5.2 第1课时 等腰三角形的性质-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

又，∠EFC=∠ABC,∠AGF=∠BGD,∴.∠A=∠D.在 90°，所以∠A=∠DEC.在△ABE和△ECD中， ∠ABC=∠DBE ∠B=∠C △ABC和△DBE中， AB-DB ,.△ABC≌ ∠A=∠DEC,所以△ABE≌△ECD(AAS),所以EC ∠A=∠D AE-DE △DBE(ASA). =AB=5m.因为BC=13m,所以BE=8m,所以小华行 2.解：因为AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,所以∠AFB= 走的时间是8÷1=8(s). ∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，所以∠A 问题解决策略：特殊化 =∠C.因为AB=CD,所以△ABF≌△CDE(AAS),所以 1,55[解析]被遮盖部分的面积=前一个正方形面积的4， AF=CE=a,BF=DE=b.因为EF=c,所以AD=AF+ ·前6个正方形纸片被遮盖部分（阴影部分）的面积之和为 DF=a+(b-c)=a+b-c. 3.解：AE⊥AB,EF⊥FH,BG⊥FH,.∠EAB=∠EFA 子×(e+4+6+8+10)=55 =∠AGB=90°.又易知∠EAG=∠EFA十∠FEA= 2.【模型探究】(1)397(2)(2n-3)(3n-8) ∠EAB+∠BAG,∴.∠FEA=∠BAG.在△EFA与 (3)(5n-24)【问题解决】476 ∠FEA=∠BAG 1锅.100ww他会8器-器-是 △AGB中，了∠EFA=∠AGB,.△EFA≌△AGB (2).∠AOB=2m°，∠COD=m°，OM平分∠AOC,ON平 AE-AB (AAS),∴.AF=BG,AG=EF.同理可证△BGC≌ 分∠B0D,∠OM=号∠A0C=3(∠A0B-∠B0C) △CHD,GC=DH,CH=BG,∴.FH=FA+AG+GC+ 2(2m-∠B0C),∠B0N=2∠B0D=-2(ZC0D CH=3+6+4+3=16,∴S=2×(6+40X16-号×3× ∠B0C)=3(m°-∠B0C),∠MON=∠cOM+ 4X8-2×6×3×2=50. ∠B0C+∠BON=2(2m-∠B0C)+∠B0C+2(m 4.解：若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,.9=12 3 3t,3t=xt,解得t=1,x=3;若△ACP≌△BQP,则AC= -∠BOC)=3 m, ∠MON2m°3 ∠AOB =2m°=4，.(1)中②的 AP=BP,9=x,3=12-3t,解得=2，x=号 结论仍然成立，为 ∠MON3 ∠AOB41 9 上所述，当x=3或之时，以B,P,Q为顶点的三角形与 4【深问题探究二：号十导+导十…叶+号 3n3 △ACP全等. 2 2 2 11 1 4利用三角形全等测距离 3 +3=1-3 2 2X3" 1.A2.(1)B(2)ED3.SAS AB4.1.1 11 探究三：3一3×4 如图. 5.解：数量关系：AA'=BB'.理由如下：因为O是AB',A'B 的中点，所以OA=OB',OA'=OB.在△A'OA与△BOB' 第n次分割 (OA=OB' 中，∠A'OA=∠BOB',所以△A'OA≌△BOB'(SAS),所 OA'-OB 以AA'=BB. 6.D7.A 4"4 8.ME△BEM≌△CFM ME9.1574 【解决问题】画图如下。 (AE=CE 第n次分割 10.解：在△AOE和△COE中，< AO=CO,..△AOE≌ OE-OE △COE(SSS),.∠AOE=∠COE.同理，∠COE= ∠FOD,∴.∠AOE=∠EOF=∠FOD. 11.(1)a+b(2)解：因为∠AED=90°，所以∠AEB+ ∠DEC=90°.因为∠ABE=90°，所以∠A十∠AEB= 99 9m11 8++++ 12.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.(2)10 M 1 1 (2)8-8×9 章末复习 1.C2.A3.C4.C5.C6.D 7.(1)AB(2)CD(3)FE(4)33 8.C9.D 13.D14.D15.C16.②③17.5 10.示例：AB=ED 18.解：示例： 11.解：因为∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,所以 ∠DAB=∠CBA.在△ADB与△BCA中， ∠DBA=∠CAB AB-AB ,所以△ADB≌△BCA(ASA),所以 ∠DAB=∠CBA ① ② 3 BC=AD. 19.C 12.解：(1)因为DB⊥BC,CF⊥AE,所以∠DCB+∠D= 20.9521.70° ∠DCB+∠AEC=90°，所以∠D=∠AEC.又因为 22.(1)40°(2)117.5° ∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA,所以△DBC≌ 23.解：如图，由题意得，△ABN≌△A'BN,△C'BM≌ △ECA(AAS).所以CD=AE.(2)由(1)得△DBC≌ △CBM,.∠1=∠2，∠2=∠3，∠CMB=∠C'MB= 68°，∴∠1=∠2=∠3，∴.∠ABC=3∠3.又∠3+∠C △ECA,所以BD=EC.又因为AC=BC,EC-2BC,所 +∠CMB=180°，∴.∠3+∠C=180°-∠CMB=180° 以BD=BC=2BC=号AC=7X10=5(cm. 1 68°=112°.又∠A+∠ABC+∠C=180°，.18°+2∠3 +(∠3+∠C)=180°，.18°+2∠3+112°=180°，.∠3 13.略 =25°，.∠C=112°-∠3=112°-25°=87°. 14.93°或51°[解析]当高AD在△ABC的内部时，如图① 所示，∠BAC=∠BAD十∠CAD=93°，当高AD在 △ABC的外部时，如图②所示，∠BAC=∠BAD一 /CAD=51° B 2简单的轴对称图形 15.解：AB0 第1课时等腰三角形的性质 OD 理由：在△AOB与△DOC中， 1.C2.(1)D(2)B ∠AOB=∠DOC .∠ABO=∠DCO,.△AOB≌△DOC(AAS), 3.D4.C 5.B6.40°7.54 AB-CD 8.B9.B10.25 ..OA=OD 11.①②③④12.C 第五章 图形的轴对称 13.C14.15 1轴对称及其性质 15.解：△ABC和△BDE都是等边三角形，.AB=BC, 1.B2.C3.A4.B BE=BD,∠ABC=∠DBE=6O°.在△ABE和△CBD 5.(1)C(2)C 中，AB=BC,∠ABE=∠CBD,BE=BD,.△ABE≌ 6.B7.B8.C9.810.4.5cm △CBD(SAS),∴.AE=CD. 11.(1)≌(2)A'C(3)BM平行(4)垂直平分 16.解：如图，作点A关于河岸的对称点C,连接BC交河岸于 同行学案学练测·27· 点P,点P就是桥的位置（作法不唯一）.理由：两点之间 因为点E为CD的中点，所以DE=CE.在△ADE和 线段最短. (∠D=∠ECF △FCE中， {∠DAE=∠F,所以△ADE≌△FCE DE=CE P----- (AAS),所以AD=FC.(2)因为BF=BC+FC,所以 BF=BC十AD.因为△ADE≌△FCE,所以AE=EF.因 17.B18.60°19.1520.100 为BE⊥AE,所以BE垂直平分AF,所以AB=BF,所以 21.15°或75°[解析]如图所示，当点P在点B的左侧时， AB=BC-AD. .AB=AC,∠ABC=70°，∴.∠ACB=∠ABC=70°， 14.7815.50°16.125° ∴.∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°= 第3课时角平分线的性质 40.CA=CP1,∠CAP,=∠CP,A=180°∠ACP 1.相等2.33.B4.45.4 6.(1)45cm2(2)37.B _180°70°=55，∠BAP,=∠CAP,-∠CAB=55 8.提示：分别作∠CD的平分线、线段AB的垂直平分线，它 2 们的交点即为点P的位置. -40°=15°.当点P在点C的右侧时，，AB=AC, 9.(1)提示：分别作AB,AC边的垂直平分线，相交于点P,点 ∠ABC=70°，∴.∠ACB=∠ABC=70°，.∠BAC=180 P即为所求.(2)4 -∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°.，CA=CP2, 10.解：(1)因为AB∥CD,所以∠ACD十∠CAB=180°.又因 易知∠CAP,=∠CP,A=180°-∠ACP2=∠ACB70 为∠ACD=138°，所以∠CAB=42°.由作法知AM是 2 2 2 =35°，∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=35°+40°=75°. ∠CAB的平分线，所以∠MAB=号∠CAB=2I. 综上，∠BAP的度数是15或75° (2)因为AM平分∠CAB,所以∠CAM=∠MAB.因为 AB∥CD,所以∠MAB=∠CMA,所以∠CAM= ∠CMA.又因为CN⊥AM,所以∠ANC=∠MNC.在 |∠ANC=∠MNC △ACN和△MCN中，因为∠CAM=∠CMA,所以 P B CN=CN 22.3或24或27 △ACN≌△MCN(AAS). 23.解：OC=CD=DE,∴.∠O=∠ODC,∠DCE= 11.(1)4:5:6(2)6cm ∠DEC,∴∠DCE=180°-∠OCD=∠O+∠ODC= 2∠ODC.,∠O+∠OED=3∠ODC=180°-∠ODE= (3)2.5[解析]：AD是角平分线，AB=5,AC=3, ∠BDE=75°，.∠ODC=25.:∠CDE+∠ODC=180 5 S△Am=8SaAc=5.:BE是△ABD的中线， -∠BDE=105°，∴.∠CDE=105°-25°=80°. 1 24.母题：①②③④ S△AaE=2SaNm=2.5, 变式1：2等边三角形 12.解：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,作 变式2：解：因为△ABC,△ADE是等边三角形，所以AE DF⊥BC于点F.因为BD平分∠ABC,所以DE=DF. =AD,BC=AC=AB,∠BAC=∠DAE=60°，所以 因为∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，所以 ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠C=∠DAE.在△ADE和△CDF中，因为 ∠CAE,所以△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE.因 ∠DAE=-∠C 为BD=BC+CD=AC+CD,所以CE=AC+CD. ∠AED=∠CFD=90°，所以△ADE≌△CDF(AAS),所 第2课时线段垂直平分线的性质 DE=DF 1.C2.C3.B4.(1)C(2)16cm5.A 以AD=CD. 6.(1)B(2)120°7.(1)6(2)120°8.D 9.A[解析]作△ABC任意两边的垂直平分线，它们的交点 D 即为所求，可知超市的修建地址只有一处 10.D11.D12.B 13.解：(1)因为AD∥BC,所以∠D=∠ECF,∠DAE=∠F. FC ·28·同行学案学练测 问题解决策略：转化 的周长的最小值.∠AOB=44°，∠P'Pp”=360°-90 1.C[解析]甲会先取中间的4号，这样左边和右边都是 -90°-44°=136°，∴.∠P′+∠P"=44°.：∠P'= 3枚硬币，正好成轴对称，乙取几枚硬币，甲在另一边对称 ∠MPP',∠P"=∠P"PN,∴.∠MPN=∠P'PP"-(∠P 的位置取几枚硬币，这样确保甲取走最后一枚硬币. +∠P"=136°-44°=92°. 2.解：芳芳的第一步应放在正方形硬纸板的中心位置.这时， 明明放一枚硬币，芳芳就放在与明明的硬币对称的地方， 直到明明无处可放，芳芳就赢了 3.解：3.14X2×号 2×2÷2=1.14(平方厘米). 4.解：延长AD,HF相交于点N,如图. D 培优专题19：应用轴对称图形的性质的 五种技巧 1.C C 2.20°[解析]设∠BAC=x.因为在△ABC中，AB=AC,所 (8+6)×8-(8+6)×6÷2-(8-6)×6÷2-(8-6+8)× 8÷2=24(平方分米).图中阴影部分的面积是24平方分米. 以∠ABC=∠C=(180°-x.因为BD是∠ABC的平 5.B 6B[解析]如图，连接CE交AD于点F,连接BF. 分线，AD是∠BAC的平分线，所以∠ABD=(180°- :△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，∴.AD垂直 ）,∠DAB=号.因为∠ABD+∠DAB+∠ADB= 平分BC,∴.BF=CF,∴.BF+EF=CF+EF=CE,此时 BF十EF的值最小，最小值为CE的长.，D,E分别是 180,所以180-x)+2x+130°=180，所以x=20, BC,AB边的中点，AD=CE.AD=6,.CE=6,BF 即∠BAC=20°. 十EF的最小值为6. 3.解：如图，过点E作EF⊥AC于点F.因为EA=EC,所以 AC=2AF.又因为AC=2AB,所以AB=AF.因为AD平 分∠BAC,所以∠BAE=∠FAE.又因为AE=AE,所以 △AEB≌△AEF(SAS).所以∠ABE=∠AFE=90°，即 EB⊥AB. 7.A[解析].△ABC是等边三角形，D为AC的中点，AQ D =3,QD=2,..AD=DC=AQ+QD=5,..AB=BC=AC =10.如图，作点Q关于BD的对称点Q',连接PQ交BD 于点E,连接QE,此时PE十QE的值最小，最小值为PQ 4.解：如图，延长BA,CD交于点E 的长.AQ=AD+DQ'=5+2=7,∴.AP=AQ=7. :∠A=60°，∴△APQ'是等边三角形，.PQ=AP=7. 因为BF平分∠ABC,CD⊥BD,所以∠1=∠2，∠BDC= 8.6 ∠BDE=90°.又因为BD=BD,所以△BDC≌△BDE 9.D[解析]如图，作点P关于OA的对称点P',交OA于点 (ASA),所以BC=BE.因为BD⊥CE,所以CE=2CD.因 C,作点P关于OB的对称点P",交OB于点D,连接P'P” 为∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠AFB=∠DFC,所以∠2 交OA于点M,交OB于点N.OA,OB分别为PP',PP" =∠ACE.又因为AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°，所以 的垂直平分线，.∠PCO=∠PDO=90°，PM=P'M,PN △ABF≌△ACE(ASA).所以BF=CE.故BF=2CD. =P"N(垂直平分线的性质)，此时P'P"的长即为△PMN5.解：(1)70(2)如图，连接BF.因为AB=BC,且点F是第五章图形的轴对称√ 2简单的轴对称图形 第1课时等腰三角形的性质 即知识技能 >>>>>>>>》>>>>>》 难度等级基础题 BD=BE.若∠C=30°，则∠AED=() 知识点一：等腰三角形的轴对称性 A.20° B.10 C.15°D.18° 1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴 是() A.过顶点的直线 B.底边的垂线 第5题图 第6题图 C.顶角的角平分线所在的直线 6.如图，AE∥BD,C是BD上的点，且AB= D.腰上的高所在的直线 BC,∠ACD=110°，则∠EAB= 知识点二：等腰三角形边、角的性质 7.(苏州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 2.[一题多辨](1)若等腰三角形的顶角为40°， AF=EF.若∠CFE=72°，则∠B= 则它的底角度数为() 0 A.40° B.50° C.60° D.70° (2)等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的 度数是( A.80° B.80或20° C.80°或50° D.20° 知识点三：等腰三角形的“三线合一” 3.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 8.(深圳中考)如图，在△ABC中，AB=AC.在 ABCD,AE与AB的夹角为48°，若CF与 AB,AC上分别截取AP,AQ,使AP=AQ. EF的长度相等，则∠C的度数为( 再分别以点P,Q为圆心，以大于2PQ的长 为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点R,作射 C 线AR,交BC于点D.若BC=6,则BD的长 A 为( A.2 B.3 C.4 D.5 A.48° B.40° C.30° D.24° 4.在下列各图中，可以由题目条件得出∠1= ∠2的图形个数为( ) 子 D C 2 第8题图 第9题图 (AB=AC) (a∥b) 9.(湖州中考)如图，AD,CE分别是△ABC的 A.1 B.2 C.3 D.4 中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°， 5.如图，在△ABC中，AB=BC,△BDE的顶点 则∠ACE的度数是() D,E分别在AB,AC上，且∠DBE=100°， A.20° B.35 C.40° D.70° 做神龙题得好成绩121 ☑同行学案学练测七年级数学下BS 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，15.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角 D是边BC的中点，DE垂直AC于点E,则 形.试说明：AE=CD ∠EDC= 6 D B D 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于 点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下 列结论： 知识点五：数学经典模型一将军饮马 ①∠BAD=∠CAD; 16.如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B, ②AD上任意一点到AB,AC的距离都 两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么 相等； 地方可以使桥到两村的距离之和最短？画 ③BD=CD; 一画并说明理由。 ④若点P在直线AD上，则PB=PC. B. A. 其中正确的是 (填序号) 知识点四：等边三角形的性质 一一一一一一一一一 12.如图，l/m,等边三角形ABC的顶点B在直 线m上，∠1=20°，则∠2的度数为( A.60°B.45° C.40° D.309 即数学理解+问题解决>>难度等级中等题 第12题图 第13题图 17.如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是 13.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后 等边三角形，则∠BPC等于() 得到一个四边形，则图中∠α十∠3的度数 A.20° B.30° C.35 D.40° 为() A.180°B.220°C.240° D.300° 14.如图所示，以正方形ABCD的边AB为边作 等边△ABE,连接DE,则∠AED的度数 为 D 第17题图 第18题图 D 18.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边 BC,AB上，且BD=AE,AD与CE交于点 F,则∠DFC的度数为 122 做神龙题得好成绩 第五章图形的轴对称了 19.如图所示，已知△ABC是等边三角形，点B, 即联系拓广 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 C,D,E在同一直线上，且CG=CD,DF= DE,则∠E= 度 素养提升微专题了 【母题探究—双等边三角形】 24.母题：如图，△ABC是等边三角形，AD是角 平分线，△ADE是等边三角形，下列结论： C DE ①AD⊥BC；②EF=FD；③BE=BD; 第19题图 第20题图 ④∠AEB=90°.其中正确结论为 20.如图，△ABC内有一点D,且DA=DB= (填序号) DC,若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则 ∠BDC= 素养提升微专题 B D 母题图 变式1题图 【利用分类讨论求角度】 变式1：如图，在等边三角形ABC中，AB= 21.(绍兴中考)如图，在△ABC 6,D是BC上一点，且BC=3BD,△ABD 中，AB=AC,∠B=70°，以点 绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长为 C为圆心，CA长为半径作弧， ,若连接DE,则△ADE的形状 交直线BC于点P,连接AP, 为 则∠BAP的度数是 变式2：如图，△ABC,△ADE是等边三角 22.已知一个等腰三角形的两角分别为(2x 形，点B,C,D在同一直线上.试说明：CE 2)°，(3x一5)°，则x= AC+CD. 23.(衢州中考变式)借助如图所示的“三等分角 仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两 根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相 B 连并可绕O转动，C点固定，OC=CD= 变式2题图 DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE= 75°，求∠CDE的度数 做神龙题得好成绩123