期末复习(1) 二次根式-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

期末复习( 01重难点突破 突破点一二次根式有意义的条件 例0要使式子)十(x-3)°有意义，则， x-2 的取值范围是 反思归纳从式子的结构上来看，分为三部分：①二次 根式；②分式；③零指数幂.应使每部分都有意义，即二 次根式的被开方式是非负数，分式的分母不为零及零 指数幂的底数不为零， 对点训练 1若代数式有意义，则x的取值范围为 2.【新中考·条件开放】已知a为正整数，写出 一个使√a一2在实数范围内有意义的a值是 突破点二二次根式的性质与化简 例2实数a,b在数轴上对应的点如图所示，化 简：√a2-√(a-b)2-√(a+b)2= 反思归纳此题主要考查了二次根式的性质与化筒，解 决此题，先将二次根式化简为a|一|a一b一a十b, 然后借助数轴判断绝对值内的数是正数还是负数，再 去绝对值，合并即可， 对点训练 3.若2<a<3,化简代数式√a2-4a十4- √(a-3)等于 () A.5-2a B.1-2a C.2a-5 D.2a-1 4.如图，数轴上点A表示的数为a,化简：a+ Wa2-4a+4= A a 2 5.若√a-1+b2-4b+4=0,则ab= )二次根式 突破点三二次根式的运算 例3计算：（√18十√12）(3√2-2√3)-（√3- √2)2. 反思归纳二次根式的运算中，要注意运算顺序，此外 乘法公式仍然适用. 对点训练 6计算v瓜÷8-2后 ×√30+(22+√3)2. 突破点四与二次根式有关的化简求值 囫马先化简，再求值：(a-2ab-b)÷a- a a 其中a=22-1,b=1-√2. 对点训练D 7.（整体思想)已知x=√3一√2，y=√3十√2，求 x2+3xy十y2的值. 助学助教优质高效122 突破点五与二次根式有关的规律探究 例5观察下列等式： 第1个等式：a1= 1 ==√2-1； 1+√2 第2个等式：a2= 1 =√3-√2； √2+ 第3个等式：a3= 1=2-3； √3+2 第4个等式：a4= 1 =√5-2； 2+√5 …… 据上述规律，回答以下问题： (1)请写出第n(n≥1且n为整数)个等式： (2)a1+a2十a3十…十am= 对点训练 8.观察下列各式： 27=3.3 °V10: 4 /64 4 ③/4-17-√17 =4 V17 (1)根据你发现的规律填空： 5 5-26 (2)猜想、n一 2+1(n≥2，n为自然数)的值 02备考集训(60分钟100分) 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.下列各式是最简二次根式的是 A.√0.3B.√4 C.√7 D.√8 2.下列二次根式中，能与√27合并的是（ ) A.√6 B.√8 C.√12 D.√24 123八年级数学·下册 3.下列各式正确的是 () A.√(-2)2=-2 B.√6-√2=2 C.√3×√7=√10 D.6÷√3=√2 4.若√75n是整数，则正整数n的最小值是 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知x十y=3+2√2，x-y=3-2√2，则 √x2一y的值为 () A.4√2 B.6 C.3-2√2 D.1 6.已知实数a,b在数轴上的对应点的位置如图 所示，且|a>b,则化简√a一|a+b的结 果为 06 A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b 二、填空题（每小题4分，共20分） 7.【新中考·条件开放】写出一个使√/2一x有意 义的x的值： 8.若√m-1十n十2|=0，则m"= 9.比较大小：一6√2 -23 10.如图，从一个大正方形中裁去面积为18cm 和32cm的两个小正方形，则剩余部分（阴 影部分)的面积等于 cm. 18 cm 32 cmi 11.已知a,b都是实数，m为整数，若a十b 2m,则称a与b是关于m的一组“平衡数”. 例如：√2与2一√2是关于1的“平衡数”.若 a=4十√3，b=√3-4，则a2与b2 (填 “是”或“不是”)关于某数的一组“平衡数” 三、解答题（共56分） 12.(12分)计算： 3 1)22÷V2 2)v厘-3/5+s)÷23-2-1y. 13.(12分)已知a,b分别是4十√3的整数部分 和小数部分，求b2十2a的值. 14.(14分)如图，在8×10的网格内取A,B,C, D四个格点，使AB=BC=2CD=4.P是线 段BC上的动点，连接AP,DP. (1)设BP=a,CP=b,用含a,b的代数式分 别表示线段AP,DP的长； (2)设k=AP十DP,k是否存在最小值？若 存在，请求出最小值；若不存在，请说明 理由. 15.(18分)小丽根据学习“数与式”积累的经 验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面 二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过 程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律. 第1个等式：+-2得； 第2个等式：2+4 1 =3. V4 /1 第3个等式：√3+5=4√ 第4个等式： (2)观察、归纳，得出猜想 猜想第n(n为正整数)个等式为 并证明你的猜想； (3)应用运算规律. 化简：V9g+1×V199+201×v402 ×√101. 助学助教优质高数124点：菱形和筝形的对角线都互相垂直；不同点：菱形的四条边都相等，筝形的两组邻边 分别相等；(3)图略.8.解：(1)描点并作图略，这些点在同一条直线上，设这条直 线的解析式为y=kx十b(k,b为常数，且k≠0)，将x=2,y=116和x=10,y=100代 人=x十6得0.1860解得合128”y=-2z+120: （2)背带的总长 度为单层部分与双层部分的长度和，∴.总长度为一2x十120十x=一x十120.当单肩 包背节长度调整为最佳背带总长度时，得一大120=号A= h 2x+180.身高h 3 与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式为九=一2x十180。（3)4 3 期末复习（一）二次根式 重难点突破 【例1】x≥-1且x≠2，x≠3【例2】a【例3】解：原式=(3√2+2√3)(3√2-2√3) (3-26+2)=18-12-5+26=1+26.【例4】解：原式=a-2ab+6 a (a-b)2 =a-b (a+b)(a-b) ·(a+b)(a-b)a+b 当a=22-1,6=1-2时，8 atb -22-1-1+2=3E-2=3-2.【例511) =√/n+1-√n(2) 2√2-1+1-√2√2 n+n+1 /n+1-1 对点训练 1.x≥-3且x≠士22.43.C4.25.26.解：原式=4-2v√6+8+3十4√6=15 +2√6.7.解：x+y=√3-√2+√3+√2=23，xy=(W3-√2)(W3+√2)=1，∴.x2+ 3y+=x+y+y=(2y+1=13.81√要5√层(2V0w4 /5 n =√n2+1 备考集训 1.C2.C3.D4.B5.D6.C7.0(答案不唯一)8.19.<10.4811.是 12.(1)解：原式=2√12÷×3=2V7厄=122；(2)解：原式=(65-5+4 3)÷23-1=93÷23-1=3.5.13.解：1<32，.∴.5<4+3<6..a=5 b=√3-1..b2+2a=(wW3-1)2+2×5=4-2√3+10=14-2W3. 14.解：(1)AP=√a十16，DP=√+4.(2)k存在最小值.作点A 关于线段BC的对称点A',连接A'D,交线段BC于点P,过点A作A E⊥DC于点E,连接AP...AP=AP,..k=AP十DP=A'P十DP D=AE+DE=4+6=52=213.15.1人4+6与 5√后2+干2=+ID√臣证明：左边= 1 /n2+2n+1 /(n+1) n十2 n+2 /1 1 /1 =（m+1D√n十2-右边…猎想成立.(3)原式=100√10×20√20 ×√402× v10-10x0xV×v1i)xV×v42)-20602. 期末复习（二）勾股定理 重难点突破 【例1】证明：Sk方e=4区2ab十2=2ab+c=(a+b.即2=a十.【例2】解g (1:56e=2X5X2=5,5g=2×5X3=7.55a0m=5aAx十58m=5 +7.5=12.5.(2)AD⊥CD.理由：由勾股定理，得AD=√+2=5，CD= √4+2=2√5，∴.AD2+CD=(W5)2+(2√5)2=25=AC..△ACD为直角三角 形，且∠ADC=90°..AD⊥CD.【例3】解：作点B关于直线MN 的对称点B,连接AB交AB于点P,则AP十BP=AP+PB AB',易知点P即为到A,B距离之和最短的点.过点A作AE⊥MA,户 B BB于点E,则AE=AB,=8km,BE=AA,十BB,=2十4=6 (km).由勾股定理，得AB'=√AE十EB=√82+62=10(km), 即AP+BP=AB'=10km.答：出口P到A,B两村庄的距离之和最短是10km. 对点训练 1.解：图1的面积S,=a+6+ab,图2的面积S,=2+a6.:S,=Sa+6 b=c+a6.a+6=不，2.解：(1D△ABC为直角三角形，理由如下，a 大3 +b2-12a-16b+100=0,.(a-6)2+(b-8)2=0..a=6,b=8.a2+b=62+8