专项提升训练02：因数和倍数的认识解决问题（知识点梳理+题型分类训练共33题）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

专项提升训练02：因数和倍数的认识解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、概念与特征填空 1.在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说除数和商是被除数的________，被除数是除数和商的________。 2.一个数的因数的个数是________的，最小的因数是________，最大的因数是________。 3.一个数的倍数的个数是________的，最小的倍数是________，________最大的倍数。 4.一个数最大的因数等于它最小的倍数，都等于________。 5.1是所有非零自然数的________；一个数最大的因数是________，最小的倍数也是________。 二、找因数与倍数的方法填空 6.找一个数的因数，可以列________法算式，按从小到大顺序，一组一组地找。 7.找一个数的倍数，可以用这个数依次乘________（1、2、3……）。 8.如果一个数既是A的因数，又是B的倍数，那么这个数必须同时满足是A的________，又是B的________。 三、解决问题填空 9.解决“装箱”、“排队”、“分组”问题时，如果要求“正好分完”或“每组同样多”，通常是在找总数的________。 10.解决“至少再拿来几个”或“至少减少几个”能正好分完的问题，通常是用________减去余数，或者直接去掉余数。 11.判断账单是否算错时，可以利用________数和________数的运算性质（如：偶数×任意数=偶数，奇数+偶数=奇数）来快速判断。 参考答案 1.因数、倍数 2.有限、1、它本身 3.无限、它本身、没有 4.它本身 5.因数、它本身、它本身 6.乘 7.非零自然数 8.因数、倍数 9.因数 10.除数（或每份数） 11.奇、偶 题型分类训练 【题型1】因数和倍数的认识 1．根据6÷6＝1可知，( )既是6的因数，又是6的倍数。 【答案】6 【分析】根据因数和倍数的定义枚举出6的因数和倍数，再找出符合要求的数即可。 【详解】6的因数：1、2、3、6；6的倍数：6、12、18、24……； 所以，6既是6的因数，也是6的倍数。 2．72÷9＝8，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 【答案】8；9；72；72；8；9 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。据此解答。 【详解】根据分析可知： ，和是的因数，是和的倍数。 3．因为3×4＝12，所以12是3和4的( )，3和4都是12的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非零的自然数）中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数，据此解答。 【详解】分析可知，因为3×4＝12，所以12是3和4的倍数，3和4都是12的因数。 4．a是一个自然数（a＞0），它最大的因数是( )，最小的倍数是( )。 【答案】 a a 【分析】因数的定义：整数a除以整数b（b≠0）的商是整数且没有余数，b就是a的因数。一个自然数的因数中，最大的就是它本身。 倍数的定义：一个整数（0除外）能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。一个自然数的倍数中，最小的就是它本身。 a是一个自然数（a＞0），所以它最大的因数是a，最小的倍数是a。 【详解】假设a＝6，它的因数有1、2、3、6，最大因数是6；它的倍数有6、12、18…，最小倍数是6。 a是一个自然数（a＞0），所以它最大的因数是a，最小的倍数是a。 5．根据56÷7＝8，可知( )是8的倍数，也是( )的倍数；( )和( )是56的因数。 【答案】 56 7 7 8 【分析】根据因数和倍数的意义可知：如果数能被数b整除（b≠0），就叫做b的倍数，b就叫做的因数；据此解答即可。 【详解】根据56÷7＝8，可知56是8的倍数，也是7的倍数；7和8是56的因数。 6．如下图，7名学生在玩“逢7过”的游戏，按顺时针方向依次报数，说到“7”的倍数时，要说“过”，而不能说出这个数字是几。 （1）（    ）先说“过”。 （2）像这样一直报下去，其他学生有可能说“过”吗？为什么？ 【答案】（1）乐乐 （2）不可能。 【分析】（1）根据题意，说到“7”的倍数要说“过”，结合报数顺序，依次找到第一个报“7”的人 （2）根据参与报数的人数及“7”的倍数的特点，据此判断解答。 【详解】（1）根据报数顺序，第一个报出“7”的倍数的人是乐乐，所以乐乐先说“过”； （2）因为一共有7名学生，7÷7＝1，只有乐乐的位置对应的数是7的倍数，也就是只有乐乐能说“过”；所以其他学生不可能说“过”。 7．一个数的最大因数和最小倍数的和是90，这个数是多少？ 【答案】45 【分析】由“一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身”可知，一个数的最大因数和最小倍数的和是90，也就是说这个和是它本身的2倍，用和除以2即可求出这个数。 【详解】90÷2＝45 答：这个数是45。 8．有86个菠萝，如果6个装一箱，能正好装完吗？如果不能，至少再拿来几个菠萝就可以正好装完？ 【答案】不能正好装完；至少再拿来4个菠萝就可以正好装完 【分析】分析题目，先用菠萝的个数除以每箱装的个数6，如果没有余数，则能正好装完，如果有余数，则不能正好装完；如果不能正好装完，则用6减去余数即可得到至少再拿来几个菠萝可以正好装完。 【详解】86÷6＝14（箱）……2（个） 6－2＝4（个） 答：不能正好装完；至少再拿来4个菠萝就可以正好装完。 9．五（1）班学生在体育节进行队列表演，无论是3人一排、4人一排，还是6人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在30～40之间，五（1）班有多少人？ 【答案】36人 【分析】根据题意，五（1）班的人数同时是3、4、6的倍数，用列举法找出3、4、6的倍数，并且保证人数在30～40之间，据此解答。 【详解】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39… 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40… 6的倍数：6、12、18、24、30、36、42… 所以36同时是3、4、6的倍数，且在30～40之间。 答：五（1）班有36人。 【题型2】找一个数的因数及因数的特征 10．一个数既是36的因数，又是9的倍数，这个数可能是( )。 【答案】9、18、36 【分析】首先找出36的所有因数，然后从这些因数中筛选出是9的倍数的数即可。 【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；其中9、18、36是9的倍数。 则这个数可能是9、18、36。 11．小兔子今年种植的白萝卜大丰收，它上午收割了54个白萝卜后，准备将收割的萝卜装在一些篮子里，如果装成2篮，每篮( )个；如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，共有( )种不同的装法。 【答案】 27 7 【分析】求如果装成2篮，每篮几个，即把54个平均分成2份，用除法计算即可； 如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，求共有多少种不同的装法，需要找出54的所有因数，根据因数求出符合条件的装法。 【详解】54÷2＝27（个） 如果装成2篮，每篮27个。 54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9 每篮装1个，可装54篮；每篮装2个，可装27篮；每篮装3个，可装18篮；每篮装6个，可装9篮；每篮装9个，可装6篮；每篮装18个，可装3篮；每篮装27个，可装2篮；每篮装54个，可装1篮（不符合题意）。所以共有7种不同的装法。 12．一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是( )，它的因数有( )。 【答案】 35 1，5，7，35 【分析】一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身，所以既是35的因数，又是35的倍数的数是35。 在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此找出35的因数。 【详解】35＝1×35＝5×7 一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是35，它的因数有1、5、7、35。 13．《西游记》是我国的四大名著之一，主要讲述了唐僧师徒历经九九八十一难去西天取经的故事。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 【答案】 1，3，9，27，81 81 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 【详解】81＝1×81＝3×27＝9×9 81的因数有（1，3，9，27，81），81的最小倍数是（81）。 14．2024年4月广东部分地区出现洪水浸城，各地消防员紧急救援被困群众。平平一家为抗洪救灾的工作人员准备了苹果、牛奶和面包等干粮，其中苹果有80个，把这些苹果全部装到袋子里，每袋装得同样多，正好装完，一共有多少种装法？请写出你的装法。（每袋至少装2个，最多装30个） 【答案】7种；袋法见详解 【分析】将80个苹果装入袋子，每袋数量为80的因数，且介于2至30之间。需找出符合条件的因数个数。 【详解】80的因数有1，2，4，5，8，10，16，20，40，80； 每袋至少装2个，最多装30个；剩余有2，4，5，8，10，16，20； 每袋可以装2个：80÷2＝40（袋） 每袋可以装4个：80÷4＝20（袋） 每袋可以装5个：80÷5＝16（袋） 每袋可以装8个：80÷8＝10（袋） 每袋可以装10个：80÷10＝8（袋） 每袋可以装16个：80÷16＝5（袋） 每袋可以装20个：80÷20＝4（袋） 一共有7种装法。 答：每袋装得同样多，正好装完，一共有7种装法。 【题型3】根据因数的特征解决问题 15．一个自然数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝19，则c＋d＝( )。 【答案】9 【分析】一个自然数的最小因数是1，最大因数是它本身。已知这个自然数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，所以a＝1。又因为a＋f＝19，所以f为19－a＝19－1＝18，即这个自然数是18。18的因数有1、2、3、6、9、18，所以a＝1，b＝2，c＝3，d＝6，e＝9，f＝18。计算c＋d的值，已知c＝3，d＝6，把数据代入计算即可。 【详解】一个自然数的最小因数是1，最大因数是它本身。 a＝1 19－a ＝19－1 ＝18 18的因数有1、2、3、6、9、18，所以a＝1，b＝2，c＝3，d＝6，e＝9，f＝18。 3＋6＝9 所以c＋d＝9。 16．五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是( )人。 【答案】4 【分析】将36名同学排成每列人数相等的队列，那么每列的人数一定是36的因数，所以我们需要找出36的所有因数，据此解答。（答案不唯一） 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36 所以每列可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36人。 17．小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 【答案】28 【分析】由于小明只带了100元出去购物，并且在六家店里花的钱相同，因此，小明在每个商店内所花的钱不能超过16元。在小于等于16的自然数中，只有12可以分解成有6个因数的积，因此，小明在每个商店所花的钱都是12元，进而求得剩下的钱数。 【详解】（元）……4（元） 小明在每个商店内所花的钱不能超过16元，且这个数有6个不同的因数。 在小于16的数中，只有12有6个不同的因数。 ＝ ＝28（元） 最后他剩（28）元。 【点睛】先明确小明在每个商店内所花的钱的最高金额、以及找到12的因数，是解答题的关键。 18．军区准备派出侦察队前往前线侦察敌情，这个侦察队共有45人。上级要求侦察时要进行分组执行，每组人数必须一样，且不能一人单独行动。那么这个侦察队有几种分组方法？ 【答案】4种 【分析】已知侦察队共有45人，需分组且每组人数一样，不能一人单独行动，即每组人数需大于1且为45的因数。首先找出45的所有因数，45的因数有1、3、5、9、15、45。由于每组不能1人，排除因数1，剩下的因数为3、5、9、15、45。但分组时每组人数需合理，若每组45人则为1组，属于整体行动，通常分组应至少分2组，所以排除45（此时组数为1）。因此符合条件的每组人数为3、5、9、15，对应的组数分别为45÷3＝15组、45÷5＝9组、45÷9＝5组、45÷15＝3组，共4种分组方法。 【详解】45÷3＝15（组） 45÷5＝9（组） 45÷9＝5（组） 45÷15＝3（组） 答：有4种分组方法：每组3人，分15组；每组5人，分9组；每组9人，分5组；每组15人，分3组。 19．中秋节时，妈妈买了36个单独包装的月饼，她把这些月饼准备装进礼盒中送给朋友。要求每盒的数量相等，有几种不同的装法？ 【答案】9种 【分析】由题意知：将36个月饼装入礼盒，每盒数量相等且无剩余，则36个月饼一定能被盒数整除。所以求有几种不同的装法，也就是求36有几个不同的因数。据此解题即可。 【详解】36÷1＝36；36÷2＝18；36÷3＝12；36÷4＝9；36÷6＝6 所以36个月饼可以每盒装1个，共装36盒；可以每盒装36个，共装1盒； 可以每盒装2个，共装18盒；可以每盒装18个，共装2盒； 可以每盒装3个，共装12盒；可以每盒装12个，共装3盒； 可以每盒装4个，共装9盒；可以每盒装9个，共装4盒； 可以每盒装6个，共装6盒。共9种装法。 答：有9种不同的装法。 【题型4】根据倍数的特征解决问题 20．有六个水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。香蕉有( )千克。 【答案】17 【分析】先求出所有水果的总质量，因为苹果重量是梨的5倍，所以苹果和梨的总质量是6的倍数（梨的质量看作1份，苹果是5份，总共6份），用总质量除以6，根据余数判断香蕉的质量，最后再根据苹果的重量是梨的5倍进一判断即可。 【详解】1＋3＋12＋21＋17＋35＝89（千克） 89÷6＝14……5 分别看各箱质量除以6的余数，1÷6余1，3÷6余3，21÷6余3，12÷6余0，17÷6余5，35÷6余5。 17除以6的余数、35除以6的余数与总质量除以6的余数相同。 （89-17）÷6 ＝72÷6 ＝12（千克） 有一筐水果是12千克可以是梨，其余是苹果，符合苹果的重量是梨的5倍。 （89-35）÷6 ＝54÷6 ＝9（千克） 没有一筐或几筐水果的和是9千克，不符合苹果的重量是梨的5倍。 所以，香蕉有17千克。 21．10的因数有( )个。一个数的最小倍数是1，这个数是( )。 【答案】 4 1 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。即一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。 【详解】10的因数有1、2、5、10； 所以10的因数有4个，一个数的最小倍数是1，这个数就是1。 22．小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 【答案】 14 42 【分析】根据题意先找出42的因数，再从42的因数里面找出同时是2和7的倍数的数，小的数是小红的年龄，大的数是妈妈的年龄。 【详解】小红的年龄：需同时是2和7的倍数，即最小公倍数为14。 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。 其中只有14和42是14的倍数。排除不合理数据（如14岁与小红同龄），妈妈的年龄应为42岁。 因此，小红14岁，妈妈42岁。 23．一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 【答案】15 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；据此可知：这个数的最小因数是1，用16减去1求出这个数的最大因数，也就是这个数本身，一个数的最小倍数是它本身。 【详解】16－1＝15 所以这个数的最小倍数是15。 24．小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【详解】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 25．小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 【答案】3个月 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可得文具盒的钱数。再用24除以8即可得解。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48 在15到25之间的是24 （个） 答：3个月后他存的钱够买这个文具盒。 26．4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【分析】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【详解】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 27．饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 【答案】5千克装或3千克装；9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；如果刚好把菜籽油装完，那么菜籽油的总质量是油桶可以装菜籽油质量的倍数，需要油桶的数量＝菜籽油的总质量÷每个油桶可以装菜籽油的质量，据此解答。 【详解】45÷5＝9（个） 45÷3＝15（个） 由上可知，45是5和3的倍数，则用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要5千克装的油桶9个或3千克装的油桶15个。 答：用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶。 【点睛】本题主要考查因数、倍数的应用，掌握因数、倍数的意义是解答题目的关键。 【题型5】倍数和因数的综合应用 28．一个数既是49的因数，又是7的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 49 7 【分析】列乘法算式找出49的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是49的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是49的因数。 列乘法算式找出7的倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出7与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是7的倍数。据此找出最大的数和最小的数。 【详解】49＝1×49＝7×7 49的因数有1、7、49。 7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56… 所以这个数最大是49，最小是7。 【点睛】此题主要考查通过找一个数的因数和倍数的方法求解。 29．一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是( )，这个数的因数有( )个。 【答案】 18 6 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 列举出18的因数，再数出因数的个数即可。 【详解】18的因数：1、2、3、6、9、18；共有6个。 一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是18，这个数的因数有6个。 【点睛】本题考查因数和倍数的知识，掌握求一个数的因数的方法，明确一个数的最大因数和最小倍数是它本身。 30．实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 31．五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 【答案】6种 【分析】找到所有54的因数，即可求出要求每行种树的棵数相等，有几种不同的种法。 【详解】54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54，因为每行多于1棵少于54棵，所以排除1和54； 54＝2×27，可种2行，每行27棵；可种27行，每行2棵； 54＝3×18，可种3行，每行18棵；可种18行，每行3棵； 54＝6×9，可种6行，每行9棵；可种9行，每行6棵； 答：有6种不同的种法。 32．有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【详解】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 33．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 【答案】90人 【分析】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。 【详解】3200÷25＝128（人） （128×30－3660）÷（30－28） ＝（3840－3660）÷（30－28） ＝180÷2 ＝90（人） 答：星星带的团共有90人。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练02：因数和倍数的认识解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、概念与特征填空 1.在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说除数和商是被除数的________，被除数是除数和商的________。 2.一个数的因数的个数是________的，最小的因数是________，最大的因数是________。 3.一个数的倍数的个数是________的，最小的倍数是________，________最大的倍数。 4.一个数最大的因数等于它最小的倍数，都等于________。 5.1是所有非零自然数的________；一个数最大的因数是________，最小的倍数也是________。 二、找因数与倍数的方法填空 6.找一个数的因数，可以列________法算式，按从小到大顺序，一组一组地找。 7.找一个数的倍数，可以用这个数依次乘________（1、2、3……）。 8.如果一个数既是A的因数，又是B的倍数，那么这个数必须同时满足是A的________，又是B的________。 三、解决问题填空 9.解决“装箱”、“排队”、“分组”问题时，如果要求“正好分完”或“每组同样多”，通常是在找总数的________。 10.解决“至少再拿来几个”或“至少减少几个”能正好分完的问题，通常是用________减去余数，或者直接去掉余数。 11.判断账单是否算错时，可以利用________数和________数的运算性质（如：偶数×任意数=偶数，奇数+偶数=奇数）来快速判断。 题型分类训练 【题型1】因数和倍数的认识 1．根据6÷6＝1可知，( )既是6的因数，又是6的倍数。 2．72÷9＝8，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 3．因为3×4＝12，所以12是3和4的( )，3和4都是12的( )。 4．a是一个自然数（a＞0），它最大的因数是( )，最小的倍数是( )。 5．根据56÷7＝8，可知( )是8的倍数，也是( )的倍数；( )和( )是56的因数。 6．如下图，7名学生在玩“逢7过”的游戏，按顺时针方向依次报数，说到“7”的倍数时，要说“过”，而不能说出这个数字是几。 （1）（    ）先说“过”。 （2）像这样一直报下去，其他学生有可能说“过”吗？为什么？ 7．一个数的最大因数和最小倍数的和是90，这个数是多少？ 8．有86个菠萝，如果6个装一箱，能正好装完吗？如果不能，至少再拿来几个菠萝就可以正好装完？ 9．五（1）班学生在体育节进行队列表演，无论是3人一排、4人一排，还是6人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在30～40之间，五（1）班有多少人？ 【题型2】找一个数的因数及因数的特征 10．一个数既是36的因数，又是9的倍数，这个数可能是( )。 11．小兔子今年种植的白萝卜大丰收，它上午收割了54个白萝卜后，准备将收割的萝卜装在一些篮子里，如果装成2篮，每篮( )个；如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，共有( )种不同的装法。 12．一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是( )，它的因数有( )。 13．《西游记》是我国的四大名著之一，主要讲述了唐僧师徒历经九九八十一难去西天取经的故事。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 14．2024年4月广东部分地区出现洪水浸城，各地消防员紧急救援被困群众。平平一家为抗洪救灾的工作人员准备了苹果、牛奶和面包等干粮，其中苹果有80个，把这些苹果全部装到袋子里，每袋装得同样多，正好装完，一共有多少种装法？请写出你的装法。（每袋至少装2个，最多装30个） 【题型3】根据因数的特征解决问题 15．一个自然数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝19，则c＋d＝( )。 16．五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是( )人。 17．小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 18．军区准备派出侦察队前往前线侦察敌情，这个侦察队共有45人。上级要求侦察时要进行分组执行，每组人数必须一样，且不能一人单独行动。那么这个侦察队有几种分组方法？ 19．中秋节时，妈妈买了36个单独包装的月饼，她把这些月饼准备装进礼盒中送给朋友。要求每盒的数量相等，有几种不同的装法？ 【题型4】根据倍数的特征解决问题 20．有六个水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。香蕉有( )千克。 21．10的因数有( )个。一个数的最小倍数是1，这个数是( )。 22．小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 23．一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 24．小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 25．小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 26．4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 27．饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 【题型5】倍数和因数的综合应用 28．一个数既是49的因数，又是7的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 29．一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是( )，这个数的因数有( )个。 30．实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 31．五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 32．有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 33．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $