专题1.1直线的相交七大题型（一课一讲）同步讲练2025-2026学年浙教版数学七年级下册

本讲义聚焦初中数学“直线的相交”核心知识点，系统梳理对顶角、邻补角的定义与性质，垂线的画法、性质及应用，通过七大题型构建从定义判断、性质计算到作图操作、实际应用、综合解答及压轴题的递进学习支架。 该资料以“经典例题+变式训练”分层设计，通过图形辨析培养几何直观（数学眼光），结合方程思想和实际情境问题发展推理能力与应用意识（数学思维与语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固基础、突破难点，提升知识应用能力。

专题1.1直线的相交七大题型（一课一讲） （内容:相交线、垂线及其应用） 【浙教版】 题型一：利用对顶角、领补角的定义判断图象 【经典例题1-1】下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【经典例题1-2】下列各图中，∠1和∠2都是邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型二：根据对顶角、邻补角的性质求角度 【经典例题2】如图，点O在直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】如图，直线与相交于点B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】如图，点在直线上，射线平分，若°，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中 【变式训练2-6】如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 题型三：画垂线（作图题） 【经典例题3】如图，平面上有三个点． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③画线段； ④延长线段到使得； ⑤过点作的垂线分别交于点． (2)通过观察或测量写出线段与线段的数量关系． 【变式训练3-1】下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知，平面内三个点，，不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点，使得； ③过点画直线，垂足为；④连接． (2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论． 【变式训练3-3】如图，平面上有四个点A、B、C、D，按照要求作图： (1)画出线段． (2)画出直线． (3)在直线上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由． 【变式训练3-4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 【变式训练3-5】根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 题型四：垂线段最短的应用 【经典例题4】如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式训练4-1】下列生活实例中，①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条；②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用；③测量运动员的跳远成绩；④小狗看到食物，会径直奔向食物．能用“两点之间线段最短”解释的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式训练4-2】如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式训练4-3】观察图形，点到直线的距离是线段 的长． 【变式训练4-4】如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 【变式训练4-5】如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 题型五：利用点到直线的距离求线段长度 【经典例题5】如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】如图，三角形中，，垂足为点P，则的长可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式训练5-2】如图，在△ABC中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【变式训练5-3】在△ABC中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是 ． 【变式训练5-4】如图，点在直线外的一点，点，在直线上，，于，若，则线段上到点的距离为整数的点有 个． 【变式训练5-5】如图，在三角形中，，，点A到边的距离为4．若M是边上的一个动点，则线段的长度的最小值是 ． 题型六：直线的相交综合（解答题） 【经典例题6】如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 【变式训练6-1】如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练6-2】如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练6-3】如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练6-4】如图，已知直线、相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，平分，求的度数． 【变式训练6-5】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 题型七：直线相交综合之角平分线问题（压轴题） 【经典例题7】如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【变式训练7-1】已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 【变式训练7-2】如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【变式训练7-3】直线相交于点于点，作射线，且在的内部． (1)当点在直线的同侧； ①如图1，若，求的度数； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【变式训练7-4】如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数； (2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数； (3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数． 【变式训练7-5】直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1直线的相交七大题型（一课一讲） （内容:相交线、垂线及其应用） 【浙教版】 题型一：利用对顶角、领补角的定义判断图象 【经典例题1-1】下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【经典例题1-2】下列各图中，∠1和∠2都是邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不是两条直线相交组成的角，故A不符合题意； B．不是两条直线相交组成的角，故B不符合题意． C．另一边没有互为反向延长线，不是邻补角，故C不符合题意； D．是邻补角，故D符合题意； 故选∶D． 【变式训练1-1】如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选C． 【变式训练1-2】下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由对顶角的定义可知，四个图形中，只有C选项中的图形中的与是对顶角， 故选：C． 【变式训练1-3】下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】 解：与互为邻补角的是  ， 故选C． 题型二：根据对顶角、邻补角的性质求角度 【经典例题2】如图，点O在直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵点O在直线上， ∴， 故选：C． 【变式训练2-1】如图，直线与相交于点B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练2-2】如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ， 平分， ， 故选：C． 【变式训练2-3】如图，点在直线上，射线平分，若°，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵平分， ∴， ∴ ． 故选：C． 【变式训练2-4】如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，平分， ， ． 故选：B． 【变式训练2-5】如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中 【答案】 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练2-6】如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 【答案】20 【详解】解：设， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：20． 题型三：画垂线（作图题） 【经典例题3】如图，平面上有三个点． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③画线段； ④延长线段到使得； ⑤过点作的垂线分别交于点． (2)通过观察或测量写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图，①直线即为所求； ②射线即为所求； ③线段即为所求； ④线段即为所求， ⑤垂线、即为所求， ； （2）解：测量得，， 故． 【变式训练3-1】下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据分析可得C的画法正确； 故选：C． 【变式训练3-2】已知，平面内三个点，，不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点，使得； ③过点画直线，垂足为；④连接． (2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论． 【答案】(1)见解析(2)见解析（答案不唯一） 【详解】（1）解：如图所示，线段，射线，直线，线段、，，即为所求 （2）解：观察图形发现：． 【变式训练3-3】如图，平面上有四个点A、B、C、D，按照要求作图： (1)画出线段． (2)画出直线． (3)在直线上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析，垂线段最短 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求， 理由是垂线段最短． 【变式训练3-4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 【答案】(1)见解析(2)  (3)   垂线段最短 【详解】（1） （2）线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：   （3），理由：垂线段最短． 故答案为：   垂线段最短 【变式训练3-5】根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求． 题型四：垂线段最短的应用 【经典例题4】如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短． 故选C． 【变式训练4-1】下列生活实例中，①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条；②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用；③测量运动员的跳远成绩；④小狗看到食物，会径直奔向食物．能用“两点之间线段最短”解释的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条，可用“两点确定一条直线”来解释； ②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用可用“两点之间线段最短”来解释； ③测量运动员的跳远成绩，可用“垂线段最短”来解释； ④小狗看到食物，会径直奔向食物，可用“两点之间，线段最短”来解释； 其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有②④． 故选：D． 【变式训练4-2】如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练4-3】观察图形，点到直线的距离是线段 的长． 【答案】/ 【详解】解：依题意，结合图形，得出线段是垂线段， ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 【变式训练4-4】如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 【答案】垂线段最短 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【变式训练4-5】如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 【答案】见解析 【详解】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． 题型五：利用点到直线的距离求线段长度 【经典例题5】如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，， ∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为， 故选：A． 【变式训练5-1】如图，三角形中，，垂足为点P，则的长可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，即：； ∴的长可能是6； 故选A． 【变式训练5-2】如图，在△ABC中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【答案】6 【详解】解：∵，且， 根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短， 所以，的最小值为的长， 所以，的最小值为6， 故答案为：6． 【变式训练5-3】在△ABC中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图∶ ∵ ∴， ∴， ∴， 当点D与点A重合时，取的最大值为4， ∴的取值范围为：． 故答案为：． 【变式训练5-4】如图，点在直线外的一点，点，在直线上，，于，若，则线段上到点的距离为整数的点有 个． 【答案】6 【详解】解：设点E在上， ∵，，， ∴， ∵为整数， ∴， ∴上有3个点到点的距离为整数， 同理可得：上有3个点到点的距离为整数， ∴线段上到点的距离为整数的点有6个， 故答案为：6． 【变式训练5-5】如图，在三角形中，，，点A到边的距离为4．若M是边上的一个动点，则线段的长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵垂线段最短， ∴当时，最短， ∵，，点A到边的距离为4， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六：直线的相交综合（解答题） 【经典例题6】如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)对顶角相等，；(2)． 【详解】（1）解：∵， ∴（对顶角相等）， 故答案为：对顶角相等，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练6-1】如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：由于，可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为． 【变式训练6-2】如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ， ． ， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ． 【变式训练6-3】如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【变式训练6-4】如图，已知直线、相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式训练6-5】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由对顶角相等，得， 由把分成两部分且，得， 由邻补角，得； （2）平分， ． 由邻补角，得， 即， 解得． ∴，， ∴． 题型七：直线相交综合之角平分线问题（压轴题） 【经典例题7】如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)或(2)或 【详解】（1）平分， ， ， ． 当在下方时， 平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时， 平分，， ， ， ， ，， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ． 当在的下方时，同理可得 ， ， ， ， ， ． 综上所述：或 【变式训练7-1】已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）， 平分， ， ， ， ， 平分． （2）平分，平分， ， ， ， ， ， 由（1）知 ， ∴． 【变式训练7-2】如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)①，理由见解析；② 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：①， 理由如下： 根据题意可得：， ， ， 平分， ， ， ； ②画出图如图所示：   ， 则，， ， 整理得：， ， ， ， ， ， ． 【变式训练7-3】直线相交于点于点，作射线，且在的内部． (1)当点在直线的同侧； ①如图1，若，求的度数； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②平分，理由见解析 (2)或 【详解】（1）解：①∵于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②平分，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分． （2）当点在直线的同侧时，如图， 记，则， ∵， ∴， ∴①， ∴②， 得，； 当点和点在直线的异侧时，如图， 记，则， ∵， ∴， ∴①， ∴②， 得，． 综上可知，或． 【变式训练7-4】如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数； (2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数； (3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数． 【答案】(1)70°(2)24°或120°(3)175°或170°或140° 【详解】（1）解：∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC＝70°； （2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE， ∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC， ∴∠COE＋∠COE＝40°， ∴∠COE＝24°； ②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE， ∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC， ∴∠COE﹣∠COE＝40°， ∴∠COE＝120°； 综上所述：∠COE的度数为24°或120°； （3）解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时， 作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH， 设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°， ∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°， ∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°， ∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°， ∴x°＝5°， ∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°； ②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°， 解得x°＝80°， ∵∠COB＝40°， ∵80°＞40°， ∴x°＝80°不符合题意舍去； ③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时， ∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°， 解得x°＝10°， ∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°； ④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°， 解得x°＝40°， ∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°， 综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°． 【变式训练7-5】直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①的度数为；②见解析； (2)或． 【详解】（1）解：①∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设，则， 当点E，F在直线的同侧时，如图： ， ∴，① ，② 令①×3+②×2可得：， 当点E，F在直线的异侧时，如图： ， ∴，① ，② 令②×2-①可得：， 综上所述：或． 学科网（北京）股份有限公司 $