4.3 第3课时 用“SAS”判定三角形全等-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

第3课时用“SA 即知识技能 >>>>>>>》>>>>> 难度等级基础题 知识点一：三角形全等的判定定理一“SAS” 1.(新疆中考)如图，在△ABC和△DEF中， ∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件 后，仍然不能说明△ABC≌△DEF,这个条 件是( A.∠A=∠D B.BC=EF C.∠ACB=∠F D.AC=DF 第1题图 第2题图 2.如图，已知AB=AC,AD=AE,若要得到 △ABD≌△ACE,必须添加一个条件，则下 列所添条件不成立的是() A.BD=CE B.∠ABD=∠ACE C.∠BAD=∠CAED.∠BAC=∠DAE 3.如图，将两根钢条AA',BB的中点O连在一 起，使AA',BB可以绕着点O自由转动，就 做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽 宽AB,那么判定△AOB≌△A'OB'的理由 是() A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 第3题图 第4题图 4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB= CD,连接AC,BD相交于点O,则图中全等三 角形共有( A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 第四章三角形 S”判定三角形全等 5.（黄冈中考)如图，∠BAC=∠DAM,AB= AN,AD=AM.试说明：∠B=∠ANM. 6.（陕西中考)如图，点A,E,F,B在直线1上， AE=BF,AC∥BD,且AC=BD,试说明： CF=DE. 1l A 知识点二：已知三角形的两边及其夹角作三 角形 7.用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边 分别等于已知线段时，实际上已知条件 是() A.三角形的两条边和它们的夹角 B.三角形的三条边 C.三角形的两角和它们的夹边 D.三角形的三个角 做神龙题得好成绩99 ☑同行学案学练测七年级数学下BS 8.已知：线段a和∠a. 求作：△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠a. 人 知识点三：直角三角形的尺规作图 9.如图，已知∠a及线段a,用尺规作一个直角 三角形，使其一个锐角为∠α，这个锐角与直 角所夹的边为2a. a 易错点：错用“SSA”判定三角形全等 10.如图，已知AC=DE,∠1=∠2，若△ABC≌ △DFE,则添加的一个条件以及相应的判定 定理合适的是() 52 B E A.∠A=∠D(ASA)B.AB=DF(SAS) C.BC=FE(SSA)D.∠B=∠F(ASA) 11.下列是胡老师带领学生探究“SSA”是否能判 定两个三角形全等的过程.（请完成填空） 如图，已知CD=CB, 100做神龙题得好成绩 在△ABC和△ADC中，AC= (公 共边)， CB=CD(已知)，∠A=∠A( ), 则△ABC和△ADC满足两边及一边的对 角分别相等，即满足 很显然，△ABC △ADC(填“全等 于”或“不全等于”). 下结论：SSA (填“能”或“不能”)判 定两个三角形全等。 即数学理解+问题解决 >》>》「难度等级中等题 12.如图，已知AEDF,BECF,AC=BD,则 下列结论中错误的是( A.△AEB≌△DFC B.△EBD≌△FCA C.ED=AF D.EA=EC 素养提升微专题 【利用全等三角形求解面积问题】 13.如图，已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为 B,E,AE,BC相交于点F,若AB=BC=8, CF=2,连接DF,则图中阴影部分的面积 为 B c 第13题图 第14题图 14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是 高，E是△ABC外一点，BE=BA,∠E= ∠C,若DE=号BD,AD-号，BD-号，则 △BED的面积为 15.如图，在△ABC中，BE,CF分别是AC,AB 边上的高，在BE的延长线上取BM=AC, 在CF的延长线上取CN=AB,试说明： AM=AN. 0 16.如图，点A,D,C,B在同一条直线上，DF∥ CE,DF=CE,AD=BC. (1)试说明：CF=DE. (2)试说明：AFEB. B F 第四章三角形☑ 即联系拓广>>》>>>>》 难度等级综合题 17.如图，AD是△ABC中BC边上的中线，延 长AD到点E,使DE=AD,连接CE. (1)试说明：AB=EC. (2)试说明：AB+AC>2AD. (3)当AB=6,AC=4时，中线AD的取值 范围为 做神龙题得好成绩101+∠ACF,.∠BHC=∠ABG+∠BFH=∠ABG+ ∠AFG=∠B+∠DAB=∠D+∠BGD,∴.∠BGD= ∠BAC+∠ACF=60°+40°=100°. ∠DAB=50°. 3探索三角形全等的条件 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 第1课时用“SSS”判定三角形全等 1.A2.B3.B4.B5.D6.4 1.A 2.B 3.A 4.AB=DE 5.C 7.解：影子一样长.理由：AB⊥BC,A'B⊥BC',∴∠ABC 6.解：因为DA=BE,所以DE=AB.在△ABC和△DEF =∠A'B'C'=90°.AC∥A'C',∠ACB=∠A'C'B'.在 (AB=DE I∠ABC=∠A'B'C 中，3AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SSS). △ABC和△A'B'C'中， ∠ACB=∠A'C'B',∴.△ABC BC=EF AB-AB' 7.③①② ≌△A'B'C'(AAS),∴.BC=B'C,即影子一样长. 8.解：已知：线段a,b,c.求作：△ABC,使AC=b,BC=2a, 8.C BC边上的中线AD=c. 9.解：如图所示. B 10.C[解析]'∠CAD=∠BAE=45°，∴.∠BAC= 结论：△ABC即为所求. I∠BAC=∠EAD 9.D10.D ∠DAE.在△ABC和△AED中，.{AB=AE 11.40°[解析]如图，连接AC,在△ACD和△ACE中， ∠B=∠E (AD-AE .△ABC≌△AED(ASA),.AD=AC,∠ACB=∠D AC=AC,∴.△ACD≌△ACE(SSS),∴.∠AEC=∠D ∴∠D=∠ACD=67.5°，∴∠ACB=67.5°. CD=CE 11.示例：AH=CB =75°，∴.∠BEC=105°.易求∠ECD=∠B+∠BEC, 12.解：(1)结论：△ADC≌△CEB.理由：因为AD⊥CD,BE ∴.∠B=145°-105°=40°. ⊥CD,所以∠ADC=∠CEB=90°，所以∠ACD+∠CAD =90°.又因为∠ACD十∠BCE=90°，所以∠CAD= ∠BCE.因为AC=CB,所以△ADC≌△CEB(AAS). (2)结论：BE=AD十DE.理由：因为△ADC≌△CEB,所 (BE=CA 以AD=CE,CD=BE.因为CD=CE十DE,所以BE= 12.解：在△ABE与△FCA中，，AE=FA,△ABE≌ AD+DE AB=FC 13.解：如图，作A'F⊥BD,垂足为F.:AC⊥BD,∴∠ACB △FCA(SSS),∴.∠E=∠CAF.BE⊥AC于点D, =∠A'FB=90°，∴∠1+∠3=90°.又.AB⊥AB,∴.∠1 .∠ADE=90°，.∠DAE+∠E=90°，∴.∠DAE+ +∠2=90°，.∠2=∠3.在△ACB和△BFA'中， ∠CAF=90°，∴.∠EAF=90°，.AE⊥AF. ∠ACB=∠BFA' (AB-AC :∠2=∠3 ,.△ACB≌△BFA'(AAS),.A'F 13.解：在△ABD和△ACE中，AD=AE,所以△ABD≌ AB-BA BD=CE =BC..'AC∥DE且CD⊥AC,AEI DE,∴.CD=AE= △ACE(SSS),所以∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.因为 1.5m,∴.BC=BD-CD=2.5-1.5=1(m),.A'F= ∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ADB+∠3=180°， 1m,即A'到BD的距离是1m. 所以∠3=∠BAD+∠ABD=∠1+∠2. (AB-AD 14.解：(1)在△ABC和△ADE中，AC=AE,.△ABC≌ BC=DE 地面 △ADE(SSS),∴.∠B=∠D.(2).△ABC≌△ADE, ∠DAE=∠BAC,∴∠DAB=∠EAC=50°.易知14.解：(1)EF∥AC,∴∠A=∠EFD,∠ACD=∠E.在 I∠A=∠EFD BE=CF △ADC和△FDE中，{∠ACD=∠E,.△ADC≌ △FCA中， ∠EBD=∠FCA,.△EBD≌△FCA CD-DE BD=CA △FDE(AAS),AD=DF.(2)∠A=∠ACB, (SAS),.ED=AF.故A,B,C选项均正确，故选D. ∠ABC=∠ECF=24,∠A=∠ACB=180°24 13.6[解析]·CB⊥AD,AE⊥CD,∴∠ABF=∠CBD= 2 90°，∠FEC=90°.∠AFB=∠EFC,∴.∠A=∠C.在 78°.CD平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE=39°.EF∥ (∠ABF=∠CBD AC,∠ACD=∠E=39°.∠ECF=24°，∴.∠CFE= △ABF和△CBD中， 〈AB=BC ,.△ABF≌ 180°-∠ECF-∠E=180°-24°-39°=117°. ∠A=∠C 第3课时用“SAS”判定三角形全等 ACBD(ASA),..BF=BD..BF=BC-CF=8-2=6, 1.D2.B3.A4.C 5.解：因为∠BAC=∠DAM,∠BAC=∠BAD+∠DAC, BD=6图中阴影部分的面积号FC,BD=合×2 ∠DAM=∠DAC+∠NAM,所以∠BAD=∠NAM.在 ×6=6. (AB-AN 36 14.25 [解析]如图，在BD上截取BF=DE,连接AF. △BAD和△NAM中，∠BAD=∠NAM,所以△BAD≌ AD=AM ∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠C=90°，∴.∠ABD △NAM(SAS),所以∠B=∠ANM. =∠C=∠E.在△ABF与△BED 6.獬：AE=BF,∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE. (AB=BE AC∥BD,∴.∠CAF=∠DBE.在△ACF和△BDE中， 中，∠ABD=∠E,△ABF≌ BF=DE AC-BD ∠CAF=∠DBE,.∴.△ACF≌△BDE(SAS),.'·CF △BED(SAS),∴.SABED=S△ABF. AF-BE DE=号BDBF=号BD,Sam=Sam =DE 7.A 含sam-号××号×号-器 8.解：如图所示. 15.解：，BE,CF分别是AC,AB边上的高，.BE⊥AC,CF ⊥AB,.∠BEC=∠CFB=90°，∴.∠ABO+∠BOF= ∠ACO+∠COE=90°.，∠BOF=∠COE,∠ABO= BM=AC ∠ACO.在△ABM和△NCA中，，∠ABO=∠ACO, AB=CN 9.解：如图所示 ∴.△ABM≌△NCA(SAS),∴.AM=AN. 16.解：(1)：DF∥CE,.∠FDC=∠ECD.在△FDC和 (DF=CE △ECD中，{∠FDC=∠ECD,∴.△FDC≌△ECD DC-DC (SAS),∴.CF=DE.(2),△FDC≌△ECD,.∠FCD =∠EDC.,AD=BC,∴.AD+DC=BC+DC,.AC= 10.A (FC=ED 11.AC公共角SSA不全等于不能 BD.在△FAC和△EBD中，，{∠FCA=∠EDB, 12.D[解析]：AE∥DF,∠EAB=∠FDC.BE∥CF, AC-BD ∠EBC=∠BCF,.∠ABE=∠FCD.AC=BD, △FAC≌△EBD(SAS),∴.∠A=∠B,∴.AF∥EB. [∠EAB=∠FDC 17.解：(1)因为AD是△ABC中BC边上的中线，所以BD= ,,AB=CD.在△AEB和△DFC中，AB=DC AD-DE ∠ABE=∠DCF CD.在△ABD和△ECD中，因为∠ADB=∠EDC,所 ∴.△AEB≌△DFC(ASA),.BE=CF.在△EBD和 BD-CD 同行学案学练测·25· 以△ABD≌△ECD(SAS),所以AB=EC.(2)由三角11.3 形的三边关系得EC十AC>AE.因为DE=AD,所以 12.解：：AC⊥BC,∴∠ACF+∠BCE=90°.，BE⊥FC, AE=2AD.又因为AB=EC,所以AB+AC>2AD. ∴∠BEC=90°，.∠CBE+∠BCE=90°，∠ACF= (3)1<AD<5 ∠CBE.,AF⊥FC,.∠F=90°.在△AFC和△CEB 第4课时选用合适的方法判定三角形全等 (∠F=∠CEB 1.C 中，∠ACF=∠CBE,∴.△AFC≌△CEB(AAS),∴.AF 2.AE=AF SAS(答案不唯一) AC-CB 3.解：因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,所以BF= =CE.EF=CF-CE,.'.EF=CF-AF. AB-DC 培优专题16：尺规作图 CE.在△ABF和△DCE中，因为∠B=∠C,所以△ABF 1.C BF=CE 2.解：如图所示 ≌△DCE(SAS),所以∠GEF=∠GFE,所以GE=GF(提 示：等角对等边). 4.D5.B6.(1)C(2)D 7.解：：DE∥AC,∠EDB=∠A.在△DEB与△ABC中， (DE=AB 3.解：如图所示. ,∠EDB=∠A,.△DEB≌△ABC(SAS),.∠E BD-CA =∠ABC. 8.A[解析]：OA=OD,AC=DE,.OA十AC=OD+ DE,即OC=OE.在△AOE和△DOC中， 4.解：如图所示 OA=OD ∠AOE=∠DOC,∴.△AOE≌△DOC(SAS),∴.DC= OE-OC AE,∠C=∠E.易知∠2=∠1+∠E,∴.∠2=∠1+∠C, 故甲、乙均正确. 5.解：示例：(1)如图①所示.(2)能.如图②所示. 9.解：(1)AB∥CD,∴∠A=∠D,∠ABO=∠DCO.在 X ∠A=∠D △ABO和△DCO中，AB=CD ,.△AB0≌ ∠ABO=∠DCO 409 40° △DCO(ASA). (2),△ABO≌△DCO,∴.BO=CO 1 cm .BECF,∴.∠OBE=∠OCF,∠OEB=∠OFC. ① 9 '∠OBE=∠OCF 培优专题17：全等三角形性质 在△OBE和△OCF中， ∠OEB=∠OFC,∴.△OBE≌ 与判定的综合应用 OB=OC 1.解：：∠AOB=∠COD,∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+ △OCF(AAS),∴.BE=CF. ∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中， 10.解：(1)BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE.在△ABE (OA=OB (AB=DB .∠AOC=∠BOD,∴.△AOC≌△BOD(SAS), 和△DBE中，{∠ABE=∠DBE,∴.△ABE≌△DBE OC=OD BE=BE ∴.∠OAC=∠OBD,即∠OAM=∠OBM. (SAS).(2)∠A=100°，∠C=50°，∠ABC=30°. (CA=CB :BE平分∠ABC,·∠ABE=∠DBE=合∠ABC= 2.解：在△CAD和△CBD中，{AD=BD,∴.△CAD≌ CD-CD 15°，∴.在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE= △CBD(SSS),∴.∠CDA=∠CDB,∠A=∠B.又·'AC= 180°-100°-15°=65°. CB,M,N分别为CA,CB的中点，∴.AM=BN.又：AD ·26·同行学案学练测 =BD,∴.△ADM≌△BDN(SAS),.∠ADM=∠BDN CG=CF =30°，∴.∠CDM=∠CDN.,∠ADN=80°，∴∠ADM+ (2)在△CDG和△CBF中，：{∠ACE=∠ACB, 2∠CDN=80°，.∠CDN=25. CD=BC 3.解：因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以CA= .△CDG≌△CBF(SAS),'.∠CBF=∠CDG.,∠DFH CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACE=60°， =∠BFC,∴∠DHF=∠BCF=6O°. 所以∠ACD=∠BCE=120°.在△ACD和△BCE中，因为 8.解：(1)BF∥AE,∠EAM=∠FBM,∠E=∠BFM. (CA=CB I∠EAM=∠FBM {∠ACD=∠BCE,所以△ACD≌△BCE(SAS),所以AD 在△AEM和△BFM中，，∠E=∠BFM ，,∴.△AEM CD-CE EM-FM =BE. ≌△BFM(AAS),∴.AE=BF.,AE=5,.BF=5. 4.解：PB十PC>AB十AC.理由如下：如图，在BA的延长线 (2)BF∥AE,.∠AEC=∠BFM.∠AEC=90°， 上截取AF=AC,连接PF.在△FAP和△CAP中，因为 ∴.∠BFM=90°，∴∠BFD=180°-90°=90°，∴.∠AEC= AF-AC ∠BFD.由(1)知AE=BF,.在△ACE和△BDF中， ∠FAP=∠CAP,所以△FAP≌△CAP(SAS),所以FP I∠CAE=∠DBF LAP-AP AE-BE ,△ACE≌△BDF(ASA),.CE= =CP.在△FPB中，FP+BP>FA+AB,即PB+PC> ∠AEC=∠BFD AB+AC. DF,..DF-CF=CE-CF,CD=FE 培优专题18：一线三等角模型 D 基本模型1：解：，∠B=∠ACD=90°，∴∠A十∠ACB= 90°，∠ACB十∠DCE=90°，∴∠A=∠DCE(同角的余角相 I∠A=∠DCE 等).在△ABC和△CED中，∠B=∠E,∴.△ABC≌ B AC-CD 5.解：EC=BF,EC⊥BF,理由如下：因为AE⊥AB,AF⊥ △CED(AAS),∴.BC=ED,AB=CE.,BE=CE+BC, AC,所以∠BAE=∠CAF=90°，所以∠BAE+∠BAC= .'.BE=AB+DE. ∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF.在△AEC和 基本模型2：解：∠E=∠BAD=90°，∴.∠D=∠BAC(同 (AE-AB ∠BAC=∠D △ABF中，因为∠EAC=∠BAF,所以△AEC≌△ABF 角的余角相等).在△ABC和△DAE中， ∠BCA=∠E, AC=AF AB-AD (SAS),所以EC=BF,∠AEC=∠ABF.因为AE⊥AB, .△ABC≌△DAE(AAS),.∴.BC=AE,AC=DE.'CE= 所以∠BAE=90°，所以∠AEC+∠ADE=90°.因为 AE-AC,..CE=BC-DE. ∠ADE=∠BDM(对顶角相等)，所以∠ABF十∠BDM= 基本模型3：解：BC⊥DE,∠CPE=90°，∠PCE十 90°.因为在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM ∠PEC=90°.，∠A=90°，.∠PCE+∠B=90°，∴.∠B= =180°-90°=90°，所以EC⊥BF. I∠B=∠CED 6.解：(1)∠BAE=∠CAD,∴.∠BAD=∠CAE.在 ∠PEC.在△ABC和△CED中，∠A=∠ECD,.△ABC I∠BAD=∠CAE BC=ED △ABD和△ACE中，：∠ADB=∠AEC,.△ABD≌ ≌△CED(AAS),.AB=CE,AC=CD.AE=AC-CE, AB-AC ∴AE=CD-AB. △ACE(AAS).(2):△ABD≌△ACE,∴.∠ABD= ∠ACE.,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴.∠OBC= 基本模型4：解：易知∠CPB=∠A+∠C.又，∠CPB= ∠OCB.∠B0C=140°，∠OBC=20°. ∠CPD+∠BPD,∠A=∠CPD,∴.∠C=∠BPD.在 7.解：(1)∠ACB=60°，.∠ACM=120°CE平分 I∠C=∠BPD △ACP和△BPD中，∠A=∠B,.△ACP≌△BPD ∠ACM,∴∠ACE=∠ACM=60在△ABC和△EDC PC=PD BC=CD (AAS),.'.AC=BP,AP=BD..'AB=AP+BP,..AB= 中，∠ACB=∠ECD,∴.△ABC≌△EDC(SAS). BD+AC. AC-CE 1.解：易知∠EFC=∠A十∠AGF,∠ABC=∠D十∠BGD.