精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

哈师大附中2025-2026学年度高一下学期开学考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2. 命题“，”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】根据存在量词命题的否定法则可知：命题“，”的否定形式为，. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正切化正弦、余弦，再由平方关系以及角的范围计算可得结果. 【详解】由可得，即， 又，可得，所以； 由可得， 所以. 4. 函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解. 【详解】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确. 故选：D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式结合二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 则. 故选：A. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据指数运算的性质比较的大小，再根据对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出这三个数的大小. 【详解】由题可知，， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 故． 故选：A 7. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故，所以， 故选：B. 8. 设当时，函数取得最大值，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定，从而得到；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】，其中 ，即 又 【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各三角函数值的符号为负的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式进行化简，进而判断出各选项的符号. 【详解】由诱导公式得：，A正确；，B正确；，C错误；，D正确. 故选：ABD 10. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. ab的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式逐项判断即可； 【详解】因为a，，且， 对于A：，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A不正确； 对于B：，当且仅当，即、时取等号，故B正确； 对于C：，当且仅当、时取等号，故C正确； 对于D：，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD 11. 中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ） A. 若CD是中线，则 B. 若CD是高，则 C. 若CD是角平分线，则 D. 若D是线段AB的三等分点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中若， 可得若是线段的三等分点，则或 但,均不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的半径为1cm，它的周长为6cm，那么该扇形的圆心角为________弧度． 【答案】4 【解析】 【分析】根据周长，求出弧长，根据弧长、半径和圆心角的关系，即可得答案. 【详解】由题意，扇形的弧长cm， 则该扇形的圆心角为弧度. 13. 若函数在上单调递减，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据x的范围，可得的范围，根据余弦函数的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 因为在上单调递减， 所以，解得，故的最大值为. 14. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】结合函数的图像和值域，函数图象，再分类讨论解的个数，验证边界情况即可求解. 【详解】当时，由基本不等式， 当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 综上可大概画出图像，且有1个解：；有2个解：； 有3个解：；有2个解：； 若恰有4个零点， 即与的解的总个数为4个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有1个解，即，且有3个解，则， 即，解之可得， 情况二：有2个解，即或，且有2个解，则， 满足题意，综上可知或. 故答案为 ：或或. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的单调递增区间． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简，再由正弦函数的最小正周期公式即可求出，从而得出的解析式； （2）根据正弦函数的单调增区间，即可求出的单调增区间，再令，即可求出在上的单调增区间. 【小问1详解】 ， 因为，，所以，所以. 【小问2详解】 令， 得， 当时，； 又，所以， 当k取其它值时对应的区间均不在该范围内. 所以在上的单调增区间为. 16. 已知函数的图象经过点. （1）求a的值，及的定义域； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1），定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）直接将代入函数解析式，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可； （2）依题意可得，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【小问1详解】 解：由题意可得，即，所以， 解得， 则. 由，解得. 所以的定义域为. 【小问2详解】 解：由（1）可得， 不等式可化为， 因为在上是增函数， 所以， 解得. 故不等式的解集为. 17. 已知函数，． （1）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式恒成立利用基本不等式计算可得， （2）利用方程有根并根据对勾函数性质，求出函数在上的值域即可. 【小问1详解】 由可得， 因此， 又易知，当且仅当，即时，等号成立； 所以满足即可，解得， 因此实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得， 所以，即； 令，则，即， 易知函数在上单调递增，所以可得. 因此实数的取值范围为. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． （1）求的大小； （2）求面积的最大值； （3）求的内切圆半径的最大值． 【答案】（1） （2）面积最大值为 （3）内切圆半径最大值为 【解析】 【分析】（1）变维给定等式，再利用余弦定理求解. （2）利用基本不等式求出的最大值，进而求出三角形面积的最大值. （3）将表示为的函数，再利用正弦定理及三角恒等变换求出的最大值. 【小问1详解】 依题意，， 整理得：， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，，故； 【小问2详解】 由（1）得，三角形的面积， 由基本不等式，结合， 得：当且仅当时等号成立， 代入得：； 【小问3详解】 三角形的面积，故， 代入得：， 由，得，代入化简：， 由正弦定理得，而，由是锐角三角形得， ， 当时，，，代入得：. 19. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）由跃点函数定义，解得，即可证明； （3）由跃点函数定义，即在上个根，根据正弦函数的周期性和图像。讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由已知得存在实数， 使得. 所以. 【小问2详解】 若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件. 【小问3详解】 假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. ⑤当，即，有个根，不符合. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2025-2026学年度高一下学期开学考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 设当时，函数取得最大值，则 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各三角函数值的符号为负的是（ ） A. B. C. D. 10. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. ab的最大值为 11. 中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ） A. 若CD是中线，则 B. 若CD是高，则 C. 若CD是角平分线，则 D. 若D是线段AB的三等分点，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的半径为1cm，它的周长为6cm，那么该扇形的圆心角为________弧度． 13. 若函数在上单调递减，则的最大值为________． 14. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的单调递增区间． 16. 已知函数的图象经过点. （1）求a的值，及的定义域； （2）求关于x的不等式的解集. 17. 已知函数，． （1）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． （1）求的大小； （2）求面积的最大值； （3）求的内切圆半径的最大值． 19. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $