精品解析：广东汕头市潮阳区2025-2026学年高一上学期期末质检数学试卷

2025-2026学年度第一学期教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域内；写在本试卷上无效. 第I卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知扇形半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为2 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的零点为 B. 若有四个零点，则的取值范围为 C. 不等式的解集为 D. 若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是. 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是奇函数，且当时，，则＝________ 13. 已知正数x、y满足，则的最小值是___________ 14. 已知函数，若对于任意的实数，均存在以为三边边长的三角形，则的取值范围是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列式子的值(请务必书写必要的计算步骤) （1） （2） 16. （1）已知为第二象限角且，求，及的值； （2）若，求的值 17. 已知定义在上的函数为奇函数． （1）求a的值； （2）用定义证明：为增函数 （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度关系，现有以下三种函数模型供选择： （1）当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 19. 已知函数的定义域均为．定义：①若不存在实数，使得，则称与关于“维交换”；②若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”； （1）分析函数与关于“维交换”中的值，并说明理由； （2）设函数与关于“维交换”，求的取值范围； （3）设，若与关于“3维交换”，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域内；写在本试卷上无效. 第I卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集定义求解即得. 【详解】由题意，. 故选：B. 2. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数的定义运算即可得解. 【详解】解：由题意设，是常数， ∵函数图象过点，即， ∴解得，则. ∴. 故选：A. 3. 已知角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根据三角函数定义计算即可． 【详解】因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点， 所以. 故选：C. 4. 已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式为，然后代入数据解得即可 【详解】扇形的面积公式为：（为扇形圆心角的弧度数） 则有： 解得： 故答案选： 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式，分式以及对数的性质即可列不等式求解. 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故选：D 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 找中间量0和1进行比较可得结果. 【详解】，，， 所以 故选：A. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题. 7. 命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案. 【详解】∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， ∴，∴. 即命题“，使”是假命题等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求. ∴选项B正确. 8. 已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，得到，然后结合题意，根据函数的单调性求解； 【详解】解析：因为为奇函数， 所以，即， 所以 ， 所以， 所以等价于 又因为，都有 所以函数在上单调递减， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A：函数最小正周期为，故A正确； 对于选项BD：因为为最大值， 可知的图象关于直线对称，故B正确，D正确； 对于选项C：因为， 所以不为的零点，故C错误. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】一元二次不等式的解的端点即为对应的一元二次方程的解，再根据开口确定的正负. 【详解】因为的解集为， 所以，解得，所以A错误； 对于B：将代入可得，解得，B正确； 对于C：不等式的解集为， 所以时，C错误； 对于D：将代入可得，即， 解得，D正确， 故选：BD 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的零点为 B. 若有四个零点，则的取值范围为 C. 不等式的解集为 D. 若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据零点定义计算判断A，根据分段函数图象数形结合判断B，分，两种情况计算不等式判断C，分类讨论函数零点判断D. 【详解】A．因为，所以，所以函数的零点为，所以A错误； B．函数，， 若有四个零点，则与有四个交点，由的图象知，B正确； C.，当，所以， 当，，即得，所以，所以C正确； D．令，的对称轴为， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 当时，函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1， 即，函数与函数有2个交点，且2个交点关于对称， 则方程有两根，且两根和为2，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点，， 时，可得或， 时，，可得，，， 即函数与函数的图象有5个交点， 则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点， 即函数与函数的图象有2个交点，分别为， 即，或，， 当时，函数与函数无交点，不符合题意； 当时，函数与函数有4个交点，且关于对称，所以4个交点横坐标之和为4， 则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意， 综上，实数的取值范围是，D正确 . 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是奇函数，且当时，，则＝________ 【答案】 【解析】 【详解】因为是奇函数，且当时，， 所以 13. 已知正数x、y满足，则的最小值是___________ 【答案】18 【解析】 【详解】试题分析： 考点：均值不等式求最值 14. 已知函数，若对于任意的实数，均存在以为三边边长的三角形，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】 题目条件可转化为，然后分四种情况讨论，分别求出的最值，即可解出的范围 【详解】因为对于任意的实数，均存在以 为三边边长的三角形， 所以对于任意的实数，都有 所以有 当时在上单调递减，在上单调 递增，易得 当且时 当且时 ①当且即时 ，满足 ②当且即时 所以，得 所以 ③当且即时 ，满足 ④当且即时 所以，得 所以 综上：的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查的是函数的恒成立问题，把题目条件等价转化是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列式子的值(请务必书写必要的计算步骤) （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）原式= （2）原式 16. （1）已知为第二象限角且，求，及的值； （2）若，求的值 【答案】（1），，；（2） 【解析】 【分析】（1）应用同角三角函数关系结合角的象限角判断正负，再应用诱导公式计算求解； （2）应用同角三角函数关系结合角的范围计算求解. 【详解】（1）∵ ∴， ∵为第二象限角，∴， 故， 得到； （2）由题意得， ，， 又，则， 且 , 则，， 故. 17. 已知定义在上的函数为奇函数． （1）求a的值； （2）用定义证明：为增函数 （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶性有求参数值，注意验证即可； （2）根据函数单调性的定义，应用作差法比较大小判断单调性； （3）利用指对数函数性质及换元法确定的值域，再将问题化为值域的包含关系求参数范围. 【小问1详解】 是奇函数， ，即，解得 经检验时函数为奇函数， ； 【小问2详解】 ，任取，，则， 由， ∴，故增函数. 【小问3详解】 由（2）得在单调递增， 当时，，当时，， ∴在上的值域为， 又，， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： （1）当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】（1）选择模型，其解析式为 （2）在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为，最少为 【解析】 【分析】（1）根据特值代入验证和函数的单调性，结合表格即可判断； （2）根据国道路段和高速路段所用时间列式，利用函数单调性分别求出最小值再相加即得. 【小问1详解】 对于,因不合题意，舍去； 对于为递减函数，这与表格中不符，舍去； 故选择. 根据提供的数据，有解得 所以当时，. 【小问2详解】 国道路段长为50km，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为100km，所用时间为， 所耗电量为 下证函数在单调递减. 任取，且， , ,故, 即,,故在单调递减, ，此时，, 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 19. 已知函数的定义域均为．定义：①若不存在实数，使得，则称与关于“维交换”；②若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”； （1）分析函数与关于“维交换”中的值，并说明理由； （2）设函数与关于“维交换”，求的取值范围； （3）设，若与关于“3维交换”，求实数的值． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）与关于是“0维交换”，由新定义进行验证； （2）由题意可知，方程 有两个互不相同的实数根，随后通过换元构造一元二次方程，将问题转为一元二次方程的根的个数问题. （3）由题意知，令，即在上有三个零点，显然是的零点，时不符合题意，所以，再就分类讨论后可求的值. 【小问1详解】 函数 与 关于 为 0 维交换,即 ,理由如下: 由题意可得,,. 令 ,即 ,展开整理得 . 其判别式 , 因此方程 无实数解,即不存在实数 使得 . 根据定义, 与 关于 为 0 维交换,故 . 【小问2详解】 依题意,方程 有两个互不相同的实数根. 因为,,所以方程 有两个不同的实数根. 令 ,且函数在实数域上为单调函数,方程可化为 . 该关于 的一元二次方程需有两个不相等的正实数根. 所以判别式 ,且两根之和 ,解得 . 因此实数 的取值范围是 . 【小问3详解】 令，依题意，函数在R上有3个零点， 若，则，此时仅有两个零点、，不合题意，舍； 又，即是函数的零点， 在有两个不同的零点. 当时， 若，则，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，时，， 故函数在上只有1个零点，不符合题意， 因此，此时， 当时，，对称轴， 故当即时，在有一个零点， 此时时，， ，， 故在上有一个零点， 而时，，对称轴，， 故此时恒成立，故在上无零点，故符合； 当即，，时，， 故在有两个不同的零点， 而，，在上有一个零点， 故在上已有3个不同的零点，不合题意，舍； 当即时，在无零点， 若，当时，， 因为两根之积，此时在上有且只有一个解， 而时，， 此时对称轴，，而，故在上无零点， 故此时在有且只有一个零点，舍； 若，则， 此时在上有且只有一个零点，舍； 若，当时，， 因为且，此时在上为减函数，故， 此时在上无零点； 当时，，，， 故在上有且只有一个零点， 故此时在有且只有一个零点，舍； 综上，即当与关于“3维交换”时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $