别为11，5，5， ∵，故不能构成三角形． 综上所述，的底边长是5． 故答案为：5． 变式1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去， 当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为，能构成三角形， 综上，， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】9 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质∶等腰三角形的两腰相等，也考查了三角形三边的关系，分类∶若或，分别求出，然后在满足三角形三边的关系的情况下即可得到腰长． 【详解】解∶如图，   为中线， ． 若， ． ． 若， ． ． ， (舍去)． 故答案为∶9． 【题型2 根据等边对等角求角度】 例3．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是，底角是即可得解． 【详解】解：当等腰的顶角是，则它的底角的度数为：， 当等腰的底角为，则它的底角度数为， 综上所述：它的底角的度数为或， 故答案为：或． 例4．（24-25八年级上·北京·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 变式1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴； ②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴， ∴． 综上所述：等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 变式2．（江西省2025年初中学业水平考试数学样卷（二））如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、角平分线的有关计算 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，，根据角平分线的定义求出．分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， 即， 解得， ∴， ∵平分， ∴． ①如图，当时， ， ∴； ② 如图 ，当时， ∴； ③如图，当时， ∴． 综上分析可知：的度数为：或或 故答案为：或或． 【题型3 根据等边对等角证明】 例5．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、根据等边对等角证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 例6．（2025·陕西西安·三模）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，与交于点H．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先判定，得到，再利用等角对等边的性质即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 变式1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，即可根据“等角对等边”证明． 【详解】（1）证明：∵点E，B，C，F在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴． 变式2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等边对等角证明 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由等边对等角得，再证，即可得出； （2）由得，结合，可得． 【详解】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 【题型4 根据三线合一求解】 例7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为 【答案】2 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 例8．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于 ． 【答案】/110度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形中三线合一，可得是的角平分线，再根据得出，结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：中，， 是的中线， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，等腰的底边长为4，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长，三线合一求出的长即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵腰的垂直平分线分别交边于E，F点，点M为线段上一动点， ∴， ∴的周长， ∵等腰的底边长为4，面积是，点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长最小值为：； 故答案为：． 【题型5 根据三线合一证明】 例9．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂足为，，交于点．是等腰三角形吗？请说明理由． 【答案】△是等腰三角形，理由见解析． 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．先判定△是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质推出，由平行线的性质推出，得到，推出△是等腰三角形． 【详解】解：△是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， △是等腰三角形． 例10．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质证明即可． 【详解】证明：，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ． 变式1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，是的中点．求证：． 【答案】见详解 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质；由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的“三线合一”，即可得证；掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 是的中点， ． 变式2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E． (1)求证：； (2)若的面积是2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）由中线的性质得，由全等三角形的性质得，进而可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴； （2）解：∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∵的面积是2， ∴四边形的面积为6． 【题型6 根据线段垂直平分线的性质求解】 例11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，若，则的周长为 ． 【答案】14 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形周长的定义得到的周长为． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∴的周长， ， ∴的周长， 故答案为：14． 例12．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 变式1．（24-25八年级下·广东河源·期中）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为 ． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质，得出，，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故答案为：8． 变式2．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点E，交于点F，当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当B、P、Q三点共线，且时，最小， 过点B作于点E，交于点F，如图所示： ∴当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【题型7 根据角平分线的性质定理求解】 例13．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是 ． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其运用是关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵点P是平分线上一点，， ∴，即点P到边的距离是4， 故答案为：4． 例14．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点作线段，交于点，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．作交于，由作图可得：为的平分线，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于， ，由作图可得：为的平分线， ， ， ， 故答案为：． 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 变式2．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵， ∴ ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东河源·月考）在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图，在中，，于点，若，则（   ）； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据三线合一可得，进而即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，直线交于点，则的周长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由作图可知，垂直平分，得到，即可求出答案，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： 由作图可知，垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海·月考）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 二、填空题 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知：在中，，平分，若，则 ，与的位置关系是 ． 【答案】 4 垂直 【分析】本题主要考查等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线三线互相重合性质、熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：在中，∵，平分， ∴是底边的中线和高， 即，且． ∵， ∴． 故答案为：4；垂直． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，是上的高，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，由三线合一可得，进而由等边对等角得到，再根据角的和差即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·山西大同·月考）如图，已知中，，小明以点B为圆心，为半径作弧交于F；又以A为圆心，为半径作弧交于M；接着又以M为圆心，为半径作弧交前弧于N；最后作射线交于D．若，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了作一个角等于已知角，角的和差倍分等知识，根据得到，由作图可知，． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，，O为，平分线的交点，于点E，且，则点O到的距离等于 ．    【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质证得即可． 【详解】解：过点作，如图：   、平分， ， ， ， 故答案为：3． 10．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在中，，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 °． 【答案】15或30或60 【分析】设，由折叠的性质可求，，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设， ∵沿直线翻折得到， ∴，，， ∴， 当，则， ∴， ∴， 当，则， ∴， ∴； 如图， 由折叠可知，， 此时，，， ∴， ∵， ∴，解得：， 综上，的度数或或． 故答案为：15或30或60． 三、解答题 11．（25-26八年级上·重庆江津·期中）如图，已知等腰的周长是65，腰，腰的垂直平分线交于点D，求的周长． 【答案】40． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据线段垂直平分线的性质得出线段相等． 先根据等腰三角形性质求出，再由周长求出；接着利用线段垂直平分线的性质得；最后将的周长转化为，从而计算出结果． 【详解】解：∵等腰的腰， ∴，2分 ∵等腰的周长是65， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴的周长 ． 12．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查三线合一，等边对等角，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，三线合一，得到垂直平分，得到，垂直平分，得到，即可得出结论； （2）等边对等角，求出的度数，三线合一结合等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：相等，理由如下： 连接， ∵，是边上的高， ∴， ∴垂直平分， ∵线段的垂直平分线交于点E， ∴，， ∴； （2）∵，是边上的高， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得．连接． (1)求证：； (2)连接，若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由E为中点，得，而，可根据“”证明，得，则． （2）由平分，E为中点，得，因为，所以，由，根据等腰三角形的“三线合一”得，则，由可得． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵平分，E为中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 14．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)求证：； (2)请判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)垂直平分，理由见详解 【分析】（1）由角平分线定义得到，再由高的定义得到，然后由两个三角形全等的判定定理得到，最后结合全等性质即可得证； （2）由（1）知，，再根据角平分线的性质定理得到，从而结合垂直平分线的判定定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， 、分别是和的高， ， 在和中， ， ； （2）解：垂直平分， 理由如下：由（1）知，， 是的角平分线，，， 由角平分线性质定理可知，， 垂直平分． 【点睛】本题考查几何综合，涉及角平分线定义、高的定义、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、垂直平分线的判定定理等知识，熟记相关几何性质与判定是解决问题的关键． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）（1）问题背景：如图1，已知三角形内角和为，连接得到和，易得四边形的内角和为 ． （2）尝试应用：如图2，已知在四边形中，，，． ①求证：平分． ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】本题是四边形综合题，考查三角形内角和定理和四边形内角和，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是证明． （1）根据三角形内角和定理即可解决问题； （2）①过点作交的延长线于点，证明，得，然后根据角平分线的性质即可证明平分； ②证明，得，然后根据，，即可求的长． 【详解】解：，， ， ， 四边形的内角和为， 故答案为：； ①证明：如图2，过点作交的延长线于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 平分； ②解：平分， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第23讲简单的轴对称图形 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：等腰三角形的性质 (1)等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角》 (2)等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三 角的三线合一) 图形：如下所示； 若∠I=∠2，则BD=CD,AD⊥BC; 符号：在△ABC中，AB=AC, 若BD=CD,则∠I=∠2，AD⊥BC; 若AD⊥BC,则∠I=∠2，BD=CD ☑知识点2：线段的垂直平分线（简称中垂线) 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 作法：作己知线段的垂直平分线. ☑知识点3：角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作己知角的角平分线 02 练题型强知识 【题型1等腰三角形两腰相等求解】 例1.(24-25七年级下·上海闵行期中)已知ABC是等腰三角形，若AB=5cm,AC=3cm,那么ABC的 周长是cm. 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例2.(24-25七年级下·陕西西安·期中)己知a、b为等腰ABC的边长，且满足引a-5+(b-11)2=0,则 ABC的底边长是】 变式1.(24-25八年级上·安徽安庆期中)已知等腰ABC的三边长分别为5,11,3x-4,则x= 变式2.(24-25七年级下·全国.课后作业)等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把这个三角形的周长分 为两部分，其差为4cm,则该等腰三角形的腰长为_cm. 【题型2根据等边对等角求角度】 例3.(24-25八年级下广东佛山期中)己知等腰ABC的一个内角是40°，则它的底角度数为 例4.(24-25八年级上北京·期中)等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是」 变式1.(24-25八年级下辽宁锦州期中)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度 数为」 变式2.（江西省2025年初中学业水平考试数学样卷（二）)如图，在ABC中，AB=AC, ∠ABC=2LBAC,BP平分∠ABC,M为射线BP上的一动点.当△ABM为等腰三角形时，∠BMA的度数 为 【题型3根据等边对等角证明】 例5.(24-25八年级上山东滨州期中)如图，A0平分∠BAC,C01AB,B0⊥AC,垂足分别为D,E.求 证：LOBC=LOCB. B 例6.(2025陕西西安三模)如图，点A,F,C,D在同一条直线上，AF=DC,AB=DE,∠A=∠D, BC与EF交于点H.求证：FH=CH. 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式1.(24-25八年级上辽宁大连期末)如图，点E,B,C,F在一条直线上，CF=BE, AB=DC,∠ABC=∠BCD,AF与DE相交于点O,求证： A D E≤ B (1)∠A=∠D; (2)0E=OF. 变式2.(24-25八年级上内蒙古呼和浩特期末)如图，ABC中，AB=AC,点D为BC的中点，过点D分 别作DE⊥AC于E、DF⊥AB于F. A B D (I)求证：DE=DF; (2)求证：AE=AF. 【题型4根据三线合一求解】 例7.(24-25八年级上广东广州期中)如图，在ABC中，AB=AC,AD1BC,且BC=4,则BD长为 B 例8.(24-25八年级上广东汕头期中)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,若 AB=3cm,CD=2cm,则ABC的周长是 3/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 变式1.(2425八年级下广东梅州阶段练习)如图，ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，AD是ABC的 中线，点E在AC上，AE=AD,则LDEC等于 变式2.(2025八年级下·全国.专题练习)如图，等腰ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平 分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM的周 长最小值为： 、 M 【题型5根据三线合一证明】 例9.(24-25八年级上河北廊坊期中)如图，在ABC中，∠B=LC,AD1BC,垂足为D,DE∥AB, 交AC于点E,ADE是等腰三角形吗？请说明理由. B D 例10.(24-25八年级上云南昆明·阶段练习)如图，在ABC中，∠ABE=∠ACE,∠BED=∠CED,求证： AD⊥BC. 4/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D 变式1.(24-25八年级上·上海·阶段练习)已知：如图AB=AC,∠EFH=∠B,BE=CF,，M是EH的中 点.求证：FM⊥EH. M H C 变式2.(24-25八年级上河北邯郸期中)已知：如图，在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线， AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E. E B (I)求证：△ABD≌△CAE; (2)若△ABD的面积是2，求四边形ABCE的面积. 【题型6根据线段垂直平分线的性质求解】 例11.(24-25七年级下，全国.单元测试)如图，在ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两 点，若AC=9cm,BC=5cm,则△BCE的周长为__· 5/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D E B 例12.(24-25九年级下-山东泰安·期中)如图，ABC中，∠B=32,分别以点B、C为圆心，大于BC的 长为半径画弧，两弧在BC两侧相交于点M、N,作直线MN分别与AB、BC交于点D,E,连接CD, 则∠BCD= M D E w 变式1.(24-25八年级下广东河源.期中)在ABC中，DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线，分别 交BC于E,G两点，连接AE,AG,若BC=8,则△AEG的周长为一· A D B 变式2.(2025山东济宁.一模)如图，在ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC.若P、 Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是一· 【题型7根据角平分线的性质定理求解】 例13.(2025八年级下·湖南.专题练习)如图，点P是LAOB平分线0C上一点，PD⊥0B,垂足为D,若 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PD=4,则点P到边OA的距离是 A C D B 例14.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试)如图，在ABC中，∠C=90°，AB=5,CD=2,以点B为 圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,BC于点M、N,分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为 半径画弧，两弧相交于点P,过点P作线段BD,交AC于点D,则△ABD的面积是 D M 变式1.(2025七年级下.全国.专题练习)如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE,CD分别为 ABC的角平分线.BE,CD相交于点F,FG平分∠BFC,已知BD=3,CE=2,ABC的面积=2.5， 求△BCD的面积= A B G 变式2.(24-25八年级上·重庆石柱期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC和∠BAC的平分线相 交于点O,OD⊥OA交AC于D,OE⊥OB交BC于E,AC=5,BC=I2,AB=13,则aCDE周长为 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D 03 串知识识框架 等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等 腰三角形的两个底角相等 等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底 知识点1：等腰三角形的性质 边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三 角的三线合一) 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线 是这条线段的垂直平分线 简单的轴对称图形 知识点2：线段的垂直平分 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 线（简称中垂线） 点的距离相等 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 知识点3：角平分线的性质 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 04过关测稳提升 一、单选题 1.(24-25八年级下广东河源月考)在ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠C的度数是() A.20° B.40° C.70° D.90° 2.(25-26八年级上广东江门月考)如图，在ABC中，AB=AC,AD1BC于点D,若BD=3,则 BC=(): D A.4 B.5 C.6 D.7 3.(25-26八年级上河南许昌期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D, AB=12,S△MBD=24,则CD的长为() 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D C A.4 B.5 C.6 D.7 4.(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=10,分别以A,B 为圆心，大于】AB长为半径作弧，两弧相交于E,F两点，直线EF交BC于点D,则AACD的周长为() D EX A.14 B.16 C.18 D.4 5.(24-25七年级下·上海月考)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线.下列叙述中，不正确的是() B D A.AD把ABC分成了两个直角三角形 B.AD一定大于BC C.AD垂直平分线段BC D.AD平分ABC的面积 二、填空题 6.(25-26八年级上·上海浦东新·期中)已知：在ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC,若BD=2,则 BC=」 AD与BC的位置关系是」 7.(25-26八年级上·浙江宁波·月考)如图，在ABC中，AB=AC,AD是BC上的高，∠BAD=26°， AD=AE,则LEDC的度数为 D 8.(25-26七年级上山西大同·月考)如图，已知ABC中，∠CAB=2∠B,小明以点B为圆心，BE为半径 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 作弧交BC于F;又以A为圆心，BE为半径作弧交AB于M;接着又以M为圆心，EF为半径作弧交前弧于 N;最后作射线AN交BC于D.若LCAB=62°，则∠CAD=°. 9.(25-26八年级上黑龙江大兴安岭地期中)如图，AB∥CD,，O为∠BAC,∠ACD平分线的交点， OE⊥AC于点E,且OE=3,则点O到CD的距离等于 A B D 10.（25-26八年级上·河南信阳·月考)如图，在ABC中，AB=AC,∠A=40°，D是边AB上的动点，连 接CD,将△ADC沿直线CD翻折得到△ADC,直线AB与直线A'C交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则 ∠ACD的度数为 0 三、解答题 11.(25-26八年级上·重庆江津·期中)如图，已知等腰ABC的周长是65，腰AC=25,腰AB的垂直平分 线MN交AC于点D,求△BCD的周长. D N 12.(25-26八年级上·全国·期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，AD是BC边上的高.线段 AC的垂直平分线交AD于点E,交AC于点F,连接BE· 10/12