第一章 整式的乘除（必备知识+15题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第一章整式的乘除（复习讲义） 单元目标聚焦·明核心 1.了解零指数幂、负指数幂的意义及其成立条件，体会幂的四种基本运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、 积的乘方)之间的整体联系与内在逻辑。 2.能用科学记数法表示绝对值较小的数，并准确进行相关计算。 3.理解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，能熟练运用分配律、结合律进行 整式乘法运算。 4.掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，理解其几何与代数意义，并能运用公式进行整式乘法运算 和化简。 5.能依据整式除法法则进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，并解决相关的化简与求值问题。 知识图谱梳理·固基础 同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 幂的运算 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再 把所得的幂相乘 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减 零指数寡、负指数幂 零指数幂、负指数幂、 科学记数法 科学记数法 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对 于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式 整式的乘除 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项 式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把 整式的乘法 所得的积相加 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 乘法公式 完全平方公式两数和（差）的平方等于它们的平方和加（减）它们积的2倍 单项式：单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬 整式的除法 多项式：单项式：各项分别除单项式再求和 教材要点精析·夯重点 知识点01幂的运算 1.同底数幂的乘法性质：a"·a”=am+"(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：(1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式。 1/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a"·a”·aP=am+m*p (m,n,p都是正整数). 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数 相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即am+"=am·a”（m,n都是正整数). 3.幂的乘方法则：（αm)”=am(其中m,n都是正整数）.即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 要点诠释：公式的推广：(a")”)P=amw(a≠0，m,n,p均为正整数) 4.幂的乘方法则逆用公式：a”=(a)=(a“）”,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题。 5.积的乘方法则：(ab)”=a”.b”(其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再 把所得的幂相乘， 要点诠释：公式的推广：(abc)”=a”.b”·c”(n为正整数) 6.积的乘方法则逆用公式：a”b”=(ab)”逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 10 时，计算更简便.如： ×20 ×2=1 7.同底数幂的除法：a"÷a”=am-(其中m,n都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：(1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式。 (2)逆用公式：即am-"=am÷a”(m,n都是正整数). 知识点02零指数幂、负指数幂、科学记数法 1.零指数幂：a°=1(a≠0) 2.负指数幂：aP= (a≠0，p是正整数) 3.科学记数法：我们可以利用10的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示 成a×10的形式，其中n是正整数，1≤a<10 知识点O3整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 2/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指 数相加混淆； ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则： ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式： ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式 2.单项式与多项式相乘： 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就 是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(a+b+c)m=am+bm+cm 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； ③在混合运算时，要注意运算顺序， 3.多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多 项式项数的积： ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两 个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(x+a)和(x+b)相乘可以得到. 知识点04乘法公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2 公式的几种变化： ①位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2; (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2 3/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2 ③指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4 ④增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2 ⑤连用公式变化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4 ⑥公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b) 2.完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加（减）它们积的2倍. 即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2;完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2 (1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 (2)公式的变化：①a+b2=(a+b)2-2ab;②ad2+b2=(a-b)2+2ab;③(a+b)2=(a-b)2+4ab; ④(a-b)2=(a+b)2-4ab;⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab 知识点O5整式的除法 (1)单项式：单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬 (2)多项式：单项式：各项分别除单项式再求和 (3)易错：漏符号、漏单独字母、指数算错 考点题型突破•拓思维 【题型一判断整式运算是否正确】 【例1】（2026七年级上重庆·专题练习)下列各式运算正确的是() A.（-m2）°=m6B.3m3.2m3=6m9C.m+2m2=3m3 D.2m3÷(-m=-2m2 【变式1-1】(25-26八年级上·天津和平.期末)下列计算正确的是() A.a.a=a B.（-3a=6a2 C.（-2x)x2-x=-2x3-2x2 D.(a+2)(2-a=4-a2 【变式1-2】(25-26八年级上·黑龙江伊春·期末)下列计算正确的是() A.2a2-3ab+2a）=6a3b+4a B.（-3a2b3÷9a3=-3ab C.a2+a6=a8 D.(-m+n2=-m2+n2 【变式1-3】（25-26八年级上·天津滨海新·月考)下列运算中，正确的是() A.x3.x2=x4 B.(x+y)(x-y)=x2+y2 4/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.x(x-2)=-2x+x2 D.3x3y2÷xy2）=3x 【题型二判断是否可用平方差或完全平方公式运算】 【例2】(25-26八年级上·广东江门月考)下列各式可以用平方差公式的是() A.(-a+4c(a-4c) B.（-3a-1(1-3a C.（x-2y)(2x+y) D.（-2x-y)2x+y 【变式2-1】(25-26八年级上云南昆明期末)下列式子中，不能用平方差公式运算的是() A.（a+b)(a-b) B.（-a+b)(-a-b C.(a+b)(-a-b) D.(a+b)(-a+b) 【变式2-2】(25-26八年级上山东济宁·周测)下列运算正确的是（) A.(x+y)(y-x)=x2-y2 B.(-x+y)2=-x2+2y-y2 C.(-x-y)2=-x2-2xy-y2 D.(x+y)(-y+x)=x2-y2 【变式2-3】(24-25八年级上江西南昌期末)下列各式中，能用完全平方公式计算的是(） A.（2a-3b)-2a-3b B.（a+3b)(a+3b) C.（a-3b)(a+3b) D.(3a-4b)(4a+3b 【题型三幂的混合运算及逆运算】 【例3】(25-26七年级上上海闵行期末)计算：（-2x2)'+(-3x)-(-x)°x÷(-x). 【变式3-1】(25-26八年级上河北廊坊·月考)计算： )a3.a3+(2a2）°-（-a）3÷a2）2 2)2a°-a2.a0+-2a'2÷a2 【变式3-2】(25-26八年级上新疆阿克苏月考)计算： (1)已知x"=64,x”=8,求xm"的值； (2)己知2m=a,2”=b,求23m+10n的值 【变式3-3】(25-26八年级上湖南衡阳·月考)(1)己知x"=6,x”=2,求①xm+”；②x2m-3m的值. (2)己知x-2y-1=0,求2÷4×8的值. 5/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型四零指数幂、负整数指数幂综合计算】 【例】2526八年级上青海海东费末片第：(-严+-2：付) 【变式4-1】(25-26八年级上北京海淀·期末)计算：(-1)2+（元-2026）9 【变式42】25-26八年级上福建福州：期未)计第：3+(-x-3-（ 【变式43】(25-26八年级上甘肃陇期末)计算：-P+(x-3.14°+(}+-2. 【题型五用科学计数法表示绝对值小于1的数】 【例5】(25-26八年级上·云南昆明·期末)流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是 0.0000000816米，0.0000000816这个数字用科学记数法可表示为一 【变式5-1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末)我国研究团队攻克了基带加工过程中的关键技术难题，成 功将哈氏合金轧制成厚度仅0.000046m,宽度0.012m,长度超2000m的超长超薄金属基带，基带表面粗 糙度小于20nm,光洁如镜，并具有优异的热稳定性和力学性能.数据0.000046用科学记数法表示为】 【变式5-2】(25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹 开.”这是清朝袁枚的一首诗《苔》·苔花的花粉直径约为0.0000084m,用科学记数法表示0.0000084为_ m. 【变式5-3】(25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末)我国科研团队制备出亚1m(纳米)栅极长度的晶体管， 其物理栅长为0.00000000034m,0.00000000034用科学记数法表示为一· 【题型六完全平方式中的字母参数问题】 【例6】（25-26八年级上山西临汾·期末)若x2+mx+25是完全平方式，则m的值是_ 【变式6-1】(25-26七年级上·上海杨浦·期末)若关于x的整式ax4+x2+16是某一个整式的平方，则a的值 是一 【变式6-2】(25-26八年级上黑龙江伊春期末)若x2-2(m+3)x+16是完全平方式，则m= 【变式6-3K25-26八年级上·四川眉山月考)已知4x2+x+9是一个完全平方式，那么k的值为 6/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 己知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为」 【题型七己知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例7】（25-26八年级上河北廊坊期末)若(3x+2)(x-m)的展开式中不含x的一次项，则实数m的值 为】 【变式7-1】(25-26八年级上·四川资阳期末)若计算(1+x)2x2+ax+1)的结果中含x2项的系数为-2，则a 的值为 【变式7-2K25-26八年级上广东汕头期末)要使(kx+2)(x2+x-1展开式中不含xX2项，则k的值等于 【变式7-3】(25-26七年级上重庆期末)已知A=2x2+ax-b,B=-x+1,C=2x3+3x2+5.若AB+C的值 与x的取值无关，则当x=-2时，A的值为一 【题型八整式乘除混合运算】 【例8】(25-26八年级上甘肃天水期末)化简：[(x-)2+(x+y(x-y]÷2x. 【变式8-1】(2025·重庆模拟预测)计算：3(x+y)2-(2x+y)(-y+2x)+2x2y+x)÷x 【变式8-2】（25-26八年级上河北廊坊期末)计算： (1)2aa-1+(a+3(a-3); (2)4a3b-6a2b2+12ab）÷(-2ab). 【变式8-3】(25-26八年级上·天津红桥期末)计算： 0)(8xy3-6xy2）÷-2x2y2）; (2)4x+1)-2(x+2)(2x-4)· 【题型九整式乘法混合运算一一化简求值】 【例9】(25-26八年级上四川眉山期末)先化简，再求值：[【x+2-x+川3x-川-5y]÷子x， 其中x=2025,y=2026, 7/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式9-1】(25-26八年级上重庆北碚期末)化简求值：[(x+2y)2+(x-3y(x+3y)-5y(2x-y]÷2x, 其中x=(-1)3,y=(-2)2 【变式9-2】(25-26八年级上·吉林长春期末)先化简，再求值： (2x+2x-列-x-22+6x-10y(-2x),其中x=-3. 【变式9-3】(25-26八年级上山东济宁周测)化简求值：[(2x+y2-(2x+(x-y)-2x2]÷(-2y),其中 x=-2,y= 2 【题型十利用乘法公式简便运算】 【例10】（25-26八年级上·甘肃金昌·期末)用简便方法计算： (1)482+96×52+522; (2)30.252-20.252. 【变式10-1】(25-26七年级下·全国·课后作业)用简便方法进行计算： (1)172+102+32. (2)9×11x101×10001. 3)512+49 +51×49. 2 【变式10-2】(25-26八年级上山东济宁.周测)计算： (1)2022+404×198+1982 (2)2023×2025-20242 (3)x-y+3)(x+y-3 【变式10-3】(25-26七年级下.全国·课后作业)运用平方差公式计算： (1)197×203. (2)99.8×100.2. (6)602×591 33 20252 (④2026×2024+1 【题型十一通过对完全平方公式变形求值】 【例11】（25-26八年级上湖南衡阳期末)己知a+b=5,ab=6,求下列各式的值： 8/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)a2+b2: (2)a-b. 【变式11-1】(25-26七年级上·上海期中)已知m+n=5,mn=-3, (1)求(m-2)(n-2)的值 (2)求(m-n)2 【变式11-2】(25-26八年级上江西南昌月考)已知x+y=7,xy=9,求下列各式的值. (1)x2-2xy+y2: 2(x2+y2. 【变式11-3】(25-26七年级下·全国·周测)已知x+y=3,y=-7,求： (1)x2+y2的值 (2)x2-y+y2的值. (3)(x-y)2的值. 【题型十二多项式乘法中的规律性问题】 【例12】(25-26八年级上·河南信阳·月考)观察下列各式. (x-1(x+1=x2-1 (x-1)(x2+x+1=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1=x4-1 (1)根据以上规律，则(x-1)x+x3+x4+x3+x2+x+1= (2)你能否由此归纳出一般规律(x-1)(x”+x-+…+x+1)= (3)根据以上规律求：52024+52023+5202+…+52+5的结果。 【变式12-1】(24-25七年级下山西太原月考)①16×14=224=1×1+1)×100+6×4 ②23×27=621=2×2+1×100+3×7 ③32×38=1216=3×3+1×100+2×8 9/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()按照上面的规律，迅速写出答案. 81×89= 73×77= 45×45= 64×66= (2)用公式(x+a(x+b)=x+(a+b)x+ab证明上面所发现的规律. 【变式12-2】(25-26七年级上河北保定月考)我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图 表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”， ......(a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 .(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 1 .(a+b)4=+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 此图揭示了（α+b)”(n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为 (2)(a+b)2”展开式中共有 项，第19项系数为 (3)根据上面的规律，写出(a+b)°的展开式： (4利用上面的规律计算：3°-5×34+10×33-10×32+5×3-1； 【变式12-3】(25-26八年级上山东日照月考)阅读材料一：（a+b)”可以展开成一个有规律的多项式： (a+b)=a+b; (a+b)2=a2+2ab+b2: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化.下面我们依次对 (a+b)”展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它 上方两数之和.例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系 10/21 第一章 整式的乘除（复习讲义） 1. 了解零指数幂、负指数幂的意义及其成立条件，体会幂的四种基本运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）之间的整体联系与内在逻辑。 2. 能用科学记数法表示绝对值较小的数，并准确进行相关计算。 3. 理解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，能熟练运用分配律、结合律进行整式乘法运算。 4. 掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，理解其几何与代数意义，并能运用公式进行整式乘法运算和化简。 5. 能依据整式除法法则进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，并解决相关的化简与求值问题。 知识点01 幂的运算 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 3.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 4.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 5.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 6.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 时，计算更简便.如： 7.同底数幂的除法：(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点02 零指数幂、负指数幂、科学记数法 1.零指数幂：（a≠0） 2.负指数幂：（a≠0，p是正整数） 3.科学记数法：我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 知识点03 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 2.单项式与多项式相乘： 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 3.多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点04 乘法公式 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab. 知识点05 整式的除法 （1）单项式÷单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬 （2）多项式÷单项式：各项分别除单项式再求和 （3）易错：漏符号、漏单独字母、指数算错 【题型一 判断整式运算是否正确】 【例1】（2026七年级上·重庆·专题练习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法． 根据积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．不是同类项，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·天津和平·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂乘法、积的乘方、单项式乘多项式以及平方差公式的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：选项A： ，故A错误； 选项B： ，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D： ，故D正确． 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·天津滨海新·月考）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据运算法则：同底数幂相乘，平方差公式，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，分别对四个式子逐一计算，再作判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 【题型二 判断是否可用平方差或完全平方公式运算】 【例2】（25-26八年级上·广东江门·月考）下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据判断各选项即可． 【详解】解：A．，为完全平方的相反数，不符合题意； B．，符合题意； C．，无相同项或互为相反数的项，不符合题意； D．，为完全平方的相反数，不符合题意； 故选 ：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键，平方差公式要求两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数．选项C中两个二项式整体互为相反数，不符合公式条件． 【详解】解：选项A∶ ，a相同，b与相反，∴可用公式． 选项B∶ ，相同，b与相反，∴可用公式． 选项C∶，不符合平方差公式“一项相同，另一项互为相反数”的结构特点，∴不能用公式． 选项D∶ ，b相同，a与相反，∴可用公式． ∴不能用平方差公式的是C． 故选C． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东济宁·周测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：∵ 平方差公式：， 完全平方公式：，． A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 【变式2-3】（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 【题型三 幂的混合运算及逆运算】 【例3】（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 【变式3-1】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）逆用同底数幂的除法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）（1）已知，，求①；②的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）①12；②；（2）16 【分析】本题主要考查了同底数幂除法及其逆运算，幂的乘方及其逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）分别根据同底数幂乘法和同底数幂除法的逆运算求解即可； （2）先根据幂的乘方得到原式，再根据同底数幂除法的法则求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ①； ②； （2）∵， ∴， ∴ ． 【题型四 零指数幂、负整数指数幂综合计算】 【例4】（25-26八年级上·青海海东·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；根据乘方运算、零次幂及负指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式． 【变式4-1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方，再算加减法． 本题考查了实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）计算：． 【答案】12 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简绝对值，计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 【变式4-3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 【题型五 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 【例5】（25-26八年级上·云南昆明·期末）流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是米，这个数字用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：这个数字用科学记数法可表示为． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）我国研究团队攻克了基带加工过程中的关键技术难题，成功将哈氏合金轧制成厚度仅，宽度， 长度超的超长超薄金属基带，基带表面粗糙度小于，光洁如镜，并具有优异的热稳定性和力学性能．数据用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 将原数转换为科学记数法形式即可． 【详解】． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）我国科研团队制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型六 完全平方式中的字母参数问题】 【例6】（25-26八年级上·山西临汾·期末）若是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键． 利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式，即， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 【详解】设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若是完全平方式，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项，据此比较系数求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：1或． 【变式6-3】（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 【题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例7】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， ∴实数的值为． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·四川资阳·期末）若计算的结果中含项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点包括多项式的乘法运算法则、同类项的合并方法，以及通过系数对应关系构建方程求解参数的代数思想，核心是对整式运算和方程求解的综合应用；将多项式展开后，合并同类项，根据项的系数为，列出方程求解． 【详解】解： ∵项的系数为， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·广东汕头·期末）要使展开式中不含项，则k的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，解题关键是掌握不含某项、则某项的系数为零是解题的关键． 先根据多项式乘法展开，然后合并同类项，然后让项的系数为零，据此列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：， ∵展开式中不含项， ∴项的系数，解得：． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 【题型八 整式乘除混合运算】 【例8】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，以及多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式，将小括号展开，再根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式8-1】（2025·重庆·模拟预测）计算： 【答案】． 【分析】本题考查了整式的运算，通过完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式8-2】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算加法即可； （2）利用多项式除以单项式的运算法则，每一项都除以即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式8-3】（25-26八年级上·天津红桥·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式除以单项式，完全平方公式，平方差公式，熟练相关运算法则是解题的关键． （）利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可； （）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型九 整式乘法混合运算——化简求值】 【例9】（25-26八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的运算，涉及到乘法公式等知识，掌握相关知识并熟练使用，同时注意计算过程中需注意的事项，是本题的解题关键． 先使用完全平方公式和整式的乘法对小括号内的式子进行计算，然后合并同类项，再做除法即可化简完毕，最后将x、y的值代入即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式9-1】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则对中括号内的式子进行化简，再进行多项式除以单项式的运算，最后将x、y的值代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴． 【变式9-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式除以单项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式9-3】（25-26八年级上·山东济宁·周测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式中括号中利用完全平方公式及多项式的乘法化简，合并后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 【题型十 利用乘法公式简便运算】 【例10】（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察到，将原式凑成完全平方公式的形式，简化计算； （2）把各数写成整十/整百/整千的形式，连续用平方差公式逐步化简； （3）将原式通分，观察分子特点，利用完全平方公式的形式简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式10-2】（25-26八年级上·山东济宁·周测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法； （1）根据完全平方公式可以解答本题； （2）根据平方差公式可以解答本题； （3）根据平方差公式可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式10-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【题型十一 通过对完全平方公式变形求值】 【例11】（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据先求出的值，然后再求的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式11-1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 【变式11-2】（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含和的形式． （1）将结合完全平方公式转化为，代入，计算． （2）将变形为，代入已知值求出，再对其平方得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． 【变式11-3】（25-26七年级下·全国·周测）已知，，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1)23 (2)30 (3)37 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据完全平方公式变形求解； （2）将（1）中所求的，以及代入即可求解； （3）根据，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【题型十二 多项式乘法中的规律性问题】 【例12】（25-26八年级上·河南信阳·月考）观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 【变式12-1】（24-25七年级下·山西太原·月考）① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 【答案】(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 【变式12-2】（25-26七年级上·河北保定·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为3，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为6，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第3项系数为，倒数第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，倒数第三项的系数， ∴展开式共有项，第项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 【变式12-3】（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】(1)64， (2)①，②1 【分析】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． 【详解】（1）解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． （2）解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． 【题型十三 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】 【例13】（25-26八年级上·陕西安康·期末）对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为，对联上方留白称为天头，长为，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为，左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的． (1)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） (2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解题意表示出这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度和横向宽度是解题的关键． （1）根据题意求出地头的长，进而可求出左、右两边的边宽，再结合图形可得答案； （2）根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵天头和地头的长度之比为，且天头长为， ∴地头长为， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为； ∵左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的横向宽度为； （2）解： ， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的面积为． 【变式13-1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，有一块长、宽的长方形地块，现计划在中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） (2)当时，求草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了长方形面积公式，多项式乘法法则及整式的加减运算． （1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解：由图可知，草坪的面积是： ， 答：草坪面积为； （2）解：当时， ， 答：草坪的面积是． 【变式13-2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 【变式13-3】（25-26八年级上·贵州黔西·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 【题型十四 乘法公式中几何图形的应用】 【例14】（25-26八年级上·云南文山·期末）如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 【答案】(1) (2)①15；② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出两图中空白部分的面积，即可得到乘法公式； （2）①根据（1）所得公式求解即可；②根据（1）所得公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中空白部分的面积为， 图2中空白部分的面积为， 可以得到乘法公式：， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 【变式14-1】（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【变式14-2】（25-26八年级上·广东潮州·期末）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，，令，，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】解：（1）设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）设正方形边长为， ∵，， ∴，， 令，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 【变式14-3】（25-26八年级上·吉林·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出之间的等量关系是 ； (2)若，则的值为 ； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ； (4)若，写出的值为 ． 【答案】(1) (2)22 (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的应用，观察图形，正确表示出图形的面积是解题关键． （1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）利用（1）中得到的等式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，表示出正方形的面积，正方形的面积，的面积，再利用（1）中的等式进行计算即可； （4）设，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ∴， 故答案为：． （2）解：∵由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积和正方形的面积为， ∴的面积为：，故， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型十五 整式的运算中的新定义型问题】 【例15】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（，，都是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)不是平衡多项式 (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，理解平衡多项式的定义，列出算式是解题关键． （1）根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义分三种情况分别计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴由定义可知，不是平衡多项式 （2）解：∵是平衡多项式， 分三种情况： 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴与，，都是非零常数相矛盾，不合题意舍去； 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴， ∴； 综上所述，平衡因子． 【变式15-1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”． (1)[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________． (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？ (3)[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值． 【答案】(1)4 (2)12 (3)25 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据、和“雅美数”的定义求解即可得； （2）将配方成，则，代入计算即可得； （3）将配方成，根据，和“雅美数”的定义可得，据此即可得． 【详解】（1）解：∵，0和2都是整数， ∴4是“雅美数”； ∵，不能表示成两个数的平方和形式， ∴6不是“雅美数”； 故答案为：4． （2）解： ， ∵二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（为常数）， ∴， ∴． （3）解： ， ∵，为整数， ∴，， ∴要使为“雅美数”，即能表示为两个整数的平方和，则， ∴． 【变式15-2】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 【变式15-3】（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 【答案】(1) 3 (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式的配方以及根据新定义判断多项式的对称轴，解题的关键在于将多项式通过配方转化为完全平方式的形式，再根据定义确定对称轴． （1）首先对多项式进行配方，化成完全平方的形式，求解对称轴即可． （2）先对多项式进行配方，在根据多项式关于对称，求解的值即可． （3）先对整式中的两个多项式分别进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称 故答案为：3； （2）解：∵， ∴关于对称， ∵关于对称， ∴， ； 故答案为：； （3）解：， ， ∴原式， ∵当取相反数时，相等，故原式值相等， ∴关于对称． 故答案为：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆开州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的乘除法等，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）年月日，清华大学方璐教授团队成功研制全球首款亚埃米级快照光谱成像芯片“玉衡”，该芯片能在米至米的宽光谱范围内实现千万像素级光谱成像．用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 将小数转换为科学记数法，需确定小数点移动的位数和方向，然后即可求解； 【详解】解：∵ 的小数点向右移动7位得到4， ∴ ， 故选：D； 3．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解一元一次方程，正确理解多项式与取值无关的意义是解题的关键．先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简已知的代数式，再根据代数式的值与无关，则的系数必须为零，列方程并解方程即可得解． 【详解】解： ， 代数式的值与无关， ， 解得． 故选：C． 4．（25-26八年级上·甘肃陇南·月考）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，根据新定义可得，再利用完全平方公式去括号，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级上·广东潮州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则得出，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是幂的运算性质，灵活运用积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．根据积的乘方公式，以及幂的乘方公式，将变形为，再代入已知条件计算． 【详解】由和，得． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂，利用同底数幂相乘的法则，将原式转化为以2为底的指数形式，再根据已知条件求出指数值，最后计算负整数指数幂． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·北京·期末）如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键；先根据正方形的性质表示出，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为x， ， ， ， ， 两个阴影部分都是正方形且面积和为60， ， ， ， 重叠部分的面积为28， 故答案为：28． 三、解答题 9．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的运算，再计算加减即可； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再进行同底数幂的乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级上·四川资阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及化简求值．先根据平方差公式和完全平方公式计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ． 当，时，原式． 11．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】(1) (2)475平方米 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵米，米， ∴（平方米）． 12．（25-26七年级上·新疆·月考）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，图2可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，则_____； 【类比应用】（2）①若，则_____； ②若满足，求的值； 【知识迁移】（3）两块相同的直角三角板（）如图3所示放置，其中，在一直线上，连接，．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）2；（2）①3；②31；（3）30 【分析】本题主要考查了三角形面积公式的应用，完全平方公式，解题的关键是掌握公式变形，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据完全平方公式进行变形计算即可； （2）①根据，得出，求出，根据，得出；②设，，则，，再根据完全平方公式即可得出答案； （3）设，，根据，，得出，，根据完全平方公式变形求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 故答案为：2． （2）①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：3； ②设，，则， ∴， ∴， 即， ∴． （3）设，， ∵，A，O，D在同一直线上， ，， ，， ∴，， ， ， ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解： 故选A． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的除法运算，积的乘方运算及完全平方公式，熟记运算法则是解本题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方的运算法则及完全平方公式逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．和指数不同，不是同类项，不能直接相加，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·天津·月考）已知，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，根据题意可求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和乘方运算，分别计算 a、b、c 的值，然后比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川泸州·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，运用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·期末）华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏·假期作业）若，，，，则a，b，c，d的大小关系是 ．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·重庆·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照相应负整数指数幂、幂的运算法则逐步计算． 【详解】（1）解：根据负整数指数幂的定义： ； ； ． 则：原式 ． 故答案为：． （2）解：根据幂的乘方、积的乘方： ； ； ． 将上述结果代入原式： 原式= ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的运算，包括幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除，解题关键是熟练掌握这些幂的运算法则，按照先乘方后乘除的顺序进行计算． 12．（2026七年级上·重庆·专题练习）用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)255 【分析】本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为，即可利用完全平方公式进行计算； （2）将原式视为，再将变形为，依次利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 13．（25-26八年级上·河南南阳·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的乘除和代数式，先计算小括号和除法，再计算中括号，化简后，代入即可． 【详解】解： ， 将，代入，得 原式． 14．（25-26八年级上·山东德州·月考）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）先处理多项式除法，根据多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别除以单项式b，得到，然后处理完全平方公式并展开括号，合并同类项得到化简式子，最后代入求值部分即可； （2）先处理平方差公式，然后处理多项式除法后展开括号，合并同类项得到化简式子，最后代入求值部分即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时， 原式． （2）解：原式 ， 当，时， 原式． 15．（25-26八年级上·全国·假期作业）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 16．（25-26八年级上·全国·期末）探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 17．（25-26八年级上·陕西安康·期末）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精准描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)如图①，一个边长为的大正方形被分割成两个较小的正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为 ； (2)已知，，求的值； (3)如图②，某景区有一块长方形空地，，，点， 分别是边，上的点，且，景区打算以，为边修建一个长方形休息区，在长方形空地外的等腰和等腰区域内种植草坪增加绿化(阴影部分)，若长方形休息区的面积为，求种植草坪(阴影部分)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）图①中阴影部分是边长为的正方形的面积，也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即可得出结论； （2）根据（1）所得的数学等式进行解答即可； （3）根据题意得：，设，，根据，再结合（1）所得的数学等式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵图①中阴影部分是边长为的正方形，它的面积为，也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即：， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵长方形中，，，；长方形中，，为边， ∴，， ∵长方形的面积为， ∴， 设，，则，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴种植草坪(阴影部分)的面积为． 18．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $