4.1 第1课时 三角形的内角和、直角三角形的性质&培优专题13：三角形内角和定理的应用-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

1r-∠EF-∠OP+2∠EPF+∠CFP=9o+ 14.解：(1)0.6(2)0.60.4(3)2436 3等可能事件的概率 2∠CFP=9o°+2a. 第1课时概率公式 E 1.可能性 等可能的2.①③3.C4.B5.A6.A 2 7.B8.11 9.(1)A(2)20 10D11.B12.号 14.解：因为甲袋中红球个数是白球个数的2倍，所以设白球 有4x个，则红球有8x个，所以两种球共有12x个. 因为乙袋中红球个数是白球个数的3倍，且两袋中球的总 数量相同，所以红球有9x个，白球有3x个，所以混合后 模山红球的概率为：-品 241 第三章概率初步 15,解，092一-8（8由题意得9把-号，解得=3，所 1感受可能性 以m的值为3. 1.D2.D3.D4.B5.D 第2课时游戏的公平性 6.③①<⑦<②=⑤⑥④ 1.C2.C3.不公平 7.A8.B 4.解：(1)白(2)摸出一个球总共有6种可能，且它们的可能 9.1[解析]若第一次小明取走1根，小丽也取走1根，第二 次小明取走2根，小丽不论取走1根还是2根，小明都将取 性相容，P摸到白球)=方，P(摸到支球)名-， 走最后1根；若第一次小明取走1根，小丽取走2根，第二 P(摸到红球)= 6. (3)公平.因为P(摸到白球)=2， 次小明取走1根，小丽不论取走1根还是2根，小明都将取 走最后1根.因此，小明第一次应该取走1根火柴棒，则小 P(模到其他球)=2告1-号，所以公平 6 明获胜是必然事件 5.B6.B 2频率的稳定性 7.解：这个游戏不公平.所有可能的结果有三种，小丽获胜的 第1课时频率的稳定性 可能性为子，小红获胜的可能性为号，小红获胜的可能性 1 1.D2.D3.A 4.(1)0.680.701(2)0.7 大.所以这个游戏不公平 5.解：(1)180.55 8.解根据题意，得=020，即2x=20-x一2x,解 20 (2)如图： 得x=4,所以当x=4时，游戏对甲、乙双方公平 频率 .8 9.解：(1)小芳的提议不合理.理由如下：转盘被平均分成9等 0 份，转出的数字是3的倍数有3种，转出的数字是4的倍数 0.65 有2种，所以小芳获胜的概率=号-子，小亮获胜的版率 0.5 0.45 -号，而宁>号，所以小芳的提议不合理 0.3 20406080100120140160装赣 (2)示例：若转出的数字大于5，则小芳获胜，若转出的数字 小于5，则小亮获胜 (3)“兵”字面朝上的频率会在0.55附近摆动， 10.解：(1)列举如下：(-1，一2)，(-1,3)，(-1,4)，(-2， 第2课时事件发生的频率与概率 -1),(-2,3),(-2,4),(3,-1),(3,-2),(3,4), 1.D2.D3.B4.D5.C6.0.97.D8.C9.C (4,一1)，(4，一2)，(4,3.共有12种等可能的结果. 10.B11.B12.15 13.(1)0.9570.962(2)0.96 (②)小红摸出标有数3的小球的概率是子 第3课时几何概率 10号第2号 1.C2C3分4A5合6是 13.解：示例：(1)如图①所示.(2)如图②所示 (3)如图③所示. 7.C8.C9.A10.3 11.D 12.(1D(2) 2 13.C14.C 号 (2)提示：只要另选4个扇形区域涂上阴影即可. ② 14.解：商人盈利的可能性大.理由：由概率的相关知识作以 16.解：(1)3450.70(2)70(3)由题意，得估计黄色区域 所对圆心角的度数为(1-0.7)×360°=108°. 下估计：A出现的次数=80×号=40（次）.B出现的次数 17.解：（1)20πcm212πcm24xcm2(2)P(B)= 1 20+12x+4=子 12π =80X8=10(次)：C出现的次数=80×。=30（次），商 (3)根据题意得180× 人盈利为40×2=80（元），商人亏损为10×3十30×1= 20π 4r+12x+20元=100（粒），即大约有100粒豆子落在A 60(元).因为80>60，所以商人盈利的可能性大. 15.C 区域 7 培优专题11：几何概率 16.解：(1)P(A)=0(2)P(B)=1(3)P(C)=10 1B2634 (④)P(D)=4 1 如图所示. 5.解：(1)因为阴影区域的面积与大三角形的面积的比值是 6=3 (50%) (100%) 6=8,所以投针一次，针落在图中阴影区域的概率等于 0 D 0.5G 3 不可能 必然 8 (2)还要涂黑2个小正三角形，如图所示.（涂法不唯一） 发生 发生 第四章 三角形 1认识三角形 第1课时三角形的内角和、直角三角形的性质 1.C 2.△CDF,△BCD△BEF∠BCE CE 6解：P红色)8-行P白色)-8号 △ABD,△ACE,△ABC 3.B4.C (2)如图所示.（答案不唯一） 5.解：如图，过点A作EF∥BC.因为EF∥BC,所以∠1= 红白 ∠B,∠2=∠C.因为∠1+∠2+∠BAC=180°，所以 红 白 ∠BAC+∠B+∠C=180°. 黄 黄 培优专题12：概率公式的创新应用 1LB2.D&C4B5号6玩 7.7 6.C7.C8.C 11 9.C10.A11.B12.A13.B14.B15.D16.15 8.(1)2(2)1,2,2 17.60°[解析]方法1：∠BFC=130°，∠BFA=50°， 章末复习 又AB∥CD,.∠A+∠C=180°.：∠B+∠A+ 1.B2.B3.A4.1005.0.956.B ∠BFA+∠D+∠C+∠CED=360°，∴.∠B+∠D= 60°.方法2：如图，过BF,DE的交点G作GH∥AB,易知 7.A8296 ∠B+∠D=∠BGD.,∠BFC=130°，∠BFA=50°， 同行学案学练测·23· .∠EGF=180°-∠BFA-∠CED=180°-50°-70°=12.(1)D(2)B(3)A13.(1)D(2)B14.7 60°，∴∠BGD=∠EGF=60°，即∠B+∠D=60° 15.解：(1)设第三根木棒的长度为xm.根据三角形的三边关 B 系可得5-3<x<5十3，即2<x<8,所以x=3,4,5,6, 2-------H 7,共有5种规格的木棒可供选择.(2)选择长度为3m 的木棒最省钱。 D 16.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.由题意得x十 18.解：在Rt△ABF中，因为∠A=70°，CE,BF是两条高，所 2x十2x=18,解得x=3.6.所以三边长分别为3.6cm, 以∠EBF=20°，∠ECA=20°.又因为∠BCE=30°，所以 7.2cm,7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可 ∠ACB=50°，所以∠FBC=90°-50°=40°. 能是底，所以要分两种情况计算.第一种情况：4cm长的 19.解：如图，连接AC并延长，交EF于点M.AB∥CF, 边为底，设腰长为xcm,由已知条件得4十2x=18,x=7, ∴∠3=∠1.AD∥CE,∠2=∠4，.∠BAD=∠3+ 三边长分别为4cm,7cm,7cm,可构成三角形；第二种情 ∠4=∠1+∠2=∠FCE.·∠FCE=180°-∠E-∠F 况：4cm长的边为腰，则底为18-4×2=10.因为4+4< =180°-80°-50°=50°，∴.∠BAD=∠FCE=50°. 10,所以不能构成三角形.所以另两边长分别为7cm, 7 cm. 第3课时三角形的角平分线、中线、高 1.B2.C3.104.D5.D6.B7.A8.B 9.1010.B11.D12.80°13.∠2，∠5∠3，∠4 14.C15.7816.A 17.(1)48,28[解析]设BD=CD=x,AB=y,则AC=2BC 培优专题13：三角形内角和定理的应用 =4x.,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和 40两部分，AC>AB,.AC+CD=60,AB+BD=40,即 1.C2.A3.B4.B5.360 6.60°[解析]因为∠A=30°，所以∠ABC+∠ACB=150° 4x十x=60,x+y=40,解得x=12,y=28.当AB=28, BC=24,AC=48时，能组成三角形，.AC=48,AB= 因为∠D=90°，所以∠DBC+∠DCB=90°，所以∠ABD 28.(2)16,16,10或12,12,18[解析]设AB=AC= 十∠ACD=150°-90°=60°. 1 1 7.60°或10°[解析]分两种情况：如图①，当∠ADC=90时， a,BC=b,则有a+2a=24,2a+b=18或a+2a= ,∠B=30°，∴.∠BCD=90°-30°=60°；如图②，当∠ACD 18,20+b=24,解得a=16,6=10或a=12.6=18,这 =90时，∠A=50°，∠B=30°，∠ACB=180°-30°- 时三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18，它们都 50°=100°，.∠BCD=100°-90°=10°.综上，∠BCD的度 能构成三角形. 数为60°或10° 18.2 19.(1)10(2)3 20.(1)3:4 (2)15：12：10[解析]因为a:b：c=4：5：6,所以设a =4级，6=5,6=6k.因为Sn度=2ah:=2h,=2ch: 8.解：(1)AB/CD,∠1=∠EGD.又.∠2=2∠1，∠2 -2。-号h,=3:,所以A。h,h:=15:12:10, -2∠EGD.又：∠PGE=60,∠pGD=号180°-60) 21.解：PD十PE的值能确定，且PD十PE=3.理由：如图，连 =40°，.∠1=40°(2)AB∥CD,.∠AEG+∠CGE 接AP.由图可得S△A=S△AB即十S△ACP.因为PD⊥AB, =180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°.又 PE⊥AC,AB=AC=4,△ABC的面积为6，所以6= ,∠FEG+∠EGF=90°，∴.∠AEF+∠FGC=90°. 名×4XPD+合×4XPE=2(PD+PE),所以PD+ 第2课时三角形的边 PE=3. 1.D2.C3.C4.A5.B6.C7.D 8.解：，a,b,c为△ABC的三条边长，∴.a十b-c>0,c-a-b <0,.原式=a十b-c+(c-a-b)=a十b-c十c-a-b=0. 9.B10.A 11.7,6,2(答案不唯一) ·24·同行学案学练测 22.解：∠CAB=50°，∠C=60°，.∠ABC=180°-50°- 60°=70°.又AD是高，.∠ADC=90°，∠DAC=180 图@所示，AC=6,PE=10-2,所以SE=AC· -90°-∠C=30°.AE,BF是角平分线，∠CBF= PE=3(10-2)=10,解得1=9综上所述，当：为号或 ∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴.∠DAE=∠DAC ∠EAF=5°，∠AFB=180°-∠BFC=∠C+∠CBF= 3时，△APE的面积等于10cm. 60°+35°=95°，.∠BOA=180°-∠AOF=∠EAF+ ∠AFB=25°+95°=120°，∠DAE=5°，∠BOA=120°. 培优专题14：三角形面积的求解与应用 1.A2.B3.B P 4.C[解析]如图，连接CD.因为点D是AG的中点，所以 ① ③ Sm=7SSow=7S所以Sw+Sam 培优专题15：三角形中与角平分线有关的规律探究 合Sm=号，所以S0m=号S嘿=是：因为点E是 1.76°2.30°3.(1)120°(2)135°4.45°5.76 BD的中点，所以S6ame=合SAm=是，因为点F是CE 1 6.27.锐角8.40°9.52°10.12°11.60° 12.解：由题意知∠B=∠C十x°.，AF平分∠BAC, 的中点，所以S0图=号Sme= ·故选C 1 ∠BAE=∠CAE.又，∠BAE+∠B+∠AEB= ∠CAE+∠C+∠AEC,∴∠B+∠AEB=∠C+ ∠AEC,∴.∠AEC=∠AEB+x°.又，∠AEB+∠AEC =180°，.∠AEB+∠AEB+x°=180°，∠AEB= ∠DEF=2180-x.:FD1BC,∠EDF=90, 5.326.B7.58.159.B ∠F=90-∠DEF=90-218o-9=7 10.2.4[解析]因为AD是BC边上的中线，△ABD的面积 2全等三角形 为24，所以△ADC的面积为24.因为点E是AD的中点， 1.△ADC AD∠DCA 所以△CDE的面积为12.因为BC=20,AD是BC边上 2.≌∠A'∠A'B'C'∠C' 的中线，所以DC=10.因为DC·=12,即×10× 3.C4.D5.A6.A7.C8.C9.B10.C11.B EF=12,所以EF=2.4. 12.(1)B(2)20°13.(1)85°(2)5 11.解：如图，连接AE,BF,CD.因为AD=DF,BE=ED, 14.1015.26°16.18 EF=FC,所以S AADXC=SACDE,S△ABD=S△ABE,S△BE= 17.解：∠ACE=90°.理由：因为Rt△ABC≌Rt△CDE,所以 ∠BAC=∠DCE.因为∠B=90°，所以∠BAC+∠BCA S△EFD,S△BBr=S△BFC,S△ABD=S△BDF,S△AEF=S△APC, △ABC被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的 =90°.所以∠DCE+∠BCA=90°.所以∠ACE=180°- (∠DCE+∠BCA)=90°. 1 三角形的面积是△ABC的7，所以蚂蚁踩到阴影部分的 18.獬：：△AOB≌△ADC,∠O=90°，∠AB0=B,∴.AB= 概率是 AC,∠CAD=∠OAB=90°-B,.∠ACB=∠ABC. BCI∥OA,∴.∠ABC=∠ACB=∠OAB=∠CAD=90 -B,∠OAC+∠ACB=180°，∴.∠OAC+∠ACB= ∠OAD+∠ACB+∠CAD=a+2(90°-B)=180°， a=28. 19.B[解析]延长EG交AB于点Q,交AD于点P. .△ACF≌△ADF,△ABG≌△AEG,∠BAC=40°， 12.解：当点P在线段AC上，即0<t≤3时，如图①所示，AP ∴∠DAF=∠BAC=40°，∠EAG=∠BAC=40°，∠D= =2,CE=号BC=4,所以Ss=号AP·CE=4= ∠ACF,∠E=∠ABG,∴∠PAE=120°，.∠APE+ 5 ∠E=60°.DF∥EP,∠APE=∠D,∠APE= 10,解得1=？；当点P在线段CE上，即3<1≤5时，如 ∠ACF,∴.∠ABG+∠ACF=60°.易知∠BFH=∠BAC第四章三角形 1 认识三角形 第1课时 三角形的内角和、直角三角形的性质 即知识技能 >》>>>>》> 难度等级基础题 形，试说明：∠A+∠B十∠C=180°. 知识点一：三角形及其相关概念 1.下列是小强用三根火柴棒组成的图形，其中 符合三角形概念的是( X人.八 知识点四：按角的关系将三角形进行分类 2.如图，以CD为公共边的三角形有 6.满足∠A=2∠B=3∠C的△ABC是( ∠EFB是 的内角；在△BCE中， A.直角三角形 BE边所对的角是 ,∠CBE所对的 B.锐角三角形 边是 ;以∠A为公共角的三角形 C.钝角三角形 有 D.直角三角形或锐角三角形 7.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡， 其中不能判断三角形类型的是() 知识点二：三角形的内角和 3.(大庆中考变式)在△ABC中，∠A,∠B,∠C B 的度数之比为2：3：4，则∠B的度数 知识点五：直角三角形两锐角互余 为() 8.(淄博中考)如图，在四边形ABCD中，CD∥ A.40° B.60° AB,AC⊥BC,若∠B=50°，则∠DCA=() C.80° D.90° A.30° B.35 C.40°D.45 4.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=() 140° A.360° B.180° 第8题图 第9题图 C.280 D.320° 9.如图，DF⊥AB,∠B=60°，∠DCA=100°，则 知识点三：三角形内角和定理的证明 ∠AEF的度数为( ) 5.(淄博中考)如图，△ABC是任意一个三角 A.80° B.60 C.50° D.30° 做神龙题得好成绩 81 ☑同行学案学练测七年级数学下BS 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=16.(泰州中考)将一副三角尺如图叠放，则图中 56°，AD⊥BC,DE∥AC,则∠ADE的度数 ∠a的度数为 为() B D 第16题图 第17题图 A.56° B.46°C.44° D.34° 17.[一题多解]如图，AB∥CD,点E,F在AC 知识点六：两角互余的三角形是直角三角形 边上，已知∠CED=70°，∠BFC=130°，则 11.已知△ABC中，∠A,∠B,∠C三个角的度 数比如下，其中能说明△ABC是直角三角 ∠B十∠D的度数为 18.如图，在△ABC中，CE,BF是两条高，若 形的是() ∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与 A.2:3:4 B.1:2:3 ∠FBC的度数. C.3:4:5 D.1:2:2 12.在△ABC中，∠A+∠B=∠C,则下列结论 中不一定成立的是() A.∠B>45° B.∠A与∠B互余 C.∠C=90° D.△ABC为直角三角形 即数学理解+问题解决> 难度等级中等题 13.如图，若CD平分含30°角的三角尺的 ∠ACB,则∠1等于() A.110° B.105° C.100° D.95° 即联系拓广 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 19.(铁岭中考变式)如图，在△CEF中，∠E= 80°，∠F=50°，AB∥CF,AD∥CE,连接 C BC,CD,求∠A的度数. 第13题图 第14题图 14.(赤峰中考)如图，点D在BC的延长线上， DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A= 35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为() A.65° B.70° C.759 D.85° 15.如图，含30°角的三角尺放AE D 置在长方形纸片的内部， 三角形的三个顶点恰好在 长方形的边上，若∠FGCB =16°，则∠AEF等于() A.106°B.114° C.126° D.134° 82做神龙题得好成绩 第四章三角形 培优专题13：三角形内角和定理的应用 数 题型一：三角形内角和与角平分线、平行线 D放置在△ABC内，使它的两条直角边DE, 1.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°， DF分别经过点B,C,如果∠A=30°，那么 ∠BAD=∠CAD,DE∥AB,交AC于点E, ∠ABD+∠ACD= 则∠ADE的大小是( 7.[分类讨论思想]（哈尔滨中考）在△ABC中， A.45° B.54° C.40 D.50° ∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接 能 CD,若△ACD为直角三角形，则∠BCD的 E 度数为 题型四：三角形内角和与平行线的综合应用 力 B D C D 8.[创新意识]在综合与实践课上，老师让同学 第1题图 第2题图 们以“两条平行线AB,CD和一块含60°角的直 2.[一题多解]将一副三角尺按如图摆放，点E 角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF=60)”为 在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC, 主题开展数学活动. ∠B=∠EDF=90°，∠A=45°，∠F=60°，则 (1)如图①，三角尺含60°角的顶点G放在CD ∠CED的度数是( 要 上，若∠2=2∠1，求∠1的度数 A.15° B.20° C.25° D.30° (2)如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点 题型二：三角尺中的数学学问 E,G分别放在AB和CD上，请你探索并说 3.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD= 明∠AEF与∠FGC之间的数量关系 20°，则∠BOC的大小为( E A.140° B.160 C.170° D.150° 2 d 识 创新 第3题图 第4题图 4.（吉林中考)将一副三角尺按如图所示的方式 摆放，则∠a的大小为( A.85° B.75 C.659 D.60° 题型三：数学思想在三角形中的应用 5.[转化思想]如图所示，∠1十∠2十∠3十∠4 第5题图 第6题图 6.[整体思想]如图，把一个三角尺的直角顶点 做神龙题得好成绩 83