第十九章 二次根式 复习与巩固练习（1)2025-2026学年 人教版数学八年级下册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级下册 第十九章 二次根式 复习与巩固练习（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.（25-26·海南期中）化简的结果为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】把被开方数写成，然后利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：故选：． 2.（25-26·江苏月考）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A. B. C. D.无法确定 【答案】A 【解析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【解答】解：根据数轴得：， ， ． 故选：． 3.（23-24·四川期末）下列计算正确的是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得. 【解答】、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；、，此选项正确； 、，此选项错误； 、，此选项错误； 故选 4.（25-26期末）若，，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出 ， ，再根据平方差公式计算即可. 【解答】解： 故选：C 5.（25-26·山东月考）阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查阅读理解，掌握材料中分母有理化的方法是解决问题的关键． 根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案． 【解答】解： ， 故选：． 6.（25-26·全国月考）如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了正方形的面积与边长的关系、二次根式的运算及长方形面积的计算，解题的关键是根据正方形面积求出边长，结合摆放方式确定长方形的长和宽，进而通过面积差求出空白部分面积． 先由正方形面积求出边长（分别为和）；根据“尽量撑满长方形”可知长方形的长为两正方形边长之和，宽为较大正方形的边长；计算长方形面积与两正方形面积和的差，得到空白部分面积． 【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和， 它们的边长分别为和． 要将两张正方形不重叠无缝隙地放入长方形且尽量撑满， 长方形的长为两个正方形边长之和，即，宽为较大正方形的边长． 长方形的面积为 ． 两张正方形纸片的面积和为， 空白部分的面积为． 故选：． 7.（24-25·山东期中）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是      A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将，，变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 【解答】 解:，，， 又， ． 故选： 8.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦-秦九韶公式计算的面积即可． 【解答】 解：，，，， 的面积， 故选：． 9.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题暂无解析 【解答】试题解析：．故选． 10.（24-25·重庆期中）若和都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为或 A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】B 【解析】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键． 直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【解答】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时，，故结论①正确； ②， 当，则 当则．故结论②正确； ③， 当时，， 当时，，故结论③错误； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故结论④错误． 综上所述：正确结论有①②，共个， 故选：． 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.（25-26·湖南月考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是____且 __________． 【答案】且 【解析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，掌握好相关的性质是关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解． 【解答】 代数式 在实数范围内有意义， ， 解得，且． 故答案为：且．   12.（25-26·湖南月考）已知，则的值为________________________ 【答案】 【解析】本题考查了二次根式的非负性，解二元一次方程组，完全平方公式，代数式求值． 将化为，根据二次根式的非负性，平方的非负性得到关于和的方程组，解方程组后求的值即可． 【解答】解：， ，， ，， ，， 即， 解得：， 则． 故答案为：． 13.（25-26·全国月考）已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 【答案】 【解析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简和，得到，；再确定的整数部分和的小数部分，最后计算．掌握化简的方法和计算的方法是解题的关键． 【解答】解：， ， 又， ， ，， 的整数部分，的整数部分为， 的小数部分， ． 故答案为：． 14.（25-26·上海月考）比较大小：____________．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【解析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解： ， 令，， 则，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15.（24-25·浙江开学）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是______________． 【答案】 【解析】根据题意，设小长方形长为，宽为，则由盒子底部大长方形长为，宽为，可得大阴影部分长为，宽为；小阴影部分长为，宽为；；从而列式求两块阴影部分的周长和即可得到答案． 【解答】解：设小长方形长为，宽为， 盒子底部大长方形长为，宽为， 大阴影部分长为，宽为；小阴影部分长为，宽为；且； 两块阴影部分的周长和 ， 将代入上式，原式， 故答案为：． 16.（24-25·山东期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ____________． 【答案】 【解析】①；②；③，得到，列式计算即可． 本题考查了二次根式中规律探索，实数的计算，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【解答】 解：①； ②； ③， 故， 故 ， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.（25-26·上海月考）(8分) 计算 （1） （2） 【答案】 【解析】（1）先化简二次根式, 分母有理化, 再计算加减即可; （2）根据二次根式的乘除运算法则计算, 再化简二次根式即可. 【解答】（1）解： （2） 解: 18.（25-26·甘肃月考）（4分）已知与是可以合并的最简二次根式，求的值． 【答案】 【解析】本题考查合并同类二次根式，解一元二次方程，根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出一元二次方程，进行求解即可． 【解答】解：依题意，得：， 解得：， 当时，不是最简二次根式， 故舍去， ． 19.（25-26期末）(8分) 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： （1）化简：； （2）若，，求： ①的值； ②的值． 【答案】 ① ; ② -3 【解析】（1）根据数轴可得 , 进而根据二次根式的化简, 即可求解; （2）先计算出 的值； (1)根据平方差公式进行计算即可求解； (2)先通分,再根据完全平方公式变形求值,即可求解. 【解答】 （1） 解：根据数轴可得 （2）解: , ① , ② . 20.（24-25·全国同步）(8分) 二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则的值为_______； （2）若为实数，且，求的值； （3）若实数满足，求的值． 【答案】 或 【解析】（1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【解答】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解： 中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 21.（25-26·全国期中）(8分) 在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题： （1）试化简和； （2）化简； （3）若，求的值． 【答案】， 【解析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先将的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】（1）解： 故答案为：，； （2）原式 ； （3）， ， ， 即． ． ． 22.（25-26·全国期中）(8分) 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】 【解析】（1）先将分母有理化，再求出的值，利用完全平方公式将所求代数式化为含有的式子，代入求值即可； （2）利用完全平方公式将化为，代入求值即可． 【解答】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 23.（24-25·全国同步）(9分) 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． （1）【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程_______，解这个方程，得_______．经检验，__3_____是原方程的解． （2）【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】，， ①无解，②不能，理由见解析 【解析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【解答】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， 不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， 该方程无解， 代数式的值不能等于．   24.（24-25·江苏期末）(9分) 阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到． 如： ，，即 的最小值为 阅读上述材料解决下面问题： （1）             ，             ； （2）求的最值； （3）已知，求的最值． 【答案】, ； 【解析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解； （2）利用完全平方公式配方即可求解； （3）先化简,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解. 【解答】（1），；故答案为：； （2）的最小值为； （3） 故的最大值为 25.（25-26·上海期中）(10分) 材料一：观察等式，其左边是两个含有二次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）_________；（直接写出答案） （2）计算：；（直接写出答案） （3）计算：； （4）计算：． 【答案】 【解析】（1）根据分母有理化求解即可； （2）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （3）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （4）先将分母因式分解，然后分母有理化，最后根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【解答】（1）解：． 故答案为：． （2） 解： ． （3） 解： ． （4） 解： ． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级下册 第十九章 二次根式 复习与巩固练习（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.（25-26·海南期中）化简的结果为（      ） A. B. C. D. 2.（25-26·江苏月考）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A. B. C. D.无法确定 3.（23-24·四川期末）下列计算正确的是（      ） A. B. C. D. 4.（25-26期末）若，，则的值为（       ） A. B. C. D. 5.（25-26·山东月考）阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A. B. C. D. 6.（25-26·全国月考）如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（   ） A. B. C. D. 7.（24-25·山东期中）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是      A. B. C. D. 8.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（      ） A. B. C. D. 9.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于 A. B. C. D. 10.（24-25·重庆期中）若和都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为或 A.个 B.个 C.个 D.个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.（25-26·湖南月考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______________． 12.（25-26·湖南月考）已知，则的值为_________________ 13.（25-26·全国月考）已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则_______． 14.（25-26·上海月考）比较大小：__________．（用“”、“”、“”或“”填空） 15.（24-25·浙江开学）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是______________． 16.（24-25·山东期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ___________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.（25-26·上海月考）(8分) 计算 （1） （2） 18.（25-26·甘肃月考）（4分）已知与是可以合并的最简二次根式，求的值． 19.（25-26期末）(8分) 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： （1）化简：； （2）若，，求： ①的值； ②的值． 20.（24-25·全国同步）(8分) 二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则的值为_______； （2）若为实数，且，求的值； （3）若实数满足，求的值． 21.（25-26·全国期中）(8分) 在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题： （1）试化简和； （2）化简； （3）若，求的值． 22.（25-26·全国期中）(8分) 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 23.（24-25·全国同步）(9分) 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． （1）【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程______，解这个方程，得_______．经检验，______是原方程的解． （2）【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 24.（24-25·江苏期末）(9分) 阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到． 如： ，，即 的最小值为 阅读上述材料解决下面问题： （1）             ，             ； （2）求的最值； （3）已知，求的最值． 25.（25-26·上海期中）(10分) 材料一：观察等式，其左边是两个含有二次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）________；（直接写出答案） （2）计算：；（直接写出答案） （3）计算：； （4）计算：． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $