2026年中考数学第二轮专题复习之选择题复习 4 数的开方与二次根式

2026 年中考第二轮复习 选择题专题 4. 数的开方与二次根式 本课题聚焦中考数的开方与二次根式选择题，结合真题考情与命题趋势，立足二轮复习 “精准破题、规避易错” 的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生夯实基础，拿下该板块基础得分点。 一、题型特点 1.基础核心，考点聚焦：以数的开方（平方根、立方根定义及性质）、二次根式的概念（有意义条件、最简二次根式）、运算（乘除、同类二次根式合并）为核心，基础题占比高，是中考必拿分题型； 2. 概念易混，陷阱隐蔽：选项多围绕平方根与算术平方根、二次根式有意义条件、非负数性质设置干扰，易因概念辨析不清失分； 3. 综合关联，灵活应用：部分题目结合非负数和为 0、无理数估算、几何面积、代数求值命题，还会融入规律探索、跨知识点综合，侧重知识迁移能力； 4. 数形结合，注重计算：少量题目结合网格、几何图形考查二次根式的实际应用，需通过整式运算、根式化简求解，计算量适中但对细节要求高。 二、答题要点 1. 吃透概念，精准判定：牢记平方根（，a≥0）、算术平方根（，a≥0，结果非负）、立方根（，a 为任意实数）的区别；二次根式有意义的条件为被开方数非负，分式与根式结合时兼顾分母不为 0。 2. 化简优先，规范运算：二次根式运算先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除运算遵循 “被开方数相乘除，根指数不变”，巧用平方差、完全平方公式简化计算。 3. 巧用性质，快速解题：利用 “非负数（平方、绝对值、二次根式）的和为 0，则各部分均为 0” 求解参数；无理数估算用 “夹逼法” 确定取值范围；选择题可采用代入排除法、特殊值法提速。 4. 数形结合，转化求解：几何背景题先通过勾股定理、面积公式列出根式表达式，再化简计算，将几何问题转化为代数运算。 三、避坑指南 1. 规避概念混淆：勿将算术平方根等同于平方根（如=4，而非 ±4）；注意立方根的符号与被开方数一致，平方根仅非负数有且互为相反数。 2. 警惕有意义条件漏判：判断二次根式取值范围时，切勿忽略被开方数非负；分式与根式结合时，同时满足 “被开方数≥0 + 分母≠0”。 3. 防止化简不彻底 / 错误：最简二次根式需满足 “被开方数不含分母、不含能开尽方的因数或因式”；同类二次根式判定需先化简，勿直接看表面被开方数。 4. 注意运算符号与顺序：二次根式乘除运算注意符号传递，混合运算遵循 “先乘方、再乘除、最后加减”，去括号时注意符号变化，避免漏算、错算。 本课题选择题核心是 “抓概念、重化简、细运算”，复习中需强化概念辨析与基础运算，通过针对性练习规避易错点，熟练掌握解题技巧，确保基础题型不失分，为中考筑牢该板块得分基础。 四、真题练习 1.（24-25·山东模拟）的平方根是（    ） A. B. C. D. 2.（24-25·江苏中考）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 3.（23-24·四川中考）在实数，，，中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 4.（22-23·内蒙古中考）下列说法正确的是（    ） ①若二次根式有意义，则的取值范围是． ②． ③若一个多边形的内角和是，则它的边数是． ④的平方根是． ⑤一元二次方程有两个不相等的实数根． A.①③⑤ B.③⑤ C.③④⑤ D.①②④ 5.（24-25·甘肃模拟）“的平方根是”用数学式表示为（    ） A. B. C. D. 6.（23-24·广东模拟）已知和是正数的两个平方根，则的值是（    ） A. B. C. D. 7.（24-25·山东中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D. 8.（24-25·陕西模拟）的立方根是（  ） A. B. C. D. 9.（24-25·云南模拟）函数的自变量的取值范围是（   ） A. B. C.且 D.且 10.（25-26·甘肃模拟）在，，，…，这个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 11.（24-25·江苏中考）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 12.（24-25·安徽模拟）已知实数，满足，则下列结论中错误的是（    ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 13.（24-25·吉林模拟）下列二次根式中，最简二次根式是（      ） A. B. C. D. 14.（24-25·辽宁模拟）与能合并的二次根式是（   ） A. B. C. D. 15.（24-25·江西模拟）若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A. B. C. D. 16.（24-25·广东中考）计算的结果是（   ） A. B. C. D. 17.（22-23·青海中考）下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 18.（23-24·江苏中考）计算的结果是（    ） A. B. C. D. 19.（23-24·江苏模拟）如果，，那么下面各式：①，②，③，其中正确的是（ ） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 20.（24-25·四川模拟）如图是边长为的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（    ） A. B. C. D. 21.（24-25·山东模拟）已知，，则用表示为（    ） A. B. C. D. 22.（22-23·辽宁中考）下列计算正确的是（      ） A. B. C. D. 23.（22-23·河北中考）若，，则（ ） A. B. C. D. 24.（24-25·云南模拟）若，则的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 25.（24-25·内蒙古模拟）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A. B. C. D.   26.（24-25·河北中考）计算：（    ） A. B. C. D. 27.（23-24·云南模拟）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则、的值为（    ） A. B. C. D. 28.（24-25·四川中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D. 29.（2024-2025·四川模拟）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设＝，则这个正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 30.（22-23·湖南中考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为、、的的面积为，的边、、所对的角分别是、、，则．下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 选择题专题 4. 数的开方与二次根式 本课题聚焦中考数的开方与二次根式选择题，结合真题考情与命题趋势，立足二轮复习 “精准破题、规避易错” 的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生夯实基础，拿下该板块基础得分点。 一、题型特点 1.基础核心，考点聚焦：以数的开方（平方根、立方根定义及性质）、二次根式的概念（有意义条件、最简二次根式）、运算（乘除、同类二次根式合并）为核心，基础题占比高，是中考必拿分题型； 2. 概念易混，陷阱隐蔽：选项多围绕平方根与算术平方根、二次根式有意义条件、非负数性质设置干扰，易因概念辨析不清失分； 3. 综合关联，灵活应用：部分题目结合非负数和为 0、无理数估算、几何面积、代数求值命题，还会融入规律探索、跨知识点综合，侧重知识迁移能力； 4. 数形结合，注重计算：少量题目结合网格、几何图形考查二次根式的实际应用，需通过整式运算、根式化简求解，计算量适中但对细节要求高。 二、答题要点 1. 吃透概念，精准判定：牢记平方根（，a≥0）、算术平方根（，a≥0，结果非负）、立方根（，a 为任意实数）的区别；二次根式有意义的条件为被开方数非负，分式与根式结合时兼顾分母不为 0。 2. 化简优先，规范运算：二次根式运算先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除运算遵循 “被开方数相乘除，根指数不变”，巧用平方差、完全平方公式简化计算。 3. 巧用性质，快速解题：利用 “非负数（平方、绝对值、二次根式）的和为 0，则各部分均为 0” 求解参数；无理数估算用 “夹逼法” 确定取值范围；选择题可采用代入排除法、特殊值法提速。 4. 数形结合，转化求解：几何背景题先通过勾股定理、面积公式列出根式表达式，再化简计算，将几何问题转化为代数运算。 三、避坑指南 1. 规避概念混淆：勿将算术平方根等同于平方根（如=4，而非 ±4）；注意立方根的符号与被开方数一致，平方根仅非负数有且互为相反数。 2. 警惕有意义条件漏判：判断二次根式取值范围时，切勿忽略被开方数非负；分式与根式结合时，同时满足 “被开方数≥0 + 分母≠0”。 3. 防止化简不彻底 / 错误：最简二次根式需满足 “被开方数不含分母、不含能开尽方的因数或因式”；同类二次根式判定需先化简，勿直接看表面被开方数。 4. 注意运算符号与顺序：二次根式乘除运算注意符号传递，混合运算遵循 “先乘方、再乘除、最后加减”，去括号时注意符号变化，避免漏算、错算。 本课题选择题核心是 “抓概念、重化简、细运算”，复习中需强化概念辨析与基础运算，通过针对性练习规避易错点，熟练掌握解题技巧，确保基础题型不失分，为中考筑牢该板块得分基础。 四、真题练习 1.（24-25·山东模拟）的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】题考查了平方根，熟记定义是解题的关键．根据平方根的定义计算即可． 【解答】解：的平方根是， 故选：． 2.（24-25·江苏中考）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定的取值范围． 【解答】解：在实数范围内有意义， ， 解得：， 故选：． 3.（23-24·四川中考）在实数，，，中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案． 【解答】解：， 在实数，，，中，最大的数是， 故选：．  4.（22-23·内蒙古中考）下列说法正确的是（    ） ①若二次根式有意义，则的取值范围是． ②． ③若一个多边形的内角和是，则它的边数是． ④的平方根是． ⑤一元二次方程有两个不相等的实数根． A.①③⑤ B.③⑤ C.③④⑤ D.①②④ 【答案】B 【解析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可． 【解答】解：①若二次根式 有意义，则，解得． 故的取值范围是，题干的说法是错误的． ② ，故题干的说法是错误的． ③若一个多边形的内角和是，则它的边数是是正确的． ④ ＝的平方根是，故题干的说法是错误的． ⑤， 一元二次方程有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的． 故选：． 5.（24-25·甘肃模拟）“的平方根是”用数学式表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题暂无解析 【解答】根据平方根的定义可得： , 的平方根表示为 故选 6.（23-24·广东模拟）已知和是正数的两个平方根，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：， 解得：； 故选． 7.（24-25·山东中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了完全平方公式、非负数的性质以及平方根的定义．将方程左边配成完全平方式可得，利用非负数的和为零则每个非负数为零的性质，求出和的值，再计算的平方根即可解答． 【解答】解：， ， ，， 且， ，， 即，， ， 的平方根为， 故选．  8.（24-25·陕西模拟）的立方根是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据立方根进行求解即可． 【解答】的立方根是， 故选． 9.（24-25·云南模拟）函数的自变量的取值范围是（   ） A. B. C.且 D.且 【答案】A 【解析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，立方根的定义；由于正数、、负数均有立方根，所以只根据分母不等于零列式求解即可． 【解答】解：依题意，， ． 故选．  10.（25-26·甘肃模拟）在，，，…，这个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】B 【解析】分别找出，，…，这个自然数的算术平方根和立方根中，有理数的个数，然后即可得出无理数的个数． 【解答】解：，，，…，， ，，…，这个自然数的算术平方根中，有理数有个， 无理数有个； ，，，，， ，，…，这个自然数的立方根中，有理数有个， 无理数有个； ，，…，这个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有 个． 故选．  11.（24-25·江苏中考）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 【答案】B 【解析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键． 根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【解答】解：设正方体铁块的棱长为，根据题意，得 ， ， ， ， 该正方体铁块的棱长位于和两个相邻整数之间． 故选：． 12.（24-25·安徽模拟）已知实数，满足，则下列结论中错误的是（    ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】C 【解析】按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可． 【解答】， ， ，， ，， ，故正确，不符合题意； ， ，， ， ， ， ，故正确，不符合题意； ， ， ， 或，故错误，符合题意； ， ， ，， ， ， 即，故正确，不符合题意． 故选：． 13.（24-25·吉林模拟）下列二次根式中，最简二次根式是（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】观察二次根式，逐一将各选项化简即可选出正确答案． 【解答】解：．，故选项不是最简二次根式，不符合题意；．，故选项不是最简二次根式，不符合题意； ．，故选项不是最简二次根式，不符合题意； ．不可化简，故选项式是最简二次根式，符合题意． 故选：． 14.（24-25·辽宁模拟）与能合并的二次根式是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式的加减，涉及同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【解答】解：， 根据同类二次根式的定义可知能与合并， 故选：． 15.（24-25·江西模拟）若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【解答】解：最简二次根式与能合并， ， 解得：． 故选： 16.（24-25·广东中考）计算的结果是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 【解答】． 故选：．  17.（22-23·青海中考）下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据二次根式的运算法则运算判断． 【解答】解：、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意； 、 ，原计算错误，本选项不合题意； 、 ，计算正确，本选项符合题意； 、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意； 故选： 18.（23-24·江苏中考）计算的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：， 故选． 19.（23-24·江苏模拟）如果，，那么下面各式：①，②，③，其中正确的是（ ） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】B 【解析】由，先求出，，再进行根号内的运算． 【解答】解：∵ ，， ∴ ，. ①，被开方数应，，不能做被开方数，故①错误， ②，，故②正确， ③，，故③正确． 故选． 20.（24-25·四川模拟）如图是边长为的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先算出、、的长，然后根据三角形的面积求出边上的高即可． 【解答】解：， ， 根据网格特点可知，为直角三角形， 边上的高为：，故正确． 故选：． 21.（24-25·山东模拟）已知，，则用表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【解答】解：由题意得： ， 故选：． 22.（22-23·辽宁中考）下列计算正确的是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据有理数的混合运算法则、分母有理化及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】、，正确，本选项符合题意；、，原计算错误，本选项不符合题意； 、，原计算错误，本选项不符合题意； 、，原计算错误，本选项不符合题意． 故选． 23.（22-23·河北中考）若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】把、的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可． 【解答】 解：，， ， 故选：． 24.（24-25·云南模拟）若，则的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查求代数式的值，完全平方公式因式分解及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可． 【解答】， 当时，原式， 故选：． 25.（24-25·内蒙古模拟）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识． 根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题． 【解答】解：关于的方程有两个实数根， ， 两根之和不小于， ， 解得， 综上， ， ， ， 故选：．  26.（24-25·河北中考）计算：（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【解答】解： 故选：． 27.（23-24·云南模拟）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则、的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去，依据规律进行计算即可． 【解答】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：． 28.（24-25·四川中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【解答】解：， ， ，得：， 的平方根是； 故选：．  29.（2024-2025·四川模拟）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设＝，则这个正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】从图中可以看出，正方形的边长＝，所以面积＝，矩形的长和宽分别是，，面积＝，两图形面积相等，列出方程得＝＝，其中＝，求的值，即可求得正方形的面积． 【解答】根据图形和题意可得： ＝，其中＝，则方程是＝ 解得：， 所以正方形的面积为． 30.（22-23·湖南中考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为、、的的面积为，的边、、所对的角分别是、、，则．下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，，可得出，即，等式两边同时平方后可得出，移项、合并同类项后，可得出，即，两边再开方同时除以，即可得出结论． 【解答】解：，， ， 即， ， ， ， ， ． 故选：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $