20.1勾股定理及其应用（第1课时）同步练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.1 勾股定理及其应用（第1课时）解析版 一．选择题（共8小题） 1．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（　　） A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14 【分析】由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，即可得出正确选项． 【解答】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， ∵2+3＝5≠4， ∴选项A不满足要求，不符合题意； ∵5+6＝11， ∴选项B满足要求，符合题意； ∵6+8＝14≠15， ∴选项C不满足要求，不符合题意； ∵7+12＝19≠14， ∴选项D不满足要求，不符合题意， 故选：B． 2．在Rt△ABC中，两直角边分别是6cm，8cm，则第三边等于（　　） A．2cm B．8cm C． D．10cm 【分析】在直角三角形中，已知两直角边，利用勾股定理求斜边． 【解答】解：在Rt△ABC中，两直角边分别为6cm，8cm， 由勾股定理得：， ∴第三边等于10cm， 故选：D． 3．如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理计算得到答案． 【解答】解：由勾股定理得：AC， 故选：C． 4．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 【分析】由题意可得AE＝AB＝3，然后通过勾股定理求出即可． 【解答】解：由题意可得，∠ADC＝90°，AE＝AB＝3， ∵AD2+DE2＝AE2，AD＝2， ∴22+DE2＝32， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．5 B． C． D．6 【分析】由题意可得：AB＝2，CD＝1，由勾股定理求出BC，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意，得BE＝1，EC＝2，BE⊥EC， 在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC2＝BE2+EC2， ∴， 又∵AB＝2，CD＝1， ∴按手势解锁一次的路径长为：AB+BC+CD． 故选：C． 6．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（　　） A．AD B．BC C．AB D．CD 【分析】根据勾股定理求出每条线段的长即可判断． 【解答】解：∵方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上， 由勾股定理得：，， 故长度为无理数的线段是CD， 故选：D． 7．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．514 B．8 C．16 D．64 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积． 【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225， ∴即PQ2＝225， ∵正方形PRGF的面积为289， ∴PR2＝289， 又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得： PR2＝PQ2+QR2， ∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64， 则正方形QMNR的面积为64． 故选：D． 8．如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（　　） A． B．13 C．5 D． 【分析】根据勾股定理求出AB2即可． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为3，2， ∴AB2＝AC2+BC2＝22+32＝13， ∴阴影部分的面积为13， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 9．在△ABC中，∠B＝90度，BC＝6，AC＝8，则AB＝　2　 ． 【分析】直接根据题意画出图形，再利用勾股定理求出答案． 【解答】解：如图所示： ∵∠B＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB2． 故答案为：2． 10．在Rt△ABC中a＝1，c＝3，∠C＝90°，则b＝　　 ． 【分析】在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．根据勾股定理求出结果即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中a＝1，c＝3，∠C＝90°， ∴． 故答案为：． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则AB的长为　8　 ． 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出AB即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝2×4＝8， 故答案为：8． 12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，则正方形ADEC的面积是　20　 ． 【分析】利用勾股定理求出AC2的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴由勾股定理得AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20， ∴正方形ADEC的面积＝AC2＝20， 故答案为：20． 13．如图，阴影部分正方形的边长是　　 ． 【分析】根据勾股定理得出正方形的边长解答即可． 【解答】解：由勾股定理可得，正方形的边长， 故答案为：． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝6，AB＝10，则CD的长为　　 ． 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据等积法求出CD的长即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10， 由勾股定理得：， ∵CD⊥AB， ∴， ∴6×8＝10CD， 解得：； 故答案为：． 15．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形A的面积为　4　 ． 【分析】根据勾股定理推出中间空白正方形的面积，进而即可求出正方形A的面积． 【解答】解：∵两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的面积分别为6、2、12， 结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：12﹣2＝10， 则正方形A的面积为10﹣6＝4； 故答案为：4． 16．以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知S1＝50，S2＝15，S3＝10，则S4＝　25　 ． 【分析】根据题意得S5＝S3+S4，S1＝S2+S5，所以S1＝S2+S3+S4，然后代入即可求解． 【解答】解：如图， ∵以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形， ∴S5＝S3+S4，S1＝S2+S5， ∴S1＝S2+S3+S4， ∵S1＝50，S2＝15，S3＝10， ∴50＝15+10+S4， ∴S4＝25， 故答案为：25． 17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为　72　 ． 【分析】根据勾股定理有S正方形E+S正方形F＝36，S正方形C+S正方形D＝S正方形E，S正方形A+S正方形B＝S正方形F，等量代换即可求六个小正方形的面积之和． 【解答】解：∵最大的正方形的面积为36，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 由勾股定理得：S正方形E+S正方形F＝36，S正方形C+S正方形D＝S正方形E，S正方形A+S正方形B＝S正方形F， ∴S正方形A+S正方形B+S正方形C+S正方形D+S正方形E+S正方形F＝2（S正方形E+S正方形F）＝72． 故答案为：72． 18．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为　8+4n ． 【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【解答】解：图①中，∵∠ACB＝90°， AC2+BC2＝AB2＝22＝4， ∴图①中所有正方形面积和为：4+4＝8， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 8+4＝12， 则2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 8+4×2＝16， ⋯ ∴若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4n， 故答案为：8+4n． 三．解答题（共6小题） 19．求图中的x的值： （1） （2） 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理进行求解即可． 【解答】解：（1）由勾股定理得，； （2）由勾股定理得，； 20．在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，图1中的线段AB的两个端点都在格点上． （1）在图1中，线段AB的长为　　 ； （2）在图2中，画一个面积为10的正方形DEFG，且正方形的顶点都在格点上． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB； （2）根据勾股定理、正方形的面积公式解答即可． 【解答】解：（1）AB， 故答案为：； （2）如图2，DE＝EF＝FG＝DG， 则四边形DEFG为面积为10的正方形． 21．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）△ABC的面积； （2）点C到AB边的距离． 【分析】（1）利用正方形的面积减去三角形三个顶点上三角形的面积即可； （2）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）由图可知，S△ABC＝4×42×32×41×4＝16﹣3﹣4﹣2＝7； （2）∵AB， ∴点C到AB边的距离． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边． （1）若c＝13，b＝5，求a； （2）若a＝7，b＝24，求c； （3）若c＝10，a：b＝3：4，求a，b． 【分析】（1）根据Rt△ABC中，∠C＝90°，可得a2＝122即可求出a的值； （2）根据Rt△ABC中，∠C＝90°，可得c2＝252即可求出c的值； （3）根据Rt△ABC中，∠C＝90°，可得a2+b2＝c2，根据a：b＝3：4，设a＝3x，b＝4x（x＞0），从而可得（3x）2+（4x）2＝102，解方程求出x的值即可得到a、b的值． 【解答】解：（1）由勾股定理可得：a2+b2＝c2， ∵c＝13，b＝5， ∴a2＝c2﹣b2＝132﹣52＝144＝122， ∴a＝12； （2）由勾股定理可得：a2+b2＝c2， ∵a＝7，b＝24， ∴c2＝a2+b2＝72+242＝625＝252， ∴c＝25； （3）由勾股定理可得：a2+b2＝c2， 设a＝3x，b＝4x（x＞0）， 由a2+b2＝c2， 可得：（3x）2+（4x）2＝102， ∴x＝2， ∴a＝6，b＝8． 23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c≥b≥a． （1）当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D．设CD＝x． ∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝①， ∴b2﹣x2＝①． 化简得，a2+b2﹣c2＝2ax． ∵a＞0，x＞0，∴②＞0． ∴a2+b2﹣c2＞0． ∴a2+b2＞c2． 其中，①是 c2﹣（a﹣x）2 ；②是 　2ax ． （2）如图②，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2+b2与c2之间的关系并证明． 【分析】（1）在Rt△ADB中根据勾股定理即可表示出AD2，从而得出b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，然后进行判断即可； （2）过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D，设CD＝x，在Rt△ADC和Rt△ADB中分别根据勾股定理表示出AD2，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【解答】解：（1）如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x， ∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2， ∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2， 化简得，a2+b2﹣c2＝2ax， ∵a＞0，x＞0， ∴2ax＞0， ∴a2+b2﹣c2＞0， ∴a2+b2＞c2． 其中，①是c2﹣（a﹣x）2；②是2ax； 故答案为：c2﹣（a﹣x）2，2ax； （2）a2+b2＜c2； 证明：如图， 过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D，设CD＝x， ∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a+x）2， ∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2， 化简得，a2+b2﹣c2＝﹣2ax， ∵a＞0，x＞0， ∴﹣2ax＜0， ∴a2+b2﹣c2＜0， ∴a2+b2＜c2． 24．通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造△ABC，比较与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），BC＝1，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 【分析】画出图形，再由勾股定理求出DE、EF、DF的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：，理由如下： 如图2所示， 由勾股定理得：DE，EF，DF， 在△ABC中，DF﹣EF＜DE， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/12 23:46:41；用户：宋海侠；邮箱：13256308196；学号：12354775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1 勾股定理及其应用（第1课时） 一．选择题（共8小题） 1．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（　　） A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14 2．在Rt△ABC中，两直角边分别是6cm，8cm，则第三边等于（　　） A．2cm B．8cm C． D．10cm 3．如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 4．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 5．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．5 B． C． D．6 6．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（　　） A．AD B．BC C．AB D．CD 7．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．514 B．8 C．16 D．64 8．如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（　　） A． B．13 C．5 D． 二．填空题（共10小题） 9．在△ABC中，∠B＝90度，BC＝6，AC＝8，则AB＝　 　 ． 10．在Rt△ABC中a＝1，c＝3，∠C＝90°，则b＝　 　 ． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则AB的长为　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，则正方形ADEC的面积是　 　 ． 13．如图，阴影部分正方形的边长是　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝6，AB＝10，则CD的长为　 　 ． 15．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形A的面积为　 　 ． 16．以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知S1＝50，S2＝15，S3＝10，则S4＝　 　 ． 17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为　 　 ． 18．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 19．求图中的x的值： （1） （2） 20．在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，图1中的线段AB的两个端点都在格点上． （1）在图1中，线段AB的长为　 　 ； （2）在图2中，画一个面积为10的正方形DEFG，且正方形的顶点都在格点上． 21．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）△ABC的面积； （2）点C到AB边的距离． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边． （1）若c＝13，b＝5，求a； （2）若a＝7，b＝24，求c； （3）若c＝10，a：b＝3：4，求a，b． 23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c≥b≥a． （1）当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D．设CD＝x． ∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝①， ∴b2﹣x2＝①． 化简得，a2+b2﹣c2＝2ax． ∵a＞0，x＞0，∴②＞0． ∴a2+b2﹣c2＞0． ∴a2+b2＞c2． 其中，①是 　 　 ；②是 　 　 ． （2）如图②，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2+b2与c2之间的关系并证明． 24．通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造△ABC，比较与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），BC＝1，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 学科网（北京）股份有限公司 $