第二十一章 四边形章节知识点复习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 《四边形》章节知识点复习题 【题型一 多边形内角和、外角和问题】 1.过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是__________边形，它的内角和是__________． 2.一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为________． 3.完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 4.将三个相同的六边形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示．正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则： （1）图1中螺母组成的图形的周长（图中深色部分总长度）为___________； （2）图2中通过题意，我们可得出，则___________． 【题型二 利用平行四边形的性质求解】 1.如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交于点，连接，若，，，则的长为______． 2.如图，在中，，平分，则的度数为____________． 3.如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 4.如图，在中，，，对角线，相交于点，为上一点，连接．若，的周长比四边形的周长大3，则的长为__________． 【题型三 判断能否构成平行四边形与特殊四边形】 1.如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2.要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 3.在菱形中，相交于点O．增加下列条件能判定四边形是正方形的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 4.已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【题型四 平行四边形的性质与判定综合】 1.如图，在∆ABC中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 2.已知，如图，的对角线，相交于点，过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的边上的高为________． 3.如图，在∆ABC中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 4.【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 【题型五 三角形的中位线求解】 1.如图，是∆ABC的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 2.如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 3.如图，在∆ABC中，平分，，垂足为E，F是的中点，连接，，，则线段的长为_________． 4.如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______． 【题型六 利用矩形的性质求角度或线段长】 1.如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 2.如图，在边长为1的正方形网格中，∆ABC的顶点都在格点上，D是的中点，连接，则的长为_________． 3.如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为___________． 4.在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则_____． 【题型七 矩形的性质与判定综合问题】 1.如图，在∆ABC中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 2.如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 3.如图，在∆ABC中，，是∆ABC的一条角平分线，为∆ABC的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，连接，若，，求四边形的面积． 4.问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是∆ABC外一点，若，，，求线段的最小值． 【题型八 利用菱形的性质求角度或线段长】 1.如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 2.如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 3.如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 4.如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为______． 【题型九 菱形的性质与判定综合问题】 1.如图，平行四边形，M，N分别是的中点，，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作于点E，交于点P．若，求的长． 2.如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 3.如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点，连接，若，求和的长． 4.在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． (1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； (3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【题型十 利用正方形的性质求角度或线段长】 1.如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 2.在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 3.四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是_________． 4.如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【题型十一 正方形的性质与判定综合问题】 1.如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 2.如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 3.在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，分别过点E，F作，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点E是的中点时，连接．若，求的长； (3)如图3，当是矩形时，连接，交于点O，连接．若，，求的长． 4.综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【题型十二 矩形、菱形、正方形中作图问题】 1.如图，在中，， (1)用尺规作图完成以下作图：作边的垂直平分线，分别与和交于点和点E．在射线上截取（点不与点重合），连接、、、（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：作图得到的四边形是菱形； (3)在以上作图中，若，，求的长． 2.如图，在中，平分交于点，连接． (1)过点作，垂足为（用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若． ①求证：四边形是矩形； ②若，求的长度． 3.如图，菱形的对角线、相交于点O． (1)尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图要求下，完成下边两问： ①求证：四边形为矩形； ②若菱形的边长为4，，求的长． 4.“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图1，四边形为正方形，点E为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，四边形为菱形，点E，F分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，中，，垂足为M，交边于点N．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）； (4)如图4，点E、F分别在平行四边形的边上，．连接，请过点A作的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 【题型十三 矩形、菱形、正方形中动点问题】 1.如图，在四边形中，，∠B=90∘，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为． (1)当取何值时，四边形为平行四边形？ (2)当取何值时，四边形为矩形？ 2.如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 3.【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 参考答案 【题型一 多边形内角和、外角和问题】 1. 九 解：设这个多边形的边数为，由题意得， 解得， 所以这个多边形是九边形． 内角和为． 故答案为：九，． 2. 解：设多边形的一个内角的度数是，则每个外角的度数为， 根据题意，得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍， 则， 解得， 则这个多边形的每个内角为． 故答案为：． 3. 解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 4. 解：（1）图1中螺母组成的图形的周长为：； （2）如图，延长交直线于点，延长交于点， ， ． ， ， ． 图形是正六边形， ， ． 【题型二 利用平行四边形的性质求解】 1.3 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵在∆ADE中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2. 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 3.6 解：∵的周长为， ∴， 由题意可得：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长． 4. 解：，， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 的周长比四边形的周长大3， ， ， ， ； 故答案为：． 【题型三 判断能否构成平行四边形与特殊四边形】 1.C 解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形； D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形． 2.A 解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 3.D 解：在菱形中，，∴条件①无法判断其为正方形； 在菱形中，当时，∴四边形是正方形；∴条件②能判断其为正方形； 在菱形中，，∴条件③无法判断其为正方形； 在菱形中，当时，∴四边形是正方形；∴条件④能判断其为正方形； 故选：D． 4.C 解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 【题型四 平行四边形的性质与判定综合】 1.（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 2.（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点，于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为， 故答案为：． 3.（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 4.解：（1）证明：在∆AOB和中， ， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， 与互相平分， 四边形是平行四边形． （3）由（2）知，四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ， 和等底同高， ， ． 【题型五 三角形的中位线求解】 1. 解：∵是的中位线，，， ∴，，． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 2.1 解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵，是的中点， ∴，， ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 3. 解：延长、交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点为的中点， 又∵是的中点， ∴． 故答案为：． 4. 解：如图，延长到，使，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴点、、三点在一条直线上时，有最大值， ∴的最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 【题型六 利用矩形的性质求角度或线段长】 1. ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∴，． ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 2. 解：根据网格特点，，，， ∴， ∴∆ABC是直角三角形，且， ∵D是的中点，且， ∴． 3. 解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 4. 解：取的中点G，连接， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型七 矩形的性质与判定综合问题】 1.（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，D为的中点， ∴，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． 又∵ ∴平行四边形是矩形． （2）解：不妨设，那么， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2.（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∵OE∥AB ， ∵OG∥EF ∴四边形是平行四边形， ， 四边形为矩形； （2）解：， ， 由（1）得：四边形为矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 3.（1）证明：，是角平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∆ABC是等边三角形， ∴， ∴，， ∴矩形的面积． 4.解：（）四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （）成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； （）如解图，过点作，过点作，与交于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是矩形外一点， ∴同（）理，， ∴， ∵，， ∴当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 【题型八 利用菱形的性质求角度或线段长】 1. 解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 2. 解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3. 解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 4. 解：∵四边形是菱形， ，， ∴，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， 连接，则， 当时，取最小值，此时的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型九 菱形的性质与判定综合问题】 1.（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，M是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且四边形是菱形， ∴, ∴为等边三角形， ∴ 由（1）可得，M，N分别是的中点，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 2.（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 3.（1）解：，， 四边形是平行四边形， ， ，即是直角三角形， 点是的中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：连接，交于点， 四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，则， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 由此可得，即， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， 由，得， ，，， 四边形是菱形，， 垂直平分， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， ； 综上，的长为，的长为． 4.（1）证明：∵，， ∴四边形是菱形，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，如图， 则垂直平分， ∴， 由（1）知四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵的周长，当F、B、M共线时取等号， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， 在中，， ∴的周长的最小值为； （3）解：∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，设， ∴，，则， 根据题意，当是等腰三角形时，分三种情况： 当点E在线段上且时，， ∴； 当点E在延长线上且时， ∴； 当时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则 ∴， 综上，满足条件的的值为或或． 【题型十 利用正方形的性质求角度或线段长】 1. 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 2. 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3. 解：过点作于点，如图所示， 则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积， ∴菱形与正方形的面积之比． 故答案为：． 4.或 解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【题型十一 正方形的性质与判定综合问题】 1.（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 2.（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ． ，， ． 由旋转，得．             在和中， ， ，         ． ， ． （2）解：在和中， ， ， ，．         在中，由勾股定理，得．     ， ． 在中，由勾股定理，得， ． （3）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形． ， ， ∴四边形是正方形． 3.（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ∵平分， ， ， ， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ， ∵点E是的中点， ． （3）解：如图3，过点O作于点N． ∵四边形是矩形， ∴∠ADC=∠BCD=90∘，， ， ∴菱形为正方形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 4.（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【题型十二 矩形、菱形、正方形中作图问题】 1.（1）解：如图即为所求． （2）证明：由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）解：∵， ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴，点为线段的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是中点， ∴是∆ABC的中位线， ∴， ∴． 2.（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由①得，四边形是矩形， ∴． 3.（1）解：作图如下： （2）①证明：由作法知：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ②解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：． 4.（1）解：如图，点F即为所求， （2）四边形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，点G即为所求， 【题型十三 矩形、菱形、正方形中动点问题】 1.（1）解：如图，， 当时，四边形为平行四边形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：如图，，， 当时，四边形为矩形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为矩形． 2.（1）解：∵菱形的边长为 ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为； （2）如图1，12秒后点走过的路程为， 则12秒后点到达点， 即点与点重合； 12秒后点走过的路程为，而， ∴点到点的距离为， 此时点到达的中点，即点为的中点 是等边三角形，而为中线， ， 为直角三角形， 在中， ； （3）为等边三角形， ， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， 点从点开始运动， ∴， 点为的中点， ∴， ①若，且点在上，如图1， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ②若，且点在上，如图2， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ③若，即， ， 点在的垂直平分线上， 此时点在点处， ， ， ， 综上所述，的值为2或6或． 3.解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又∵AE=AG,AF=AF， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ∴∠ABE=∠ADG=90∘,AB=AD， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ∴∠ABE=∠ADG=90∘,AB=AD， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 学科网（北京）股份有限公司 $