第1章 培优专题4：乘法公式与图形拼组&培优专題5：杨辉三角-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

培优专题4：乘法 1.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它 的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图 ①可以得到(a十b)2=a2+2ab十b2,那么利 用图②所得到的数学等式是() 6 a b ① ③ A.(a+b+c)2=a2+b2+c2 B.(a+6+c)2=a2+62+c2+2ab+2ac+2bc C.(a+b+c)2=a2+62+c2+ab+ac+bc D.(a+b+c)2=2a+2b+2c 2.有足够多的长方形和正方形的卡片，如图 1号卡片 2号卡片 3号卡片 如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、 2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无 缝隙). (1)请画出这个长方形的草图，并运用拼图前 后面积之间的关系写出一个等式， (2)小明想用类似的方法解释多项式乘法 (a+3b)(2a+b)= ,应如何 取卡片？ 第一章整式的乘除 公式与图形拼组 数 素 3.【阅读材料】我们知道，图形是一种重要的数 养 学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数 中的数量关系，而运用数形结合思想能巧妙 地解决一些图形问题， 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张 象能 如图①所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种 纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长 运算 为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的 力 长方形，然后用一张甲种纸片、一张乙种纸 片、两张丙种纸片拼成了如图②所示的一个 大正方形 空 【理解应用】(1)观察图②，用两种不同的方式 间观 表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你 用 直接写出这个等式： 理 【拓展升华】(2)利用(1)中的等式解决下列 力 问题. 数据观 ①已知a2+b2=10,a+b=6,求ab的值. ②已知(2025-c)(c-2023)=1,求(2025- 模型 c)2+(c-2023)2的值. 念· 甲 用意识 创 ① ② 识 做神龙题得好成绩35 同行学案学练测七年级数学 下BS 数 培优专题5 素 养 1.如图是“杨辉三角”，揭示了(a十b)”(n为非负 整数)的展开式的项数及各项系数的有关 规律 象能 …(a+b)1=a+b …(a+b)2=a2+2ab+b2 运算 …(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 1…(a+b)4=a4+4ab+6a2b2+4ab+b4 (1)根据以上规律，(a十b)6的展开式共有 项，各项系数的和等于 (2)根据以上规律写出：(a一b)5= 念 2.我国北宋数学家贾宪发现了一个如图所示的 奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪 理 三角.在这个“三角形”中，第三行的三个数 力 (1,2,1)恰好对应着两数和的平方(a十b)2展 开式a2+2ab+b2的系数.类似地，通过计算 可以发现：第四行的四个数(1,3,3,1)恰好对 应着两数和的立方(a十b)3展开式a3+3a2b+ 3ab2+b3各项的系数等等.小明根据贾宪三 角得出如下结论： (a+b)0.… 识 (a+b.… (a+b)2.… 新 (a+b)3.… 3 (a+b)4.… 146 (a+b)5.·151010 5 (a+b)6.…1 61520156 ①(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； ②(a+b)5展开式的项中只有一项的系数是10； ③(a十b)?展开式的项中共有6项的系数是7 的整倍数； @()+4×()》°+6×（分）》+4×（兮）+ 1=256 81 在以上推断中正确的是 (填序号) 3.杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，如图是 36】做神龙题得好成绩 杨辉三角 他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”. 此图揭示了(a十b)”(n为非负整数)的展开 式的项数及各项系数的有关规律， …(a+b)'=a+b …(a+b2=a2+2ab+b2 …(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 14()()1 …(a+b)4= (1)填出(a十b)4的展开式中所缺的系数：(a +b)4=a4+4a3b+ a2b2+ ab3+64. (2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是 星期三，再过7天还是星期三，那么再过84 天是星期几？ 4.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》 中用如图的三角形解释二项和的乘方规律， 画四 只觉单0月 G⊕⑧白 结合杨辉三角并观察下列各式及其展开式： (a+b)2=a2+2ab+b2 121 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 1331 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 14641 (a+b)5=a+5ab+10a32+10a2b3+5ab+b15101051 (1)根据上式各项系数的规律，求出(a十b) 的展开式， (2)利用上面的规律计算：25一5×24+10×2 -10×22+5×2-1.16.解：原式=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2十x2= 5.x2-5y2,当x=1,y=2时，原式=5×12-5×22=5- 8(1①4z2-12xy+9y2(2)4a2-2a62+b 20=-15. 91D4z2+4红y+y2(2)p2-6g+9g2(3)是m2+4m+ 17.解：(1)二去括号时没有变号(2)原式=a2+2ab一 (a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2. 1644r2-2zy+y 18.解：(1)原式=2(1-2)(1+2)(1+)(1+ 10.D11.B12.C13.C 14.115.a2-216.C )×…×(1+a)=2(1-是)(1+是)(1+ 17.42[解析]设正方形纸片A的边长为a,正方形纸片B 的边长为b.由题意得a2-b2=2,(a十b)2-a2-b2=2ab )×x(1+)=21-)-2. (2)原式= =20,∴.图③中阴影部分的面积为(2a十b)2-3a2-262 364 =a2-b2+4ab=2+40=42. 合3-1D3+13+13*+1D×…X(32+1)-3 18.(1)x2y2-10xy+25(2)9m2+24mm+16n2 2g2-1D+1(3+1DX…X(30+1) 364」 2 3)+ 19.解：(1)对(2)(3x-2y)2-(x-2y)(x十2y)=9x2- 12xy+4y2-x2+4y2=8.x2-12xy+8y2. 第2课时平方差公式的应用 20.B 1.D2.A3.D 21.解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (4)-200 (2)由(1)可知(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+ 4.(1)400(2)9996(3)14325 2bc,把a+b+c=12,ab+bc+ac=28代入得122=a2+ 5.D6.D b2+c2+2×28,.a2+b2+c2=88.(3)2a2+7ab+3b2 7.(1)4a2(2)2x2-5xy-5y2 如图所示（画法不唯一）. 8.C9.B10.A11.B 12.解：(1)原式=(200+1)×(200-1)+1=2002-1+1= 40000. (2)原式=(100+2)(100-2)=1002 (3)°=1000-}=99是. (3)原式=2024 第4课时完全平方公式的应用 (2024-1)(2024+1)-(1000-1)(1000+1)=20242- 1.D2.2a+13.B4.A5.A6.497.C (20242-1)-(10002-1)=1-10002+1=-999998. 1 8.(1)9792.0599(2)8099.C10.a+2b 18.D-8y2a-4w2-y8)-y+8g 11.解：因为9x2+6xy十y2=(3x十y)2,x>0,y>0,所以这 14.解：(1)S1=a2-b2,S2=(a+b)(a-b).(2)(a+ 个正方形的边长为3x十y,所以这个正方形的周长是 4(3x+y)=12x+4y. b)(a-b)=a2-b2. 15.解：(1)①x3-27②4x2-2x+1③x-y 12De+1②18a-2ay+器28r-y-3y (2)原式=[(2x-y)(4x2+2xy+y2)][(2x+y)(4x2- 13.A14.C15.A16.B 2xy+y2)]=(8x3-y3)(8x3+y3)=64x8-y. 17.解：原式=4x2-9-(x2+4x十4)+4x+12=4x2-9 16.解：(1)15(2)由题意得偶数为2m,比2m大3的数为(2m x2-4x-4+4x+12=3x2-1,当x=2时，原式=3×2 +3),∴.(2m+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)= -1=11. 3(4n+3).,4n十3为整数，∴.3(4n+3)能被3整除. 18.解：(1)A-(x-2)2=x(x+7),A=(x-2)2+x(x (3)余数是3，理由如下：设这个数为n,比n大3的数为n +7)=x2-4x+4+x2+7x=2x2+3x+4. +3,(n+3)2-n2=(n+3+n)(n+3-n)=6n+9=6(n (2)-2x2-3x+1=0,.2x2+3x=1,A=1+4=5. +1)+3,所以6(n+1)+3被6整除，余数是3. 19.2920.6921.822.2823.924.125.1 第3课时完全平方公式 26.解：因为3-xy十(x十y一2)2=0，所以3-xy=0,x十 1.C2.B3.C4.13或-115.C y-2=0,所以xy=3,x十y=2,所以x2+y2+4xy= 6.(1)C(2)A7.7 (x+y)2+2xy=22+2×3=10. ·20·同行学案学练测 27.解：，(x十y)2=12,(x-y)2=4,.x2+2xy十y2=12①， (3)由题意可得DE=MF=x-1,DF=x-3,(x-1)(x x2-2xy十y2=4②.①十②，得2x2+2y2=16,.x2+ -3)=15.设x-1=m,x-3=t,则m-t=2,(x-1)(x y2=8;①-②，得4xy=8,.xy=2,x2+3xy+y2=8 -3)=mt=15,.(x-1)2+(x-3)2=m2十t2=(m +3×2=14. t)2+2mt=4十30=34，即正方形MFRN和正方形 28.獬：设a-2024=x,a-2025=y.,(a-2024)(a GFDH的面积和为34. 2025)=3,.xy=3,x-y=(a-2024)-(a-2025)= 培优专题3：利用乘法公式求图形面积 1,∴.(a-2024)2+(a-2025)2=x2+y2=(x-y)2+ 1.B2.A3.B4.205.23 2xy=1+2×3=7. 6.解：(1)(a+b)2-a2+2ab十b2(2)225(3)设AC 29.解：因为(x-2023)2+(x-2025)2=34,所以(x一2024 =m,BC=CF=n,则m十n=6.,S1十S2=20,m2+n2 +1)2+(x-2024-1)2=34,所以(x-2024)2+ =20.,(m十n)2=m2+2mn+n2,.m2+n2=(m+n)2 2(x-2024)+1+(x-2024)2-2(x-2024)+1=34,所 以2(x-2024)2+2=34,所以(x-2024)2=16. -2mn,.20=62-2m,.mn=8,.S翻影=2mn=4. 30.解：(1)原式=(4m2-n2)2=16m-8m2n2+n.(2)原 培优专题4：乘法公式与图形拼组 式=[(x-3)(x+3)]2=(x2-9)2=x4-18x2+81. 1.B 8)原式-(x-号)°=x-号+品 2.解：(1)图略.(a十b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.(2)2a2+ 31.解：(1)原式=(m+2n)2-2(m+2n)+1=m2+4mn+ 7ab十362分别选取1号、2号、3号卡片2张、3张、7张. 4n2-2m-4n十1.(2)原式=[(x+y)+1][(x十y) 3.解：(1)x2十y2=(x十y)2-2xy(2)①由题意，得ab= 1]=(x+y)2-1=x2+2xy+y2-1.(3)原式=[3 (a十6)2-(a2+b2),把a2+b2=10,a十b=6代入上式得 2 (2x-y)][3+(2x-y]=9-4x2+4xy-y2. 32解：设两个相邻整数分别为，x十1，则a=(②士)，b b=6,10=13. 2 ②由题意，得(2025-c)2+(c-2023)2 =(2025-c+c-2023)2-2(2025-c)(c-2023)=22-2 _+0+少.因为a-6=n++1_2n2+2m+l 2 ×1=2. 4 2 =<0,所以a<b, 培优专题5：杨辉三角 1.(1)764(2)a5-5a4b+10a3b2-10a2b3+5ab-b5 培优专题2：乘法公式的六种应用技巧 2.①③④ 1.1)a2-4b2(2)4x2-9y2(3)4x2-2xy+4y 1 3.解：(1)64(2)84=(7+1)4=714+14×713+91×712 十…十14×7+1，.84除以7的余数为1，∴.假如今天是 2.(1)x4-2x2+1(2)4x+26 星期三，那么再过84天是星期四. 3y2-4x2(24x号 (3)4a2-12ab+9b2 4.解：(1)(a+b)°=a°+9ab+36ab2+84ab3+126a5b4+ 4.(1)a2-b2+6b-9(2)a2-4b2+12bc-9c2 126a4b5+84a3b+36a2b7+9ab8+b°.(2)2-5×24+ 5.(1)x4-1(2)81m-256n4 10×23-10×22+5×2-1=(2-1)5=1. 6.(1)4xy(2)-4a2b2 4整式的除法 71或9 1.B2.B3.D 4.(1)-2x7y2 8.(1)39204(2)4016016(3)-395 2a-br3y④-8r 9.(1)a2-4b2(2)a8-32a4+256 (5)-2abc3 1 5.D6.B7.C8.4x2 10.211.0 9.C10.C11.C12.B13.D 12.解：(1)设3-x=p,x-2=q,则(3-x)(x一2)=pq= -1,(3-x)+(x-2)=p+q=1,.(3-x)2+(x-2)2 140z+8(22ag+(8)号m+ m+1 =p2十g2=(p十q)2-2pg=1十2=3.(2)设n-1021 (4)-10a3b =a,1022-n=b,则(n-1021)2+(1022-n)2=a2+b2 15.D16.D17.-3a2+4a-1 =11,(n-1021)+(1022-n)=a十b=1,∴.(n-1021)· 18.2xy-3x+x2y19.C20.A21.C22.C （102-m=ab=a+by,a3+b2）_1,11--5. 1 2 2 28.2aw4言日+日