9.4 向量应用（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

9.4 向量应用 题型一 利用向量证明线段垂直 1．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 2．(24-25高一下·广东揭阳惠来县第一中学·)已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得 ，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 3．(23-24高一下·山东德州第二中学·)如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【详解】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 4．(22-23高一下·湖南常德临澧县第一中学·)如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 5．(22-23高一下·海南屯昌中学·期中)如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可. 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 题型二 向量在物理学中应用 1．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 2．(24-25高一下·云南曲靖宣威第一中学·开学考)一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 3．(23-24高一下·甘肃天水·期中)冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 4．(25-26高一上·辽宁重点中学协作校·期末)如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 5．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______． 【答案】6 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积的坐标公式进行计算. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：6. 题型一 用向量解决夹角问题 1．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 2．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 3．如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，由平面向量的数量积运算法则，结合题意可得，解三角形即可求得，的大小； （2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据锐角三角函数，即可求得与的余弦值． 【详解】（1）因为质点在，，的作用下保持平衡， 所以，所以， 又，，所以与的夹角为，所以， ， 因为，所以． 如图．易得， 所以， ． （2）因为，且质点处于平衡状态， 所以以为边长的三角形为直角三角形，如图所示， 则，， 所以， ． 4．(24-25高一下·山东青岛·期中)如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得 ； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 5．(23-24高一下·广西河池河池十校联体·)如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 题型二 用向量解决线段长度为问题 1．如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积的定义式和数量积的运算律以及模长的计算结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 所以①， 因为，设其夹角为，所以， 又，所以， 所以①， 所以. 故选：D. 2．(24-25高一下·江苏镇江丹阳·)（多选）已知是边长为的等边三角形，点在内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；由平面向量的线性运算可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；分析可知点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧，结合扇形的弧长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，若，则，所以， 故 ，故，B对； 对于C选项，，则点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧， 故点的轨迹长度为，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，， 所以 ，解得， 因为，故，所以， 所以 ，D对. 故选：BCD. 3．(22-23高一下·湖南永州·期末)一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是________． 【答案】 【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出，从而求出即可. 【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，    则，，即， ，即， 所以，故. 所以A，D两地距离为. 故答案为：. 4．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先由题意求出，再由题意结合以及模长公式和数量积运算律即可计算求解； （2）分别设求得和，利用向量共线的推论求出即可求解； （3）先求出，接着设得，将其代入结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由题， . （2）设·， 因为三点共线，所以， 所以； 设， 因为三点共线，所以， 所以. （3）由题， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值13. 5．(23-24高一下·广东深圳深圳外国语学校理工高中·调研)如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.    (1)用，表示，； (2)如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离. 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. 【详解】（1）依题意，得，点为中点，， 又，， 所以， . （2）依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以 ， 而， 所以. 题型一 用向量解决几何最值问题 1．(25-26高二上·河北邢台卓越联盟·)在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 2．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D 3．(24-25高一下·海南海南华侨中学·月考)已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 4．(24-25高一下·河北雄安新区·期末)已知平面向量与向量在上的投影向量均为，其中为坐标原点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由条件结合投影向量定义可得，由此证明，再根据数量积的坐标运算求的取值范围. 【详解】设，，则，， 又，故，，，， 平面向量与向量在上的投影向量均为， 所以，故， 所以，故， 又，， 所以，所以或， 又， 当时，， 当时等号成立， 当时，， 当时等号成立， 所以的取值范围为. 故选：D 5．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为______，此时______. 【答案】 7 8 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解，利用中线向量即可求解. 【详解】    设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 再由极化恒等式，取中点为，可得，此时如图：，    则， 故答案为：①,② 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.4向量应用 题型一利用向量证明线段垂直 基础达标题 题型二向量在物理学中应用 向量应用 题型一用向量解决夹角问题 能力提升题 题型二用向量解决线段长度为问题 拓展培优题 题型一用向量解决几何最值问题 A 基础达标题 题型一利用向量证明线段垂直 1.已知△ABC的三个顶点分别是A(-1,0),B(1,0),C(,),则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 2.(24-25高一下广东揭阳惠来县第一中学)已知三个点A(0,0),B(1,2),D(4,-2). (1)求证：AB⊥AD: (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的正切值， 3.(23-24高一下山东德州第二中学.)如图，在△ABC中，己知AB=2,AC=4,∠BAC=60°，E,F分别 为AC,BC上的点，且A正=AC,B京=寺BC 1)求A: (2)求证：AF⊥BE: (3)若线段BE上一动点P满足2PB+PA+P元=可，试确定点P的位置. 4.(22-23高一下，湖南常德临澧县第一中学)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上 1/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M: D M B (1)求∠EMF的余弦值. (2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P,使得EF⊥MP？若 存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由. 5.(22-23高一下.海南屯昌中学期中)如图所示，已知在正方形ABCD中，E,F分别是边AB,BC的中点， AF与DE交于点M. (1)设AB=3,AD=b,用a,b表示AF,DE (2)猜想AF与DE的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想， 题型二向量在物理学中应用 1.在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景，假设行李包或者水桶所 受重力为记，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为京，京2，且同引=同引，可与豆的夹角为α， 下列结论中正确的是() A.当a=弯时，引= B.当x=爱时，同l=月 c.当=罗时，同引有最小值 D.越小越费力，越大越省力 2.(24-25高一下·云南曲靖宣威第一中学.开学考)一条河的宽度为d,一船从A出发到河的正对岸B处，船 速的大小为可引，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为() A.可2+22 8.2-2c.同+☑ . 3.(23-24高一下·甘肃天水·期中)冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞 2/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力F=(4,3作用于冰球，使冰球从点A(-1,-2)移动到点B(1,1) ,则力对冰球所做的功为() A.-17 B.-10 C.17 D.10 4.(25-26高一上辽宁重点中学协作校期末)如图所示，把一个物体放在倾斜角为37·的斜面上，物体处于 平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G,沿着斜面向上的摩擦力F1,垂直斜面向上的弹力F2,已知 IF1=60N那么G= N.(sin37o≈是) F2 G 37 5.24-25高一下福建福州闽侯县第六中学期中)一质点在力F1=（-1,-2,F2=(3,4)的共同作用下，由点 A(4-5)移动到点B(2,0),则FF2的合力对该质点所做的功为 B 能力提升题 题型一用向量解决夹角问题 1.(24-25高一下湖南沅禮共同体期末)如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,∠BAC=60°，D是BC 的中点，CE⊥AB,AD与CE交于点F.则cOS∠CFD=() 3/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 D A.357 19 8. 19 c.1五 74 D.111 74 2.(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在△ABC中，己知AB=2AC=2.点D是边BC上靠 近C的三等分点AD的长等于边AB上的高，则tanA=（) A.3 B.2y3 c.45 D.3V2 3.如图.在同一平面内，一个质点0受三个力F,户2，F的作用保持平衡，其中F3与F,的夹角为，F3 与F,的夹角为B. B (1)若&=120°，B=150°，F3=10,求F1,F2的大小： (2若F:F:F=1:V2:V5,求α与β的余弦值 4.(24-25高一下山东青岛·期中)如图，在等边三角形ABC中，AB=2,A⑦=D元B它=2E元，线段AE与 BD交于点F B (1)求A2.BD: (2)求cos∠AFB; (3)若M为△ABC所在平面内一动点，求MA·MB+2MA·MC的最小值. 5.(23-24高一下广西河池河池十校联体)如图，在△ABC中，己知 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=2,AC=5,∠BAC=60,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P. (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 题型二用向量解决线段长度为问题 1.如图所示，小明从家M出发到学校N,途经超市P和银行Q,已知MP//QN,MP=5,PQ=4, QN=6,M驴.P0=10,求小明家到学校的位移大小是() M N A.15 B.2V15 c.3V18 D.V181 2.(24-25高一下江苏镇江丹阳·)（多选）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P在△ABC内（包括 边界)，则下列说法正确的是() A.A.BC=号 B.若B驴=P元，则|=V万 C.若正|=2，则点P的轨迹长度为等D.若A=B剂=5，则C=V3 3.(22-23高一下湖南永州期末)一个人骑自行车由A地出发向东骑行了6km到达B地，由B地向南东 30°方向骑行了6km到达C地，从C地向北偏东60°骑行了2√3km到达D地，则A,D两地的距离是 km. 4.(24-25高一下广东茂名高州期中)如图，设0x,0y是平面内相交成60°角的两条数轴，2分别是与x 轴、y轴正方向同向的单位向量若向量O应=x1+y2,则把有序实数对(xy)叫做向量OM在坐标系 0xy中的坐标，记作OM=(xy).在此坐标系Oxy中，若OA=(6,0), O=(0,4),O币=(6,4)，E,F分别是0B,BP的中点，AE,AF分别与0P交于R,T两点. 5/7 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B R e (1)求ō|； 2)求0元，07的坐标； 3)若点M在线段AF上运动，设OM=(xy),求xy+1的最大值. 5.(23-24高一下，广东深圳深圳外国语学校理工高中.调研)如图所示，△ABC的顶点是我国在南海的三个 战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到B的 ，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上.设CB=,CA=b. D B (1)用a,6表示E,C⑦： (2)如果∠ACB=60·,AC=20海里，且CD⊥EF,求岛屿C到补给站D的距离Ci以及岛屿A到B的距 离A 拓展培优题 题型一用向量解决几何最值问题 1.(25-26高二上河北邢台卓越联盟)在直角梯形ABCD中，已知AB//CD,∠DAB=90°， AB=2AD=2CD=6,点F是BC边靠近B点的三等分点，点E是CD边上一个动点.则EA.E市的取值范 围是() 6/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.[-克0] B.[0,3] c.[-a,0] D.[-6] 2.2425高一下重庆渝北中学胶期申已知非零向量与心满足（需+需）·元=0，且 A-Ad=2V2,A庙+Ad=62,点D是△ABC的边AB上的动点，则DB.DC的最小值为() A.-1 B.- c.- D.-清 3.(24-25高一下.海南海南华侨中学·月考)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点， 则PA.(P+P元)的最小值是() A.-8 B.- c.-9 D.-4 4.(24-25高一下.河北雄安新区·期末)已知平面向量0A与向量0B在五=(2,0)上的投影向量均为(2,0)， 其中0为坐标原点，若A=2,则OA.O的取值范围为() A.[-3,+∞)B.[-3,0) c.(0,3] D.[3,+∞) 5.(24-25高一下.江苏南京六校联合体期末)已知A=6,平面上动点P满足A亚-tAB≥4对任意tER恒 成立，则PA·PB的最小值为，此时PA+P月= 7/7