1.3 第4课时 完全平方公式的应用-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

☑同行学案学练测七年级数学下BS 第4课时 完全 即知识技能 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：利用完全平方公式进行化简 1.下列各式中计算正确的是( ) A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+2b)2=a2+2ab+4b2 C.(a2+1)2=a4+2a+1 D.（-m-n)2=m2+2mn+n2 2.(上海中考)计算：(a十1)2-a2 知识点二：利用完全平方公式求代数式的值 3.设(5a十3b)2=(5a-3b)2+A,则A=( A.30ab B.60ab C.15ab D.12ab 4.若|a-b|=1,则b2-2ab十a2的值为( ) A.1 B.-1 C.士1 D.无法确定 已知x十y-3,xy=号，则多项式3x2十3 的值为() A.24 B.20 C.15 D.13 6.(成都中考)已知a=7-3b,则代数式a2十 6ab+9b2的值为 知识点三：利用完全平方公式进行简便计算 7.(河北中考)将9.52变形正确的是() A.9.52=92+0.52 B.9.52=(10+0.5)(10-0.5) C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52 8.简便计算 (1)992-2.992 (2(29 30做神龙题得好成绩 平方公式的应用 知识点四：完全平方公式的实际应用 9.设一个正方形的边长为1cm,若边长增加 2cm,则新正方形的面积增加了() A.6 cm2 B.5 cm2 C.8 cm2 D.7 cm2 10.利用1个a×a的正方形，4个b×b的正方 形，4个a×b的长方形，可拼成一个无缝隙 且不重叠的大正方形，则这个大正方形的边 长是 11.如果一个正方形的面积是9x2+6xy+y2 (x>0,y>0),那么这个正方形的周长是 多少？ 知识点五：完全平方公式与整式的运算 12.计算. (1)(2x+1)2-(2x)2 22x-3)'+(-3x-景 (3)(2x+y)(x-2y)-(x-y)2 即数学理解+问题解决>》难度等级中等题 13.下列运算结果是1一2ab2十a2b4的是() A.(-1+ab2)2 B.(1+a2b2)2 C.(-1+a2b2)2 D.(-1-a2b2)2 14.若要得到(a一b)2,则a2十3ab十b2应加上 () A.-ab B.-3ab C.-5ab D.-7ab 15.在多项式x2-4x+4,1+16a2,x2-1,x2+ xy+y2中，是完全平方式的有() A.1个B.2个C.3个 D.4个 16.已知x2+4y2=13,xy=3,求x+2y的值， 这个问题我们可以用边长分别为x和y的 两种正方形组成一个图形来解决，其中x> y,能较为简单地解决这个问题的图形 是() A B D 17.(凉山州中考变式)化简求值：(2x十3)(2x 3)-(x十2)2+4(x十3)，其中x=2. 18.已知A是关于x的多项式，且A一(x一2)2= x(x+7). (1)求多项式A. (2)若-2x2一3x十1=0，求多项式A的值. 第一章整式的乘除 素养提升微专题 【乘法公式的变形技巧】 1.a2十b2的变形： (1)a2+b2=(a+b)2-2ab; (2)a2+b2=(a-b)2+2ab; (3)a2+62=2a+6)+(a-6)]. 2.ab的变形： (ab=[a+b)-a+b]: 8a6=号a+6）-a-6: (3b=是a+b)-a-b)门. 3.a士b的变形： (1)a士b=(a2-b2)÷(a千b); (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab; (3)(a-b)2=(a+b)2-4ab. 19.若x-y=5,xy=2,则x2+y2= 20.已知x2十y2=39,x-y=3,则(x十y)2= 21.已知ab=2,则(a+b)2-(a-b)2= 22.已知x+y=8,xy=12,则x2-xy+y2= 23.若ab=-2,a2+b2=5,则(a-b)2= 1 24.若(x+y)2=3,2xy=2,则(x-y)2= 25.若(x十y)2=11,(x-y)2=7,则xy的值 为 26.已知3-xy|+(x+y-2)2=0,求x2+y2十 4xy的值. 做神龙题得好成绩 31 ☑同行学案学练测七年级数学下BS 27.已知(x+y)2=12,(x-y)2=4,求x2+ 3xy十y2的值. 28.已知有理数a满足(a一2024)(a-2025)= 3,求(a-2024)2+(a-2025)2的值. 29.已知(x-2023)2+(x-2025)2=34,求(x- 2024)2的值. 【与完全平方公式有关的运算技巧】 技巧1：先用平方差公式 30.计算， (1)[(2m+n)(2m-n)]2 (2)(x-3)2(x+3)2 32做神龙题得好成绩 (3(x-3)(x+3)(x2-号) 技巧2：整体思想 31.计算. (1)(m+2n-1)2 (2)(x+y+1)(x+y-1) (3)(3-2x+y)(3+2x-y) 即联系拓广 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 32.a表示两个相邻整数的平均数的平方，b表 示这两个相邻整数平方和的平均数，试比较 a与b的大小.16.解：原式=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2十x2= 5.x2-5y2,当x=1,y=2时，原式=5×12-5×22=5- 8(1①4z2-12xy+9y2(2)4a2-2a62+b 20=-15. 91D4z2+4红y+y2(2)p2-6g+9g2(3)是m2+4m+ 17.解：(1)二去括号时没有变号(2)原式=a2+2ab一 (a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2. 1644r2-2zy+y 18.解：(1)原式=2(1-2)(1+2)(1+)(1+ 10.D11.B12.C13.C 14.115.a2-216.C )×…×(1+a)=2(1-是)(1+是)(1+ 17.42[解析]设正方形纸片A的边长为a,正方形纸片B 的边长为b.由题意得a2-b2=2,(a十b)2-a2-b2=2ab )×x(1+)=21-)-2. (2)原式= =20,∴.图③中阴影部分的面积为(2a十b)2-3a2-262 364 =a2-b2+4ab=2+40=42. 合3-1D3+13+13*+1D×…X(32+1)-3 18.(1)x2y2-10xy+25(2)9m2+24mm+16n2 2g2-1D+1(3+1DX…X(30+1) 364」 2 3)+ 19.解：(1)对(2)(3x-2y)2-(x-2y)(x十2y)=9x2- 12xy+4y2-x2+4y2=8.x2-12xy+8y2. 第2课时平方差公式的应用 20.B 1.D2.A3.D 21.解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (4)-200 (2)由(1)可知(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+ 4.(1)400(2)9996(3)14325 2bc,把a+b+c=12,ab+bc+ac=28代入得122=a2+ 5.D6.D b2+c2+2×28,.a2+b2+c2=88.(3)2a2+7ab+3b2 7.(1)4a2(2)2x2-5xy-5y2 如图所示（画法不唯一）. 8.C9.B10.A11.B 12.解：(1)原式=(200+1)×(200-1)+1=2002-1+1= 40000. (2)原式=(100+2)(100-2)=1002 (3)°=1000-}=99是. (3)原式=2024 第4课时完全平方公式的应用 (2024-1)(2024+1)-(1000-1)(1000+1)=20242- 1.D2.2a+13.B4.A5.A6.497.C (20242-1)-(10002-1)=1-10002+1=-999998. 1 8.(1)9792.0599(2)8099.C10.a+2b 18.D-8y2a-4w2-y8)-y+8g 11.解：因为9x2+6xy十y2=(3x十y)2,x>0,y>0,所以这 14.解：(1)S1=a2-b2,S2=(a+b)(a-b).(2)(a+ 个正方形的边长为3x十y,所以这个正方形的周长是 4(3x+y)=12x+4y. b)(a-b)=a2-b2. 15.解：(1)①x3-27②4x2-2x+1③x-y 12De+1②18a-2ay+器28r-y-3y (2)原式=[(2x-y)(4x2+2xy+y2)][(2x+y)(4x2- 13.A14.C15.A16.B 2xy+y2)]=(8x3-y3)(8x3+y3)=64x8-y. 17.解：原式=4x2-9-(x2+4x十4)+4x+12=4x2-9 16.解：(1)15(2)由题意得偶数为2m,比2m大3的数为(2m x2-4x-4+4x+12=3x2-1,当x=2时，原式=3×2 +3),∴.(2m+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)= -1=11. 3(4n+3).,4n十3为整数，∴.3(4n+3)能被3整除. 18.解：(1)A-(x-2)2=x(x+7),A=(x-2)2+x(x (3)余数是3，理由如下：设这个数为n,比n大3的数为n +7)=x2-4x+4+x2+7x=2x2+3x+4. +3,(n+3)2-n2=(n+3+n)(n+3-n)=6n+9=6(n (2)-2x2-3x+1=0,.2x2+3x=1,A=1+4=5. +1)+3,所以6(n+1)+3被6整除，余数是3. 19.2920.6921.822.2823.924.125.1 第3课时完全平方公式 26.解：因为3-xy十(x十y一2)2=0，所以3-xy=0,x十 1.C2.B3.C4.13或-115.C y-2=0,所以xy=3,x十y=2,所以x2+y2+4xy= 6.(1)C(2)A7.7 (x+y)2+2xy=22+2×3=10. ·20·同行学案学练测 27.解：，(x十y)2=12,(x-y)2=4,.x2+2xy十y2=12①， (3)由题意可得DE=MF=x-1,DF=x-3,(x-1)(x x2-2xy十y2=4②.①十②，得2x2+2y2=16,.x2+ -3)=15.设x-1=m,x-3=t,则m-t=2,(x-1)(x y2=8;①-②，得4xy=8,.xy=2,x2+3xy+y2=8 -3)=mt=15,.(x-1)2+(x-3)2=m2十t2=(m +3×2=14. t)2+2mt=4十30=34，即正方形MFRN和正方形 28.獬：设a-2024=x,a-2025=y.,(a-2024)(a GFDH的面积和为34. 2025)=3,.xy=3,x-y=(a-2024)-(a-2025)= 培优专题3：利用乘法公式求图形面积 1,∴.(a-2024)2+(a-2025)2=x2+y2=(x-y)2+ 1.B2.A3.B4.205.23 2xy=1+2×3=7. 6.解：(1)(a+b)2-a2+2ab十b2(2)225(3)设AC 29.解：因为(x-2023)2+(x-2025)2=34,所以(x一2024 =m,BC=CF=n,则m十n=6.,S1十S2=20,m2+n2 +1)2+(x-2024-1)2=34,所以(x-2024)2+ =20.,(m十n)2=m2+2mn+n2,.m2+n2=(m+n)2 2(x-2024)+1+(x-2024)2-2(x-2024)+1=34,所 以2(x-2024)2+2=34,所以(x-2024)2=16. -2mn,.20=62-2m,.mn=8,.S翻影=2mn=4. 30.解：(1)原式=(4m2-n2)2=16m-8m2n2+n.(2)原 培优专题4：乘法公式与图形拼组 式=[(x-3)(x+3)]2=(x2-9)2=x4-18x2+81. 1.B 8)原式-(x-号)°=x-号+品 2.解：(1)图略.(a十b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.(2)2a2+ 31.解：(1)原式=(m+2n)2-2(m+2n)+1=m2+4mn+ 7ab十362分别选取1号、2号、3号卡片2张、3张、7张. 4n2-2m-4n十1.(2)原式=[(x+y)+1][(x十y) 3.解：(1)x2十y2=(x十y)2-2xy(2)①由题意，得ab= 1]=(x+y)2-1=x2+2xy+y2-1.(3)原式=[3 (a十6)2-(a2+b2),把a2+b2=10,a十b=6代入上式得 2 (2x-y)][3+(2x-y]=9-4x2+4xy-y2. 32解：设两个相邻整数分别为，x十1，则a=(②士)，b b=6,10=13. 2 ②由题意，得(2025-c)2+(c-2023)2 =(2025-c+c-2023)2-2(2025-c)(c-2023)=22-2 _+0+少.因为a-6=n++1_2n2+2m+l 2 ×1=2. 4 2 =<0,所以a<b, 培优专题5：杨辉三角 1.(1)764(2)a5-5a4b+10a3b2-10a2b3+5ab-b5 培优专题2：乘法公式的六种应用技巧 2.①③④ 1.1)a2-4b2(2)4x2-9y2(3)4x2-2xy+4y 1 3.解：(1)64(2)84=(7+1)4=714+14×713+91×712 十…十14×7+1，.84除以7的余数为1，∴.假如今天是 2.(1)x4-2x2+1(2)4x+26 星期三，那么再过84天是星期四. 3y2-4x2(24x号 (3)4a2-12ab+9b2 4.解：(1)(a+b)°=a°+9ab+36ab2+84ab3+126a5b4+ 4.(1)a2-b2+6b-9(2)a2-4b2+12bc-9c2 126a4b5+84a3b+36a2b7+9ab8+b°.(2)2-5×24+ 5.(1)x4-1(2)81m-256n4 10×23-10×22+5×2-1=(2-1)5=1. 6.(1)4xy(2)-4a2b2 4整式的除法 71或9 1.B2.B3.D 4.(1)-2x7y2 8.(1)39204(2)4016016(3)-395 2a-br3y④-8r 9.(1)a2-4b2(2)a8-32a4+256 (5)-2abc3 1 5.D6.B7.C8.4x2 10.211.0 9.C10.C11.C12.B13.D 12.解：(1)设3-x=p,x-2=q,则(3-x)(x一2)=pq= -1,(3-x)+(x-2)=p+q=1,.(3-x)2+(x-2)2 140z+8(22ag+(8)号m+ m+1 =p2十g2=(p十q)2-2pg=1十2=3.(2)设n-1021 (4)-10a3b =a,1022-n=b,则(n-1021)2+(1022-n)2=a2+b2 15.D16.D17.-3a2+4a-1 =11,(n-1021)+(1022-n)=a十b=1,∴.(n-1021)· 18.2xy-3x+x2y19.C20.A21.C22.C （102-m=ab=a+by,a3+b2）_1,11--5. 1 2 2 28.2aw4言日+日