专题1.5平行线的性质十大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版七年级下册数学同步讲练

专题1.5平行线的性质十大题型（一课一讲） (内容：平行线的性质及其应用) 【浙教版】 题型梳理 思雅导图 根据平行线的判定和性质求角度 根据平行线的判定和性质证明 平行线的性质 根据平行线的判定和性质填空 求平行线之间的距离 平行线的性质在三角板中的应用 平行线的性质 平行线的实际应用 平行线的性质在生活中的应用 利用平行线之间的距离解决问题 平行线中拐点问题 平行线的综合应用 平行线的性质中多结论问题 利用平行线的判定和性质进行探索 典例分析 题型精讲 平行线的平行公理 1经过直线外一点，有且只有一条直线与己知直线平行。 2两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。 注意：只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才会相等，内错角相等，同旁内角互补。 题型一：根据平行线的判定和性质求角度 【经典例题1】如图所示，m,长方形1BCD Im ∠ 顶点B在直线m上，则的度数为() D 65 m B A.65° B.20° C.25° D.35 【答案】C CEm 【详解】解：如图，过点C作 D A Y65° E ->C m B Wu IlmlCE ∠DCE=65°，∠BCE=a ,四边形ABCD是长方形， ∴.∠DCB=∠DCE+∠BCE=65°+a=90°， ∴.0a=25°， 故选：C. 【变式训练1-1】如图，已知∠1=∠2=∠3=51°，则∠4的度数是() A.120° B.129° C.130° D.141° 【答案】B 【详解】解：如图，标记角， ∠1=∠3=51°， ∴.a∥b, ∠2=51°， .∠2=∠5=51°， .∠4=180°-∠5=129°， 故选：B 【变式训练1-2】如图，AB∥CD,连接AC,AE平分∠BAC交CD于点E,若∠C=48°，则 ∠AED的度数是() B D A.104° B.66° C.132° D.114° 【答案】D 【详解】解：AB‖CD, .∠C+∠CAB=180°， :∠C=48°， ∠CAB=180°-48°=132°， AE平分∠CAB, ∴.∠EAB=66° ABII CD, ∠EAB+∠AED=18O°， ∠AED=180°-66°=114°， 故选D ABCD 【变式训练1-3】生活情境·路线图如图所示是一条街道的路线图，若 , ∠ABC=130°，那 么当∠CDE等于()时，BC∥DE C D A B E A.40° B.50° C.70° D.130 【答案】B 【详解】解：AB IICD且∠ABC=130°， ∠BCD=∠ABC=130°， BCI DE, .∠BCD+∠CDE=180° .∠CDE=180°-∠BCD=180°-130°=50°， 故选：B. 【变式训练1-4】如图，直线AB∥CD,∠EFG=90°，且顶点F在直线AB上，FG交直线CD于点 H,若∠EFB=32°，则∠CHG的度数是() F H -D G A.100° B.112° C.122° D.132° 【答案】C 【详解】解：：∠EFG=90°，且顶点F在直线AB上，∠EFB=32°， ∴.∠BFG=∠EFG-∠EFB=58°， AB∥CD, .∠CHF=∠BFG=58°， .∠CHG=180°-∠CHF=122°， 故选：C. 【变式训练1-5】如图，AB∥CD,BE平分∠ABG,CF平分∠DCG,∠G=∠H+27°，求∠H () A.50° B.51° C.52° D.53° 【答案】B 【详解】解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和S, R H D E N GF M ,AB∥CD .AB∥CD∥RS∥MN, S∠RHBE∠ABE=∠ABG,∠SHC=∠DCE=DCG∠NGB+∠ABGE∠GC+DCG=I80 ∠BC=180P-∠RHB-∠SHC=180-∠ABG+∠DCG, ∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180° ∴，∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC, 又∠BGC-∠BHC=27°， ·.∠BHC=∠BGC-27°， :∠BGC=180-2∠BGC-279 ∴.∠BGC=78°， .∠BHC=51°， 故选B 题型二：根据平行线的判定和性质证明 【经典例题2】如图，AD交BE于点F,点C在AB的延长线上，∠A=∠ADE D F B (1)若∠EDC=3LC,求∠C的度数. 2)若<C=<E 求证： BECD 【答案】()∠C=45°(2)详见解析 【详解】(I)解：：∠A=∠ADE, AC∥DE, ∴.∠EDC+∠C=180° ∠EDC=3∠C ∴.4∠C=180°，即∠C=45° (2)证明：由(1)，可知AC∥DE, .∠E=∠ABE 又：∠C=∠E, .∠C=∠ABE, ∴.BE∥CD 【变式训练2-1】己知AB∥CD,E、F分别为CD,AB上一点，P,H分别在EF,AB上， ∠PFH=∠PHF,PG∥CD C D EN MD H B 图1 图2 (1)如图1，求证：PG平分∠EPH: (2)如图2，过点P作PM⊥PH,交CD于点M,作∠EPM的平分线交CD于点N,求∠NPG的度数. 【答案】(1)证明见解析(2)45° PG∥CD,AB∥CD 【详解】(1)证明： .PG∥AB .∠EPG=∠PFH,∠GPH=∠PHF, ,∠PFH=∠PHF, ∴.∠EPG=∠GPH .PG平分∠EPH. (2)设∠EPN=x, .PN平分∠EPM, ∴.∠EPN=∠NPM=x, PM⊥PH, ∴.∠MPH=90°， ∴.∠EPH=∠EPM+∠MPH=2x+90°， :PG平分∠EPH, ∴.∠EPG=2∠EPH=x+45° ∴.∠NPG=∠EPG-∠EPW=x+45°-x=45° 【变式训练2-2】如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC,交AD于点G,交CD的延长线于点 E,F为DC延长线上一点，∠ADE+∠BCF=I80°. E G B (I)求证：AD∥BC: (2)若∠DGE=30°，求∠A的度数， 【答案】(1)见解析(2)120° 【详解】(1)解：，∠ADE+∠BCF=180°，∠ADE+∠ADC=180°， ∴.∠ADC=∠BCF, AD∥BC: (2)解：AD∥BC,∠DGE=30°， ∴.∠CBE=∠DGE=30°，∠ABC+∠A=180°， BE平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠CBE=60°， :.∠A=180°-∠ABC=120° 【变式训练2-3】如图，已知：△ABC中，D、E、F、G分别在BC、AC和AB上，连接DE、BF 和FG,∠AGF=∠ABC,∠GFB+∠EDB=180° G (1)判断BF与DE的位置关系，并证明； (2)若BF LAC,∠EDB=145°，求∠AFG的度数. BF∥DE 【答案】(1) 证明见详解2)∠1FG=55。 BF∥DE 【详解】(1)证明： ,理由如下： ∠AGF=∠ABC, .GF∥BC, ∴.∠GFB=∠FBD, 又：∠GFB+∠EDB=180°， ∴.∠FBD+∠EDB=180°， ,BF∥DE (2)解：由(1)可知，∠FBD+∠EDB=180°， :∠EDB=145°， ∴.∠DBF=180°-∠EDB=35°， .GF∥BC, .∠GFB=∠FBD=35°， .BF LAC, .∠AFB=90°， ∴.∠AFG=90°-∠GFB=55°」 【变式训练2-4】如图，AB∥CD,点E是直线FD上的一点，∠ABC=140°，∠CDF=40° B E (I)判断BC与EF的位置关系，并说明理由： (2)连结BD,若BD∥AE,∠BAE=11O°，则BD是否平分∠ABC?请说明理由. 【答案】()BC∥EF,见解析(2)平分，见解析 【详解】(1)解：BC∥EF,理由如下： ,AB∥CD ∴.∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补） .∠ABC=140°， ∴.∠BCD=40° .∠CDF=40°， ∴.∠BCD=∠CDF, ∴.BC∥EF(内错角相等，两直线平行). (2)解：BD平分∠ABC,理由如下： ,BD∥AE, .∠BAE+∠ABD=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∠BAE=110°， ∴.∠ABD=70° :∠ABC=140°， .∠ABD=∠CBD=70°， ∴.BD平分∠ABC 【变式训练2-5】如图，直线AB、CD被直线EF所截，分别交AB、CD于点E、F,EG平分 ∠AEF交CD于点G,∠EFD=2∠GEF. E A C-G 一D F M H (I)判断AB与CD的位置关系，并说明理由： (2)若点H为射线FD上一点，连接EH.EM平分∠HEF交CD于点M,∠EHF=50°，求∠MEG 的度数. ABI‖CD ∠MEG=65° 【答案】(I) ,详见解析(2) ABICD 【详解】(1)解： ,理由如下， :EG平分∠AEF, ∴.∠AEF=2∠AEG=2∠GEF, ∠EFD=2∠GEF, ∴.∠AEF=∠EFD, .ARICD ABICD (2)由(1)知 ∴∠BEH=∠EHF=50°， ∴.∠AEH=180°-50°=130°， 'EG平分∠AEF,EM平分∠FEH, .∠AEG=∠FEG,∠FEM=∠HEM, ZGEM=∠GEF+∠MEF=)∠AEH=云x130°=65 ∴.∠MEG=65°」 题型三：根据平行线的判定和性质填空 【经典例题3】把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整 如图，AD∥BC,∠1=∠B,∠2=∠3. D E (I)试说明AB∥DE: (2)推导证明AF与DC的位置关系. 解：(1)AD∥BC(已知) ∴.∠1=∠ 又，∠1=∠B(已知) ∠B=∠ () .AB∥DE() (2),AB∥DE(已知) .∠2=∠ 又：∠2=∠3（已知） .∠ =∠ (等量代换) .AF DC 【答案】(1)DEC:两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；同位角相等，两直线平行： 专题1.5平行线的性质十大题型（一课一讲） （内容:平行线的性质及其应用） 【浙教版】 题型一：根据平行线的判定和性质求角度 【经典例题1】如图所示，，长方形的顶点B在直线m上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】如图，，连接，平分交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】生活情境·路线图如图所示是一条街道的路线图，若，且，那么当等于（   ）时，． A． B． C． D． 【变式训练1-4】如图，直线，，且顶点F在直线上，交直线于点H，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 题型二：根据平行线的判定和性质证明 【经典例题2】如图，交于点F，点C在的延长线上，．    (1)若，求的度数． (2)若，求证：． 【变式训练2-1】已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数． 【变式训练2-2】如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练2-3】如图，已知：△ABC中，D、E、F、G分别在、和上，连接、和，，． (1)判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求的度数． 【变式训练2-4】如图，，点E是直线上的一点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连结，若，，则是否平分？请说明理由． 【变式训练2-5】如图，直线、被直线所截，分别交、于点、，平分交于点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点为射线上一点，连接．平分交于点，，求的度数． 题型三：根据平行线的判定和性质填空 【经典例题3】把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整． 如图，，，． （1）试说明； （2）推导证明与的位置关系． 解：（1）∵（已知） ________（________） 又（已知） ________（________） （________） （2）∵（已知） ∴________（________） 又∵（已知） ∴________________（等量代换） ∴________ 【变式训练3-1】如图，已知，，垂足分别为、，．试说明：，在下列解答中，在横线填空（理由或数学式）． 解：∵，（________）， ∴（________） ∴（________） ∴________（________） 又∵（________）， ∴（________） ∴________（________） ∴（________） 【变式训练3-2】如图，，．求证∶． 证明∶因为（已知）， 所以（ ）， 所以_____， 因为（已知）， 所以_____（等量代换）， 所以（_____）． 【变式训练3-3】如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为（已知）， 所以（ ）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 （ ）． 又（已知）． 所以 （等量代换）． 所以（ ）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又 （已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（ ）． 【变式训练3-4】如图，已知，、分别平分、，且，求证 证明：（ ） 、分别平分、（ ） ，（ ） （ ） ∵， ∴， （ ） ，（ ） （ ） 【变式训练3-5】如图，已知，求的度数．请将下面的解答过程解： （已知）， ___________（            ）， 又（已知）， （              ） ___________（              ） （              ） （已知）， ___________． 题型四：求平行线之间的距离 【经典例题4】如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【变式训练4-1】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 【变式训练4-2】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证： (2)若 ，且，，．求与之间的距离． (3)若，，．试求点到直线的距离的取值范围． 【变式训练4-3】如图，直线与分别相交于点，且交直线于点．    （1）若，求的度数； （2）若，求直线与的距离． 【变式训练4-4】如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 题型五：平行线的性质在三角板中的应用 【经典例题5】如图，，把一块直角三角板的直角顶点B落在上，顶点D落在上，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练5-1】如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】一副三角板如图所示摆放，，°，若，则 ． 【变式训练5-3】把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点恰好落在的延长线上，，则的大小为 ． 【变式训练5-4】在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数为 ．    【变式训练5-5】一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，．若固定三角板，改变三角板的位置（其中点的位置始终不变），当 时，． 题型六：平行线的性质在生活中的应用 【经典例题6】生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式训练6-1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 题型七：利用平行线之间的距离解决问题 【经典例题7】如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练7-1】如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【变式训练7-2】如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（    ) A．32 B．34 C．35 D．36 【变式训练7-3】如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【变式训练7-4】如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 【变式训练7-5】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 题型八：平行线中拐点问题 【经典例题8】已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】如图，，则满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型九：平行线的性质中多结论问题 【经典例题9】将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练9-1】如图，已知，，垂足为，、分别是和的平分线，则下列五种说法：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练9-2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练9-3】如图，在三角形中，已知，，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互补．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练9-4】如图，，平分，下列结论：①；② ；③；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练9-5】如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十：利用平行线的判定和性质进行探索 【经典例题10】已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 【变式训练10-1】数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”．    (1)阅读理解：如图1，已知三角形，求的度数．阅读并补充下列推理过程： 解：过点A作，则__________，__________， ∵__________， ∴__________． (2)方法运用：如图2，已知，，，求的度数； (3)如图3，已知，，，直接写出的度数； (4)拓展探索：如图4，已知，点E、F是、上的点，N是、之间的一点，分别作、的平分线，交于点M，若，直接写出的度数． 【变式训练10-2】探索与实践： 数学兴趣小组的同学在学习了平行线的性质后．用一副三角板进行探索． 如图：在三角板和三角板中，，，，将三角板绕着点C做旋转运动． (1)当时，如图1所示．______； (2)如图2所示，当时，求的度数． (3)当时，直接写出的度数______． 【变式训练10-3】【问题情境】 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】 当时，求证：； 【深入探究】 （2）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 【变式训练10-4】如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【变式训练10-5】同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 学科网（北京）股份有限公司 $