4.1 培优专题15：三角形中与角平分线有关的规律探究-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

培优专题15：三角形中 规律一：两个内角平分线的夹角 温響提示 方法归纳：三角形的两个内角平 分线交于一点，所形成的夹角（钝 角)的度数等于90°加上第三个角 度数的一半.如图，在△ABC中， ∠ABC与∠ACB的平分线相交B 于点0，则∠B0C=90°+∠A 1.如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的 两个角的平分线的交点，若∠BOC=128°，则 ∠A的度数是 2.如图，△ABC中，∠A=60°，BD,CE为 △ABC的角平分线，F为BD,CE的交点， DG为△DFC的高，则∠FDG= 3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB= 60°，点P为BC上任意一点，可以与点C重 合但不与点B重合，AD平分∠BAP,BD平 分∠ABP. (1)当点P与点C重合时，∠ADB的度数 为 (2)当AP⊥BC时，∠ADB的度数为 第四章三角形☑ 角平分线有关的规律探究 规律二：一个内角平分线与一个外角平分线的 夹角 ◆温馨提示 方法归纳：三角形的一个内角 平分线与一个外角平分线交 抽象能力 于一点，所形成的夹角（锐角） B 的度数等于第三个角度数的一半.如图，在 运算 △ABC中，BD,CD分别平分∠ABC, ∠ACE,则∠BDC=2∠A. 直观 4.如图，在平面直角坐标系中，A,B分别是 x轴、y轴上的两个动点，∠BAO的平分线与 ∠ABO的外角平分线相交于点C,在A,B的 运动过程中，∠C的度数是一个定值，这个定 值为 B 第4题图 第5题图 应用意识 5.如图，直线EF∥MN,点A,B分别是EF, MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°， 新 ∠AGB和∠CBN的平分线交于点D,若 识 ∠D=52°，则m的值为 6.如图，在△ABC中，∠A=a,∠ABC的平分 线与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1, ∠A1BC的平分线与∠ACD的平分线交于 点A2,得∠A2…∠A224BC的平分线与 ∠A2o24CD的平分线交于点A2025,得∠A225, 则∠A2025三 做神龙题得好成绩 91 ☑同行学案学练测七年级数学下BS 规律三：两个外角平分线的夹角 温馨提示 养 方法归纳：三角形的两个外角平分 线交于一点，所形成的夹角（锐角） 度数等于90°减去第三个角度数的 抽象 一半.如图，在△ABC中，BD,CDE 能力 分别是△ABC外角∠EBC,∠FCB的平分 运算 线，则∠BDC=90° 2<A 7.一个三角形的三条外角平分线围成的三角形 何直观 定是 三角形（填“锐角”“钝角”或 “直角”) 间戏 8.如图，△ABC中，BI,CI分别平分∠ABC, 念 ∠ACB,且∠BIC=140°，BM,CM分别平分 ∠ABC,∠ACB的外角，则∠BMC= 劈 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，BD,CD分别平分 ∠ABC,∠ACB,M,N,Q分别在DB,DC, BC的延长线上，BE,CE分别平分∠MBC, ∠BCN,BF,CF分别平分∠EBC,∠ECQ, 若∠F=16°，则∠A= 规律四：角平分线与高线的夹角 温馨提示 方法归纳：三角形同一顶，点 的高线与角平分线的夹角 度数等于另外两角度数之 B 差的一半.如图，在△ABC 中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,则 ∠EAD=2(∠B-∠C)(其中∠B>∠C). 92 做神龙题得好成绩 10.如图，△ABC中，AD⊥BC,AE是∠BAC 的平分线，∠B=60°，∠BAC=84°，则 ∠DAE= BD 11.如图，AD,AE分别是△ABC的高和角平分 线，∠B=40°，∠DAE=20°，点F在BC的 延长线上，FG⊥AE,垂足为H,FG与AB 相交于点G,则∠AGF的度数为 G H E DC F 12.如图，已知AF平分∠BAC,交BC于点E, 过点F作FD⊥BC于点D.若∠B>∠C, 且∠B一∠C=x°，求∠F的度数..∠EGF=180°-∠BFA-∠CED=180°-50°-70°=12.(1)D(2)B(3)A13.(1)D(2)B14.7 60°，∴∠BGD=∠EGF=60°，即∠B+∠D=60° 15.解：(1)设第三根木棒的长度为xm.根据三角形的三边关 B 系可得5-3<x<5十3，即2<x<8,所以x=3,4,5,6, 2-------H 7,共有5种规格的木棒可供选择.(2)选择长度为3m 的木棒最省钱。 D 16.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.由题意得x十 18.解：在Rt△ABF中，因为∠A=70°，CE,BF是两条高，所 2x十2x=18,解得x=3.6.所以三边长分别为3.6cm, 以∠EBF=20°，∠ECA=20°.又因为∠BCE=30°，所以 7.2cm,7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可 ∠ACB=50°，所以∠FBC=90°-50°=40°. 能是底，所以要分两种情况计算.第一种情况：4cm长的 19.解：如图，连接AC并延长，交EF于点M.AB∥CF, 边为底，设腰长为xcm,由已知条件得4十2x=18,x=7, ∴∠3=∠1.AD∥CE,∠2=∠4，.∠BAD=∠3+ 三边长分别为4cm,7cm,7cm,可构成三角形；第二种情 ∠4=∠1+∠2=∠FCE.·∠FCE=180°-∠E-∠F 况：4cm长的边为腰，则底为18-4×2=10.因为4+4< =180°-80°-50°=50°，∴.∠BAD=∠FCE=50°. 10,所以不能构成三角形.所以另两边长分别为7cm, 7 cm. 第3课时三角形的角平分线、中线、高 1.B2.C3.104.D5.D6.B7.A8.B 9.1010.B11.D12.80°13.∠2，∠5∠3，∠4 14.C15.7816.A 17.(1)48,28[解析]设BD=CD=x,AB=y,则AC=2BC 培优专题13：三角形内角和定理的应用 =4x.,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和 40两部分，AC>AB,.AC+CD=60,AB+BD=40,即 1.C2.A3.B4.B5.360 6.60°[解析]因为∠A=30°，所以∠ABC+∠ACB=150° 4x十x=60,x+y=40,解得x=12,y=28.当AB=28, BC=24,AC=48时，能组成三角形，.AC=48,AB= 因为∠D=90°，所以∠DBC+∠DCB=90°，所以∠ABD 28.(2)16,16,10或12,12,18[解析]设AB=AC= 十∠ACD=150°-90°=60°. 1 1 7.60°或10°[解析]分两种情况：如图①，当∠ADC=90时， a,BC=b,则有a+2a=24,2a+b=18或a+2a= ,∠B=30°，∴.∠BCD=90°-30°=60°；如图②，当∠ACD 18,20+b=24,解得a=16,6=10或a=12.6=18,这 =90时，∠A=50°，∠B=30°，∠ACB=180°-30°- 时三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18，它们都 50°=100°，.∠BCD=100°-90°=10°.综上，∠BCD的度 能构成三角形. 数为60°或10° 18.2 19.(1)10(2)3 20.(1)3:4 (2)15：12：10[解析]因为a:b：c=4：5：6,所以设a =4级，6=5,6=6k.因为Sn度=2ah:=2h,=2ch: 8.解：(1)AB/CD,∠1=∠EGD.又.∠2=2∠1，∠2 -2。-号h,=3:,所以A。h,h:=15:12:10, -2∠EGD.又：∠PGE=60,∠pGD=号180°-60) 21.解：PD十PE的值能确定，且PD十PE=3.理由：如图，连 =40°，.∠1=40°(2)AB∥CD,.∠AEG+∠CGE 接AP.由图可得S△A=S△AB即十S△ACP.因为PD⊥AB, =180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°.又 PE⊥AC,AB=AC=4,△ABC的面积为6，所以6= ,∠FEG+∠EGF=90°，∴.∠AEF+∠FGC=90°. 名×4XPD+合×4XPE=2(PD+PE),所以PD+ 第2课时三角形的边 PE=3. 1.D2.C3.C4.A5.B6.C7.D 8.解：，a,b,c为△ABC的三条边长，∴.a十b-c>0,c-a-b <0,.原式=a十b-c+(c-a-b)=a十b-c十c-a-b=0. 9.B10.A 11.7,6,2(答案不唯一) ·24·同行学案学练测 22.解：∠CAB=50°，∠C=60°，.∠ABC=180°-50°- 60°=70°.又AD是高，.∠ADC=90°，∠DAC=180 图@所示，AC=6,PE=10-2,所以SE=AC· -90°-∠C=30°.AE,BF是角平分线，∠CBF= PE=3(10-2)=10,解得1=9综上所述，当：为号或 ∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴.∠DAE=∠DAC ∠EAF=5°，∠AFB=180°-∠BFC=∠C+∠CBF= 3时，△APE的面积等于10cm. 60°+35°=95°，.∠BOA=180°-∠AOF=∠EAF+ ∠AFB=25°+95°=120°，∠DAE=5°，∠BOA=120°. 培优专题14：三角形面积的求解与应用 1.A2.B3.B P 4.C[解析]如图，连接CD.因为点D是AG的中点，所以 ① ③ Sm=7SSow=7S所以Sw+Sam 培优专题15：三角形中与角平分线有关的规律探究 合Sm=号，所以S0m=号S嘿=是：因为点E是 1.76°2.30°3.(1)120°(2)135°4.45°5.76 BD的中点，所以S6ame=合SAm=是，因为点F是CE 1 6.27.锐角8.40°9.52°10.12°11.60° 12.解：由题意知∠B=∠C十x°.，AF平分∠BAC, 的中点，所以S0图=号Sme= ·故选C 1 ∠BAE=∠CAE.又，∠BAE+∠B+∠AEB= ∠CAE+∠C+∠AEC,∴∠B+∠AEB=∠C+ ∠AEC,∴.∠AEC=∠AEB+x°.又，∠AEB+∠AEC =180°，.∠AEB+∠AEB+x°=180°，∠AEB= ∠DEF=2180-x.:FD1BC,∠EDF=90, 5.326.B7.58.159.B ∠F=90-∠DEF=90-218o-9=7 10.2.4[解析]因为AD是BC边上的中线，△ABD的面积 2全等三角形 为24，所以△ADC的面积为24.因为点E是AD的中点， 1.△ADC AD∠DCA 所以△CDE的面积为12.因为BC=20,AD是BC边上 2.≌∠A'∠A'B'C'∠C' 的中线，所以DC=10.因为DC·=12,即×10× 3.C4.D5.A6.A7.C8.C9.B10.C11.B EF=12,所以EF=2.4. 12.(1)B(2)20°13.(1)85°(2)5 11.解：如图，连接AE,BF,CD.因为AD=DF,BE=ED, 14.1015.26°16.18 EF=FC,所以S AADXC=SACDE,S△ABD=S△ABE,S△BE= 17.解：∠ACE=90°.理由：因为Rt△ABC≌Rt△CDE,所以 ∠BAC=∠DCE.因为∠B=90°，所以∠BAC+∠BCA S△EFD,S△BBr=S△BFC,S△ABD=S△BDF,S△AEF=S△APC, △ABC被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的 =90°.所以∠DCE+∠BCA=90°.所以∠ACE=180°- (∠DCE+∠BCA)=90°. 1 三角形的面积是△ABC的7，所以蚂蚁踩到阴影部分的 18.獬：：△AOB≌△ADC,∠O=90°，∠AB0=B,∴.AB= 概率是 AC,∠CAD=∠OAB=90°-B,.∠ACB=∠ABC. BCI∥OA,∴.∠ABC=∠ACB=∠OAB=∠CAD=90 -B,∠OAC+∠ACB=180°，∴.∠OAC+∠ACB= ∠OAD+∠ACB+∠CAD=a+2(90°-B)=180°， a=28. 19.B[解析]延长EG交AB于点Q,交AD于点P. .△ACF≌△ADF,△ABG≌△AEG,∠BAC=40°， 12.解：当点P在线段AC上，即0<t≤3时，如图①所示，AP ∴∠DAF=∠BAC=40°，∠EAG=∠BAC=40°，∠D= =2,CE=号BC=4,所以Ss=号AP·CE=4= ∠ACF,∠E=∠ABG,∴∠PAE=120°，.∠APE+ 5 ∠E=60°.DF∥EP,∠APE=∠D,∠APE= 10,解得1=？；当点P在线段CE上，即3<1≤5时，如 ∠ACF,∴.∠ABG+∠ACF=60°.易知∠BFH=∠BAC