5.2 第2课时 线段直平分线的性质-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

点P,点P就是桥的位置（作法不唯一）.理由：两点之间 因为点E为CD的中点，所以DE=CE.在△ADE和 线段最短. (∠D=∠ECF △FCE中， {∠DAE=∠F,所以△ADE≌△FCE DE=CE P----- (AAS),所以AD=FC.(2)因为BF=BC+FC,所以 BF=BC十AD.因为△ADE≌△FCE,所以AE=EF.因 17.B18.60°19.1520.100 为BE⊥AE,所以BE垂直平分AF,所以AB=BF,所以 21.15°或75°[解析]如图所示，当点P在点B的左侧时， AB=BC-AD. .AB=AC,∠ABC=70°，∴.∠ACB=∠ABC=70°， 14.7815.50°16.125° ∴.∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°= 第3课时角平分线的性质 40.CA=CP1,∠CAP,=∠CP,A=180°∠ACP 1.相等2.33.B4.45.4 6.(1)45cm2(2)37.B _180°70°=55，∠BAP,=∠CAP,-∠CAB=55 8.提示：分别作∠CD的平分线、线段AB的垂直平分线，它 2 们的交点即为点P的位置. -40°=15°.当点P在点C的右侧时，，AB=AC, 9.(1)提示：分别作AB,AC边的垂直平分线，相交于点P,点 ∠ABC=70°，∴.∠ACB=∠ABC=70°，.∠BAC=180 P即为所求.(2)4 -∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°.，CA=CP2, 10.解：(1)因为AB∥CD,所以∠ACD十∠CAB=180°.又因 易知∠CAP,=∠CP,A=180°-∠ACP2=∠ACB70 为∠ACD=138°，所以∠CAB=42°.由作法知AM是 2 2 2 =35°，∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=35°+40°=75°. ∠CAB的平分线，所以∠MAB=号∠CAB=2I. 综上，∠BAP的度数是15或75° (2)因为AM平分∠CAB,所以∠CAM=∠MAB.因为 AB∥CD,所以∠MAB=∠CMA,所以∠CAM= ∠CMA.又因为CN⊥AM,所以∠ANC=∠MNC.在 |∠ANC=∠MNC △ACN和△MCN中，因为∠CAM=∠CMA,所以 P B CN=CN 22.3或24或27 △ACN≌△MCN(AAS). 23.解：OC=CD=DE,∴.∠O=∠ODC,∠DCE= 11.(1)4:5:6(2)6cm ∠DEC,∴∠DCE=180°-∠OCD=∠O+∠ODC= 2∠ODC.,∠O+∠OED=3∠ODC=180°-∠ODE= (3)2.5[解析]：AD是角平分线，AB=5,AC=3, ∠BDE=75°，.∠ODC=25.:∠CDE+∠ODC=180 5 S△Am=8SaAc=5.:BE是△ABD的中线， -∠BDE=105°，∴.∠CDE=105°-25°=80°. 1 24.母题：①②③④ S△AaE=2SaNm=2.5, 变式1：2等边三角形 12.解：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,作 变式2：解：因为△ABC,△ADE是等边三角形，所以AE DF⊥BC于点F.因为BD平分∠ABC,所以DE=DF. =AD,BC=AC=AB,∠BAC=∠DAE=60°，所以 因为∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，所以 ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠C=∠DAE.在△ADE和△CDF中，因为 ∠CAE,所以△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE.因 ∠DAE=-∠C 为BD=BC+CD=AC+CD,所以CE=AC+CD. ∠AED=∠CFD=90°，所以△ADE≌△CDF(AAS),所 第2课时线段垂直平分线的性质 DE=DF 1.C2.C3.B4.(1)C(2)16cm5.A 以AD=CD. 6.(1)B(2)120°7.(1)6(2)120°8.D 9.A[解析]作△ABC任意两边的垂直平分线，它们的交点 D 即为所求，可知超市的修建地址只有一处 10.D11.D12.B 13.解：(1)因为AD∥BC,所以∠D=∠ECF,∠DAE=∠F. FC ·28·同行学案学练测 问题解决策略：转化 的周长的最小值.∠AOB=44°，∠P'Pp”=360°-90 1.C[解析]甲会先取中间的4号，这样左边和右边都是 -90°-44°=136°，∴.∠P′+∠P"=44°.：∠P'= 3枚硬币，正好成轴对称，乙取几枚硬币，甲在另一边对称 ∠MPP',∠P"=∠P"PN,∴.∠MPN=∠P'PP"-(∠P 的位置取几枚硬币，这样确保甲取走最后一枚硬币. +∠P"=136°-44°=92°. 2.解：芳芳的第一步应放在正方形硬纸板的中心位置.这时， 明明放一枚硬币，芳芳就放在与明明的硬币对称的地方， 直到明明无处可放，芳芳就赢了 3.解：3.14X2×号 2×2÷2=1.14(平方厘米). 4.解：延长AD,HF相交于点N,如图. D 培优专题19：应用轴对称图形的性质的 五种技巧 1.C C 2.20°[解析]设∠BAC=x.因为在△ABC中，AB=AC,所 (8+6)×8-(8+6)×6÷2-(8-6)×6÷2-(8-6+8)× 8÷2=24(平方分米).图中阴影部分的面积是24平方分米. 以∠ABC=∠C=(180°-x.因为BD是∠ABC的平 5.B 6B[解析]如图，连接CE交AD于点F,连接BF. 分线，AD是∠BAC的平分线，所以∠ABD=(180°- :△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，∴.AD垂直 ）,∠DAB=号.因为∠ABD+∠DAB+∠ADB= 平分BC,∴.BF=CF,∴.BF+EF=CF+EF=CE,此时 BF十EF的值最小，最小值为CE的长.，D,E分别是 180,所以180-x)+2x+130°=180，所以x=20, BC,AB边的中点，AD=CE.AD=6,.CE=6,BF 即∠BAC=20°. 十EF的最小值为6. 3.解：如图，过点E作EF⊥AC于点F.因为EA=EC,所以 AC=2AF.又因为AC=2AB,所以AB=AF.因为AD平 分∠BAC,所以∠BAE=∠FAE.又因为AE=AE,所以 △AEB≌△AEF(SAS).所以∠ABE=∠AFE=90°，即 EB⊥AB. 7.A[解析].△ABC是等边三角形，D为AC的中点，AQ D =3,QD=2,..AD=DC=AQ+QD=5,..AB=BC=AC =10.如图，作点Q关于BD的对称点Q',连接PQ交BD 于点E,连接QE,此时PE十QE的值最小，最小值为PQ 4.解：如图，延长BA,CD交于点E 的长.AQ=AD+DQ'=5+2=7,∴.AP=AQ=7. :∠A=60°，∴△APQ'是等边三角形，.PQ=AP=7. 因为BF平分∠ABC,CD⊥BD,所以∠1=∠2，∠BDC= 8.6 ∠BDE=90°.又因为BD=BD,所以△BDC≌△BDE 9.D[解析]如图，作点P关于OA的对称点P',交OA于点 (ASA),所以BC=BE.因为BD⊥CE,所以CE=2CD.因 C,作点P关于OB的对称点P",交OB于点D,连接P'P” 为∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠AFB=∠DFC,所以∠2 交OA于点M,交OB于点N.OA,OB分别为PP',PP" =∠ACE.又因为AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°，所以 的垂直平分线，.∠PCO=∠PDO=90°，PM=P'M,PN △ABF≌△ACE(ASA).所以BF=CE.故BF=2CD. =P"N(垂直平分线的性质)，此时P'P"的长即为△PMN5.解：(1)70(2)如图，连接BF.因为AB=BC,且点F是☑同行学案学练测七年级数学下BS 第2课时 线段 即知识技能 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：线段垂直平分线的性质 1.如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线， 与AB交于点D,BF=6,CF=2,则AC的长 度为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 第1题图 第2题图 2.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD, 垂足为点E,下列结论不一定成立的 是() A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC 3.如图，已知线段AB,BC M 的垂直平分线l1,l2交于 点M,连接AM,CM,则 线段AM,CM的大小关 系是( A.AMCM B.AM-CM C.AM<CM D.无法确定 4.[一题多辨](1)如图①，在△ABC中，AC= 4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N, 若△BCN的周长是7cm,则BC的长 为() A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm ② (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,AB的垂 直平分线交边AB于D点，交边AC于E点， 若△ABC与△EBC的周长分别是40cm, 24cm,则AB= 124做神龙题得好成绩 直平分线的性质 5.如图，△ABC中，BD平分∠ABC,BC的中 垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF. 若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数 为() A.48 B.36° C.30° D.24° B 第5题图 第6题图 6.[一题多辨]如图，△ABC中，点O是BC,AC 的垂直平分线的交点. (1)OB=5cm,AB=8cm,则△AOB的周长 是() A.21 cm B.18 cm C.15 cm D.13 cm (2)若∠C=60°，则∠BOA的度数为 7.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线 分别交BC于点D,E,垂足分别为点M,N. B D (1)若BC=6,则△ADE的周长为 (2)若∠DAE=60°，则∠BAC的度数为 知识点二：线段垂直平分线与尺规作图 8.如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点B,C为圆心，以大于2BC的长 为半径作弧，两弧相交于两点M,N; ②作直线MN交AB于点D,连接CD 若∠CDA=∠CAD=50°，则∠ACB的度数 为() A.90° B.95 C.100° D.105° 9.如图，有A,B,C三个居民小区，现决定在三 个小区之间修建一个购物超市，使超市到三 个小区的距离相等，则超市的修建地址 有() A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 10.如图，已知△ABC(AC<BC),用尺规在BC 上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要 求的作图痕迹是( ) 即数学理解+问题解决>>难度等级中等题 11.如图，在四边形ABDC中，∠A=110°，若点 D在AB,AC的垂直平分线上，则∠BDC的 度数为() A.90° B.110° C.120° D.140° D 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE 分别与AB,BC交于D,E两点，连接CD, AC边的垂直平分线FG分别与CD,AC交 于F,G两点，连接AF.若△ADF的周长为 13,AD=4,则BD的长为() A.4 B.9 C.13 D.17 13.如图，在四边形ABCD中，ADBC,点E为 CD的中点，连接AE,BE,延长BC交AE 的延长线于点F. (1)试说明：AD=FC. 第五章图形的轴对称☑ (2)如果BE⊥AE,试说明：AB=BC十AD: 即联系拓广 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 素养提升微专题 【探究三角形三边垂直平分线隐含的规律】 14.如图，线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相 交于点O.若∠1=39°，则∠AOC= 0 E 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的 垂直平分线OD,OE的交点，若∠BOC= 100°，则这两条垂直平分线相交所成的锐角 a的度数为 C 16.如图，在△ABC中，I 是三角形角平分线的 交点，O是三边垂直平 分线的交点，连接AI, BI,AO,BO,若∠AOB=140°，则∠AIB= 做神龙题得好成绩125