精品解析：广东广州真光中学2025-2026学年高一上学期期末测试数学试题

广州市真光中学2025学年第一学期期末测试 高一数学试题 审题人：钟三明 黄林盛 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．答选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相同位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知集合，， 故. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以，所以函数的零点所在的区间是. 3. “”是“方程有两个相等实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出方程有两个相等实数根时的值，由充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】方程有两个相等实数根，则，解得：，或， 所以“”是“方程有两个相等实数根”的充分不必要条件, 故选：A 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性和时可排除错误选项. 【详解】由得：，定义域为，关于原点对称； ，为奇函数，图象关于原点对称，可排除AC； 当时，，，，可排除D. 故选：B. 5. 已知实数，满足，则的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 6. 已知sin α=2cos α，则sin αcos α=（ ） A. - B. - C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由sin α=2cos α得tan α=2，原式化为，代入即可得结果. 【详解】由sin α=2cos α得tan α=2， 所以sin αcos α= 故选： 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 7. 已知，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为， 所以，， 所以. 8. 函数，以下说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数在R上是增函数 D. 方程有实根 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，判断函数的奇偶性，判断选项A的正误；根据函数解析式的性质，判断函数值域，判断选项B的正误；根据偶函数的单调性的性质，判断选项C的正误；根据函数零点和方程解的关系，判断选项D的正误； 【详解】由可知函数定义域为R，因为， 所以函数是偶函数，选项A错误； 可知，所以选项B错误； 偶函数在轴左右对称区间内单调性相反，所以选项C错误； 即，即， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得，所以选项D正确； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断ABD，利用作差法即可判断C. 【详解】对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，， 当时，， 此时，故C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 某元素的原子核带有放射性，会发生衰变．若样本中该元素的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示该元素原有的质量，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：） A. 经过年后，样本中的该元素会全部消失 B. 样本中该元素的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用时间称作半衰期）为年 C. 经过年后，样本中的该元素的质量变为原来的 D. 若年后，样本中该元素的质量为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别将、、代入关系式计算即可判断选项ABC，根据求出即可判断选项D. 【详解】选项A：当时，，故A错误. 选项B：当时，，故B正确. 选项C：当时，，故C正确. 选项D：由题意知，化简得 ， 将代入可得，，故D正确. 11. 表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项利用条件，令取特殊值即可求解；B选项列举出一个符合已知条件的函数，但不是周期函数进行判断；C选项利用条件，将时的性质转化为即可进行判断；D选项借助图象进行判断. 【详解】对于A选项，∵，令，则，∴， 当时，，∴，故A正确； 对于B选项，当时符合题意，但不为周期函数，故B错误； 对于C选项，∵当时，单调递增，且， ∴当时，， ∴当时，，故C正确； 对于D选项，如图为函数当时的部分图象，显然该函数符合题意， 但，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在上是增函数，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数定义解方程，再由函数单调性求得. 【详解】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 13. 已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形周长公式得出弧长与半径的关系，再结合扇形面积公式，利用二次函数的性质求出面积最大时半径的值，进而求出圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 已知扇形的周长，由扇形周长公式， 可得，移项可得， 又扇形面积， 将代入面积公式可得， 根据二次函数的图像性质，可得当时，面积取得最大值， 当时，可得， 所以圆心角. 故答案为： 14. 已知，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用换元法令，通过配方求出的最小值，即可求出的最小值. 【详解】令，则， 则， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时，函数取得最小值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为． （1）求的表达式，并求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据任意角的三角函数的定义求出，，进而求出，结合题意即可求出；结合诱导公式即可求出. （2）根据同角的三角函数关系求出，结合诱导公式及两角和的正切公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，，因为为锐角，所以. 因为射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点， 所以. . 【小问2详解】 若，则， 因为，所以， 所以. 则. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，其图像经过点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）对，都有恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）在上为单调递增函数；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到和，联立方程组，求得，即可求解； （2）利用函数单调性的定义与判定方法，结合指数函数的性质，即可求解； （3）由（2）知在上为单调递增函数，结合指数函数的性质，求得在上的值域，进而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由函数是定义在上的奇函数， 可得，即，整理得， 因为函数图像经过点，可得，即， 联立方程组，解得，所以，经检验，函数满足题意， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：函数在上为单调递增函数. 证明如下：由（1）知：函数， 任取，且， 则， 因为，可得，即，且， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. 【小问3详解】 解：由（2）知：函数在上为单调递增函数，且， 当时，，且，所以； 当时，，，且，所以， 所以函数在上的值域为， 要使得对，都有恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 17. 后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元 【解析】 【分析】（1）用单株产量乘以水果的市场售价减去肥料的成本、人工投入成本得出该果树的单株利润； （2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案． 【小问1详解】 由题可知 ， ； 【小问2详解】 由（1）得 ， 当时，； 当时，； （当且仅当时，即时等号成立） 因为，所以当时，， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元. 18. 已知函数 （1）若的最小正周期为，求，的单调区间． （2）将（1）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称．若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于7个且不多于10个，求正实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增，单调递减； （2）. 【解析】 【分析】（1）先用倍角公式和辅助角公式对函数化简，根据最小正周期确定的值，再根据正弦函数的单调性求出区间的单调性. （2）根据诱导公式求出，再根据区间长度与周期函数的区间长度的比值确定区间内的交点个数，最后根据区间端点的可能性取值判断端点是否取到，从而确定取值范围. 【小问1详解】 ， 由，所以. 因为，所以， 令，所以在区间单调递增，在单调递减. 而，， 所以函数，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由平移得到， 由关于对称得到函数为偶函数，即 ，，又因为，所以， 所以，所以. 对于任意实数，函数，与的公共点个数不少于7个且不多于10个， 设的周期为，，余弦函数与在周期内有两个交点， 所以，所以正实数的取值范围为. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由如下： 对于函数的定义域内存在，则无解， 故不是“依赖函数”. （2） （3）最大值为. 【解析】 【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可； （2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围； （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上递增，故，即，， 由，故，得， 从而在上单调递增，故. 【小问3详解】 ①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故在上单调递减， 从而，解得(舍)或， 从而存在.使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由，得. 由，可得， 又在单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市真光中学2025学年第一学期期末测试 高一数学试题 审题人：钟三明 黄林盛 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．答选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相同位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“方程有两个相等实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，满足，则的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 6. 已知sin α=2cos α，则sin αcos α=（ ） A. - B. - C. D. 7. 已知，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数，以下说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数在R上是增函数 D. 方程有实根 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某元素的原子核带有放射性，会发生衰变．若样本中该元素的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示该元素原有的质量，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：） A. 经过年后，样本中的该元素会全部消失 B. 样本中该元素的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用时间称作半衰期）为年 C. 经过年后，样本中的该元素的质量变为原来的 D. 若年后，样本中该元素的质量为，则 11. 表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在上是增函数，则________． 13. 已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是___． 14. 已知，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为． （1）求的表达式，并求的值； （2）若，，求的值． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，其图像经过点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）对，都有恒成立，求实数m的取值范围． 17. 后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 18. 已知函数 （1）若的最小正周期为，求，的单调区间． （2）将（1）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称．若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于7个且不多于10个，求正实数的取值范围． 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $