专题1.3平行线五大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版七年级下册数学同步讲练

专题1.3平行线五大题型（一课一讲） （内容:平行线及其应用） 【浙教版】 题型一：平面内两直线的位置关系 【经典例题1】、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【变式训练1-1】同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 【变式训练1-2】在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【变式训练1-3】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　） A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定 【变式训练1-4】下面语句中，正确的是（    ） A．永不相交的两条直线叫做平行线． B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行． C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行． D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行． 【变式训练1-5】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 题型二：立体图形中平行的棱 【经典例题2】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． 【变式训练2-2】如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1 AB，AA1 AB． 【变式训练2-3】如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 【变式训练2-4】观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【变式训练2-5】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 题型三：用直尺、三角板画平行线 【经典例题3】在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为 ． 【变式训练3-1】妡图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网络中按要求画图，不要求写作法． (1)画射线； (2)过点画的平行线（点在格点上）； (3)在射线上取一点，画线段． 【变式训练3-2】如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【变式训练3-3】如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【变式训练3-4】如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【变式训练3-5】如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 【变式训练3-6】作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 题型四：平行线公理及其推论的应用 【经典例题4】下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式训练4-1】在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【变式训练4-2】已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练4-3】已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 【变式训练4-4】生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 题型五：平行线与相交线中交点问题 【经典例题5】有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【变式训练5-1】同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个． 【变式训练5-2】（1）平面上有3条直线，画出它们可能的位置关系，并在旁边写上交点的个数； （2）平面上有4条直线，它们的交点个数可能为______； （3）平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们所有可能的位置关系． 【变式训练5-3】在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）． 【变式训练5-4】在同一平面内有5条互不重合的直线，共有6个不同的交点，画出它们可能的位置关系．（画出三种不同的示意图，并指出其中互相平行的直线） 【变式训练5-5】平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3平行线五大题型（一课一讲） （内容:平行线及其应用） 【浙教版】 题型一：平面内两直线的位置关系 【经典例题1】、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【答案】D 【详解】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行， 故选：D． 【变式训练1-1】同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 【答案】C 【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行； 故选C． 【变式训练1-2】在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． ， 故选：C． 【变式训练1-3】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　） A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行， 故选：A． 【变式训练1-4】下面语句中，正确的是（    ） A．永不相交的两条直线叫做平行线． B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行． C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行． D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行． 【答案】C 【详解】解：A、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，则此项错误，不符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意； C、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，则此项正确，符合题意； D、平行是两条直线之间的位置关系，故叙述不规范，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1-5】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 题型二：立体图形中平行的棱 【经典例题2】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，， 故选D． 【变式训练2-1】观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． 【答案】 ， ， ， 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，， 【点睛】本题考查两条直线相交和垂直的定义，根据内容解题是关键． 【变式训练2-2】如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1 AB，AA1 AB． 【答案】 // ⊥ 【详解】A1B1和AB可以看作是一个长方形的两条对边,所以平行; AA1，AB可看做是一个长方形的两条邻边，所以垂直. 故答案为∥，⊥. 【变式训练2-3】如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 【答案】棱，棱，棱． 【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱， 故答案为：棱，棱，棱． 【变式训练2-4】观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】 ，， 不是 同一平面 【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，， 故答案为：，，； （2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线 故答案为：不是，同一平面． 【变式训练2-5】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行 【详解】解：（1）如图即为补全的图形； （2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH； 故答案为：CD、EF、GH； （3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行． 故答案为：平行． 题型三：用直尺、三角板画平行线 【经典例题3】在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为 ． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：线段，如图所示； （2）解：垂线段如图所示； （3）解：∵，， ∴点到直线的距离为； 故答案为：． 【变式训练3-1】妡图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网络中按要求画图，不要求写作法． (1)画射线； (2)过点画的平行线（点在格点上）； (3)在射线上取一点，画线段． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 【变式训练3-2】如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 【变式训练3-3】如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【详解】（1） （2） （3） 【变式训练3-4】如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【详解】（1）如图所示： 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌ ∴即为所求； （2）如图所示： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E， ∴即为所求． 【变式训练3-5】如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的平行线； （2）解：如图，直线即为所求作的垂线； （3）解：如图，线段即为所求作的垂线段． 【变式训练3-6】作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 【答案】(1)，点到直线的距离，垂线段最短，作图见解析 (2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，作图见解析 【详解】（1）过点P作P到的垂线段，垂足为如图： ， 理由是：点到直线的距离，垂线段最短； （2）过点P作直线，， 理由是∶过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 题型四：平行线公理及其推论的应用 【经典例题4】下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】解：A 、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故选项说法错误，不符合题意； B、对顶角相等，但是相等的不一定是对顶角，故选项说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项说法错误，不符合题意； D、在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练4-1】在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 【变式训练4-2】已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：因为平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项A正确； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项B正确、D错误． 垂直于一条直线b的直线，必垂直于b的平行线a，故选项C正确； 故选：D． 【变式训练4-3】已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 【答案】D 【详解】解：已知直线l，在同一平面内， 与直线l垂直的直线有无数条，故甲说法错误； 经过直线外一点，有且只有一条直线与直线l平行，故乙说法错误； 若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行，故丙说法正确； 故选：D． 【变式训练4-4】生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【详解】解：∵与相交，， ∴不平行于，即与相交（同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． 故答案为：相交；同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 题型五：平行线与相交线中交点问题 【经典例题5】有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，    ∴这6条直线最多有个交点， ∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点， ∴这8条直线的交点个数最多为（个）， 故选：C． 【变式训练5-1】同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个． 【答案】0或1/1或0 【详解】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有两种，是平行和相交， 即两条不重合的直线的交点有0或1个． 故答案为：0或1． 【变式训练5-2】（1）平面上有3条直线，画出它们可能的位置关系，并在旁边写上交点的个数； （2）平面上有4条直线，它们的交点个数可能为______； （3）平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们所有可能的位置关系． 【答案】（1）见解析；交点的个数为0或1或2或3；（2）0或1或3或4或5或6个；（3）见解析 【详解】解：（1）如图， 交点的个数为0或1或2或3； （2）如图， 所以平面上有4条直线，它们的交点个数可能为0或1或3或4或5或6个； 故答案为：0或1或3或4或5或6个 （3）如图， 【变式训练5-3】在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）． 【答案】见解析 【详解】解∶这9条直线的位置关系为∶两两相交或平行， 有两种情况，分别如下∶ 【变式训练5-4】在同一平面内有5条互不重合的直线，共有6个不同的交点，画出它们可能的位置关系．（画出三种不同的示意图，并指出其中互相平行的直线） 【详解】①如图所示，   ，； ②如图所示，   ，； ③如图所示，   ，． 【变式训练5-5】平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $