专题01 数与式的计算化简与求值（题型专练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式的计算化简与求值 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01实数的混合运算 题型02 整式的混合运算 题型03 因式分解 题型04分式的混合运算 题型05代数式求值 题型06二次根式的混合运算 题型07规律探究类 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 实数的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）（1）计算：； 【详解】解：（1） ； 【典例02】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【详解】解：原式 ． 方法透视 考向解读 1.实数的加、减、乘、除、乘方。 22.2.特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，要求熟记函数值并准确代入。 3.零指数与负整数指数， 3. 二次根式处理：先化简为最简二次根式，再合并同类项；分母有理化时分子分母同乘有理化因式。 方法技能 1. 明确运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，合理使用运算律简化运算。 2.强化记忆特殊角的三角函数值。 3. 易错点：运算顺序错误、符号处理不当、三角函数值混淆是主要失分点。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 【变式02】（2025·山东滨州·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，绝对值，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 【变式03】（2025·山东淄博·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 题型02 整式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·山东济南中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 【典例02】（2025·山东中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 方法透视 考向解读 山东对整式运算的考查主要侧重于幂的运算性质、乘法公式的应用，涉及整式加减乘除，有时结合代入求值考查化简能力与公式灵活运用。 方法技能 遵循运算顺序，灵活运用幂的性质和乘法公式。若求值，则先化简再代入数值，注意有时整体代入和括号变号，避免计算错误。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式02】（2025·山东烟台·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方，需逐一验证各选项的正确性．根据合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方逐一分析判断即可． 【详解】解：选项A：．合并同类项需满足相同次数，但与次数不同，无法合并，结果应为，故A错误． 选项B：．单项式乘法中，系数相乘（），变量部分指数相加（），结果为，故B正确． 选项C：．单项式除法中，系数相除（），变量部分指数相减（），结果为，但选项写为，符号错误，故C错误． 选项D：．幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为，变量为，结果应为，但选项写为，系数错误，故D错误． 故选：B． 【变式03】（2025·山东潍坊·中考真题）先化简，再求值：，其中，满足． 【详解】解：， 因为， 所以． 题型03 因式分解 典例引领 【典例01】（2025·山东烟台·中考真题）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解； 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【典例02】（2025·山东青岛·中考真题）因式分解______________. 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 方法透视 考向解读 （1）提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法，叫做提公因式法 （2）公式法：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 常用公式 ①平方差公式逆用：a²一b²=(a十b)(a一b). ②完全平方公式逆用：a²土2ab十b²=(a士b)². 方法技能 1.因式分解要分解到不能再分解为止。 2.提公因式时，若多项式首项为负，先提取负号。 3.公式法应用前需判断结构是否匹配，避免强行套用。 （1）应用平方差公式分解因式的特征： a等号的左边是两个数的平方差的形式 b.等号的右边是这两个数的和与这两个数的差的积 （2）应用完全平方公式分解因式的特征： a等号的左边是两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍. b.等号的右边是这两个数的和（或差）的平方. 变式演练 【变式01】（2025·山东济南·二模）因式分解：＝___________． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式02】（2025·山东东营·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式03】（2025·山东临沂·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，先提取公因式再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 题型04 分式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】分式化简求值． 先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 【典例02】（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可. 【详解】解： ， ∵， ∴原式. 方法透视 考向解读 1.运算：主要考查分式的通分、约分、加减乘除乘方四则混合运算，要求熟练运用分式的运算法则。 2.求值：常见题型为先对分式进行化简（通常需因式分解），再代入指定的数值（或满足条件的数值）求值。 方法技能 1.先对分子、分母进行因式分解（提公因式、公式法）再通分约分。 2. 注意 运算顺序与符号：严格按照运算顺序特别注意分数线具有括号的作用。 3. 选值代入时注意选择使原分式有意义且计算简便的数。 变式演练 【变式01】（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：；故选B． 【变式02】（2025·山东威海·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 先将小括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法． 【详解】解：原式 ． 【变式03】（2025·山东泰安·二模）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，正确化简分式是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再解一元二次方程，根据分式有意义的条件，代值计算即可求出值． 【详解】解： ∵ ∴ 解得： 又∵ ∴当时，原式． 题型05 代数式求值 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）先化简，再求值：，其中，满足． 【详解】解：， 因为， 所以． 【典例02】（2025·山东威海·中考真题）若，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 方法透视 考向解读 主要考查利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形的能力，通过变形使它们成倍分关系.，为代入求值打下基础。 方法技能 观察已知代数式和所求代数式的关系.，根据题目特点在变形基础上常采用以下方法： 1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2、整体代入法：把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中计算求值． 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·一模）已知，则代数式的值为 ． 【答案】18 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：18． 【变式02】（2025·山东烟台·二模）若，则的值为 ． 【答案】20 【分析】先利用平方差公式：化简所求式子，再将已知式子的值代入求解即可． 【详解】 将代入得：原式 故答案为：20． 【变式03】（2025·山东滨州·二模）已知，则 . 【答案】 【分析】根据得继而得到，根据，变形计算即可. 【详解】解：，得，， 故， 故， 故答案为：. 题型06二次根式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·山东青岛·中考真题）计算：； 【详解】解： ； 【典例02】（2025·山东淄博·二模）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，根式的乘法，解题的关键是掌握平方差公式，直接利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 方法透视 考向解读 1运算顺序：与实数混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，先算括号里面的（按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算）。同级运算从左到右依次进行。 2运算法则 乘法法则：=（a≥0，b≥0） 除法法则： =（a≥0，b≥0） 加减法法则：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。合并同类二次根式时，只把系数相加减，根指数和被开方数不变。 方法技能 ①二次根式的加减，先根据二次根式的性质公式化简，再合并同类二次根式； ②二次根式的乘除，按照二次根式的运算公式直接计算； ③二次根式混合运算顺序同实数混合运算顺序一样； ④二次根式的运算结果必须化简成最简二次根式。 变式演练 【变式01】（2025·山东枣庄·一模）计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式02】（2025·山东滨州·一模）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：； 故答案为： 【变式03】（2025·山东青岛·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据运算法则先对二次根式进行化简，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型07 规律探究类 典例引领 【典例01】（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 【典例02】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 方法透视 考向解读 1.通过数字或图形变化寻找规律，考查归纳推理能力，要求从特殊到一般写出通项公式或第 n 项表达式，常涉及数列知识。 2.循环周期规律 识别数值或图形呈周期性重复，利用总数除以周期长度所得余数确定第 n 项状态，解决循环类探究问题。 3.图形数量转化 将图形中的点、线、面数量转化为数字序列，利用累加法或递推关系建立函数模型，实现形数转化求解。 方法技能 1.熟记 1-25 的平方数及 1-10 的立方数，识别 n²±k 或 n³±k 的变形结构，快速匹配数值规律特征，辅助发现通项。 .2.符号交替规律 掌握 (-1)ⁿ 或 (-1)ⁿ⁺¹ 控制正负号变化，结合数值规律综合写出通项，注意根据首项符号确定指数形式。 3.分式裂项知识 熟悉 等裂项公式，用于解决分式求和类规律题，简化复杂计算过程，提高解题效率。 4.数表坐标关系 掌握行列号与数值对应关系，常用有序数对表示位置，通过行列规律推导通项公式，解决数表探究类问题。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ......， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 【变式02】（2025·山东烟台中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【变式03】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 题●型●训●练 1．（2025·山东威海·一模）计算：_________． 【答案】2 【知识点】利用二次根式的性质化简、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 2．（2025·山东东营·一模）计算： (1)． 【答案】(1) 【知识点】二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算等 【详解】（1）解： ． 3．（2025·山东济南·一模）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了零指数幂的性质，二次根式化简以及负指数幂的性质．直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、代入特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】解： ． 4．（2025·山东德州·一模）已知，则的值是_________． 【答案】25 【知识点】平方差公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：25． 5．（2025·山东烟台·二模）若，则的值为___________． 【答案】20 【分析】先利用平方差公式：化简所求式子，再将已知式子的值代入求解即可． 【详解】 将代入得：原式 故答案为：20． 6．（2024·山东威海·二模）分解因式：__________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 7．（2025·山东济南·一模）分解因式：__________. 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法、公式法因式分解，掌握全平方公式的结构特征是正确解答的前提．先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式， 故答案为：； 8（2025·山东东营·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】此题考查了合并同类项、乘法公式、积的乘方、同底数幂除法等知识，根据法则逐项计算即可得到答案． 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 9.（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】幂的混合运算、运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式幂的运算，完全平方公式，多项式乘单项式，熟记这些计算公式是解题的关键．根据单项式乘单项式法则对①进行判断；根据同底数幂的除法对②进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对③进行判断；根据多项式乘单项式乘法对④进行判断；根据完全平方公式对⑤进行判断； 【详解】解：①中，故①正确； ②中，故②错误； ③中，故③错误； ④中，故④错误； ⑤中，故⑤错误； 故做对的有1个， 故选：B． 10.（2025·山东威海·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案． 【详解】解：原式 当时，原式， 故答案是： ． 11．（2025·山东东营·一模）（1）计算：． （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用零指数幂、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时， 原式． 12．（2025·山东东营·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）0；（2）， 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值． （1）先进行乘方、去绝对值、零次幂、负指数幂运算，特殊角三角函数运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后进行整体代换计算，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵x满足， ∴， ∴原式． 13．（2025·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 【答案】，当时，原式． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 首先根据分式的混合运算法则化简，然后求出不等式组的整数解，然后把有意义的x的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】 ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解为，，， ∵当，1，时，分式无意义， ∴当时，原式． 14（2025·山东临沂·一模）在求的值时，发现：，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则________． 【答案】780 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知后一个图形比前一个图形多4个三角形，进而得到，进而求出，利用题干给定的计算方法进行计算即可． 【详解】解：观察可知后一个图形比前一个图形多4个三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：780． 15（2025·山东济宁·一模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则________． 【答案】81 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，循环体，解题的关键是通过计算前面几项，发现出循环体，利用规律进行求解． 【详解】解：由定义得：， ∴，， ，， ，， ，…… ∴每5次是一组循环， ∵， ∴， 故答案为：81． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式的计算化简与求值 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01实数的混合运算 题型02 整式的混合运算 题型03 因式分解 题型04分式的混合运算 题型05代数式求值 题型06二次根式的混合运算 题型07规律探究类 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 实数的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）（1）计算：； 【典例02】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 方法透视 考向解读 1.实数的加、减、乘、除、乘方。 22.2.特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，要求熟记函数值并准确代入。 3.零指数与负整数指数， 3. 二次根式处理：先化简为最简二次根式，再合并同类项；分母有理化时分子分母同乘有理化因式。 方法技能 1. 明确运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，合理使用运算律简化运算。 2.强化记忆特殊角的三角函数值。 3. 易错点：运算顺序错误、符号处理不当、三角函数值混淆是主要失分点。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【变式02】（2025·山东滨州·二模）计算：． 【变式03】（2025·山东淄博·二模）计算：． 题型02 整式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·山东济南中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2025·山东中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 山东对整式运算的考查主要侧重于幂的运算性质、乘法公式的应用，涉及整式加减乘除，有时结合代入求值考查化简能力与公式灵活运用。 方法技能 遵循运算顺序，灵活运用幂的性质和乘法公式。若求值，则先化简再代入数值，注意有时整体代入和括号变号，避免计算错误。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式02】（2025·山东烟台·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·山东潍坊·中考真题）先化简，再求值：，其中，满足． 题型03 因式分解 典例引领 【典例01】（2025·山东烟台·中考真题）因式分解：__________． 【典例02】（2025·山东青岛·中考真题）因式分解______________. 方法透视 考向解读 （1）提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法，叫做提公因式法 （2）公式法：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 常用公式 ①平方差公式逆用：a²一b²=(a十b)(a一b). ②完全平方公式逆用：a²土2ab十b²=(a士b)². 方法技能 1.因式分解要分解到不能再分解为止。 2.提公因式时，若多项式首项为负，先提取负号。 3.公式法应用前需判断结构是否匹配，避免强行套用。 （1）应用平方差公式分解因式的特征： a等号的左边是两个数的平方差的形式 b.等号的右边是这两个数的和与这两个数的差的积 （2）应用完全平方公式分解因式的特征： a等号的左边是两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍. b.等号的右边是这两个数的和（或差）的平方. 变式演练 【变式01】（2025·山东济南·二模）因式分解：＝___________． 【变式02】（2025·山东东营·二模）分解因式： ． 【变式03】（2025·山东临沂·二模）因式分解： ． 题型04 分式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【典例02】（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 方法透视 考向解读 1.运算：主要考查分式的通分、约分、加减乘除乘方四则混合运算，要求熟练运用分式的运算法则。 2.求值：常见题型为先对分式进行化简（通常需因式分解），再代入指定的数值（或满足条件的数值）求值。 方法技能 1.先对分子、分母进行因式分解（提公因式、公式法）再通分约分。 2. 注意 运算顺序与符号：严格按照运算顺序特别注意分数线具有括号的作用。 3. 选值代入时注意选择使原分式有意义且计算简便的数。 变式演练 【变式01】（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【变式02】（2025·山东威海·二模）化简：． 【变式03】（2025·山东泰安·二模）先化简，再求值：，其中满足． 题型05 代数式求值 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）先化简，再求值：，其中，满足． 【典例02】（2025·山东威海·中考真题）若，则__________． 方法透视 考向解读 主要考查利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形的能力，通过变形使它们成倍分关系.，为代入求值打下基础。 方法技能 观察已知代数式和所求代数式的关系.，根据题目特点在变形基础上常采用以下方法： 1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2、整体代入法：把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中计算求值． 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·一模）已知，则代数式的值为 ． 【变式02】（2025·山东烟台·二模）若，则的值为 ． 【变式03】（2025·山东滨州·二模）已知，则 . 题型06二次根式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·山东青岛·中考真题）计算：； 【典例02】（2025·山东淄博·二模）计算：__________． 方法透视 考向解读 1运算顺序：与实数混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，先算括号里面的（按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算）。同级运算从左到右依次进行。 2运算法则 乘法法则：=（a≥0，b≥0） 除法法则： =（a≥0，b≥0） 加减法法则：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。合并同类二次根式时，只把系数相加减，根指数和被开方数不变。 方法技能 ①二次根式的加减，先根据二次根式的性质公式化简，再合并同类二次根式； ②二次根式的乘除，按照二次根式的运算公式直接计算； ③二次根式混合运算顺序同实数混合运算顺序一样； ④二次根式的运算结果必须化简成最简二次根式。 变式演练 【变式01】（2025·山东枣庄·一模）计算的结果为 ． 【变式02】（2025·山东滨州·一模）计算的结果是 ． 【变式03】（2025·山东青岛·二模）计算： ． 题型07 规律探究类 典例引领 【典例01】（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【典例02】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是__________． 方法透视 考向解读 1.通过数字或图形变化寻找规律，考查归纳推理能力，要求从特殊到一般写出通项公式或第 n 项表达式，常涉及数列知识。 2.循环周期规律 识别数值或图形呈周期性重复，利用总数除以周期长度所得余数确定第 n 项状态，解决循环类探究问题。 3.图形数量转化 将图形中的点、线、面数量转化为数字序列，利用累加法或递推关系建立函数模型，实现形数转化求解。 方法技能 1.熟记 1-25 的平方数及 1-10 的立方数，识别 n²±k 或 n³±k 的变形结构，快速匹配数值规律特征，辅助发现通项。 .2.符号交替规律 掌握 (-1)ⁿ 或 (-1)ⁿ⁺¹ 控制正负号变化，结合数值规律综合写出通项，注意根据首项符号确定指数形式。 3.分式裂项知识 熟悉 等裂项公式，用于解决分式求和类规律题，简化复杂计算过程，提高解题效率。 4.数表坐标关系 掌握行列号与数值对应关系，常用有序数对表示位置，通过行列规律推导通项公式，解决数表探究类问题。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【变式02】（2025·山东烟台中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为________． 【变式03】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为________． 题●型●训●练 1．（2025·山东威海·一模）计算：_________． 2．（2025·山东东营·一模）计算： (1)． 3．（2025·山东济南·一模）计算：． 4．（2025·山东德州·一模）已知，则的值是_________． 5．（2025·山东烟台·二模）若，则的值为___________． 6．（2024·山东威海·二模）分解因式：__________． 7．（2025·山东济南·一模）分解因式：__________. 8（2025·山东东营·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9.（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10.（2025·山东威海·一模）先化简，再求值：，其中． 11．（2025·山东东营·一模）（1）计算：． （2）化简求值：，其中． 12．（2025·山东东营·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x满足． 13．（2025·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 14（2025·山东临沂·一模）在求的值时，发现：，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则________． 15（2025·山东济宁·一模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则________． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $