专项提升训练08：圆锥的体积解决问题（知识点梳理+题型分类训练共42题）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

专项提升训练08：圆锥的体积解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、圆锥体积公式基础 1.圆锥体积公式：圆锥的体积 = ________ × 底面积 × 高。字母公式：V = ________。 2.公式的变形： 已知体积和高求底面积：底面积 = 体积 × ________ ÷ 高。 已知体积和底面积求高：高 = 体积 × ________ ÷ 底面积。 二、圆柱与圆锥的倍数关系（等底等高） 3.体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的________倍；圆锥体积是圆柱体积的________。 4.差倍问题：等底等高的圆柱与圆锥，体积相差的部分是圆锥体积的________倍（即圆柱比圆锥多2倍）。 5.反向推理：如果一个圆柱和一个圆锥体积相等、底面积也相等，那么圆锥的高是圆柱高的________倍。 三、体积的等积变形（熔铸与切割） 6.熔铸问题：把圆锥形铁块熔铸成圆柱（或反之），形状改变但________不变。先求出圆锥体积，也就是圆柱的体积，再根据圆柱公式求底面积或高。 7.切割问题（增加表面积）： · 沿底面直径切开：表面积增加的部分是两个________形（底=圆锥底面直径，高=圆锥高）。增加的面积 = 直径 × 高 ÷ 2 × 2 = ________ × ________。 · 削成最大圆锥：把正方体或圆柱削成最大圆锥，圆锥的底面直径和高分别等于正方体的________或圆柱的________。 四、不规则物体与组合体 8.排水法（求体积）：不规则物体（如圆锥零件）完全浸没在水中，物体的体积 = 上升的水的体积 = 容器的________ × 水面上升的高度。 9.空余部分（倒置法）：饮料瓶正放和倒置，空余部分的体积不变。圆锥形物体的体积 = 圆柱形容器的底面积 × ________（倒置后空余部分的高度）。 10.组合体体积：陀螺、沙堆等由圆柱和圆锥组成的物体，总体积 = 圆柱体积 ________ 圆锥体积。 参考答案 一、圆锥体积公式基础 1. ； Sh 2.3；3 二、圆柱与圆锥的倍数关系（等底等高） 3.3； 4.2 5.3 三、体积的等积变形（熔铸与切割） 6.体积 7.三角；直径；高 8.棱长；高 四、不规则物体与组合体 9.底面积 10.高度 11.+（加） 题型分类训练 【题型1】圆柱与圆锥体积的关系 1．一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】 11.7 3.9 【分析】圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥的3倍，则圆柱的体积比与它等底等高的圆锥多2倍，即多7.8立方米，则圆锥的体积是立方米，圆柱的体积是立方米。 【详解】由分析可得： 一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是11.7，圆锥的体积是3.9。 2．一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是( )立方分米，与它等底等高圆锥的体积是( )立方分米。 【答案】 62.8 / 【分析】用圆柱的底面直径除以2求出圆柱的底面半径，根据圆柱的体积＝，代入数据求出圆柱的体积，与它等底等高圆锥的体积是圆柱的体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘解答。 【详解】4÷2＝2（分米） 3.14××5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） 62.8×＝（立方分米） 所以一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是62.8立方分米，与它等底等高圆锥的体积是立方分米。 3．一个圆锥的体积与和它等底等高的圆柱的体积相差，如果圆柱的底面直径是，圆锥的体积是( )，那么圆柱的高是( )。 【答案】 84.78 9 【分析】先根据等底等高的圆柱与圆锥体积关系：等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，用圆锥的体积与和它等底等高的圆柱的体积相差的除以相差的份数（3－1），求出圆锥体积，再用圆锥体积×3求出圆柱体积，最后利用圆柱体积公式求出圆柱的高。 【详解】169.56÷（3－1） ＝169.56÷2 ＝84.78（） 84.78×3÷3.14÷（6÷2）2 ＝254.34÷3.14÷32 ＝81÷9 ＝9（） 所以，圆锥的体积是84.78，那么圆柱的高是9。 4．一个高为6厘米的圆锥，体积是75.36立方厘米，与它体积相等，底面积也相等的圆柱，高是( )厘米。 【答案】2 【分析】圆柱的体积是与其等底等高圆锥体积的3倍。圆柱和圆锥的体积相等，底面积相等，则圆锥的高是圆柱高的3倍。据此解答。 【详解】6÷3＝2（厘米） 所以圆柱的高是2厘米。 5．一个圆柱形木料底面半径是2分米，高是90厘米，把它削成两个相对的，且高相等的圆锥（如图），底面积和原来的圆柱底面积相等，削去部分的体积是( )立方分米。 【答案】75.36 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，把一个底面半径是2分米，高是90厘米的圆柱形木料，削成两个相对的，且高相等的圆锥形物体，底面积和原来的圆柱底面积相等，则1个圆锥的体积是圆柱体积的，两个相对圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是圆柱形木料体积的（1－），根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】90厘米＝9分米 3.14×22×9×（1－） ＝113.04× ＝75.36（立方分米） 所以削去部分的体积是75.36立方分米。 6．某甜品店准备推出一款新口味的冰沙，店家设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的冰沙及其定价如下图所示。这样定价合理吗？请用数据说明理由。（注：忽略商场搞促销的策略） 【答案】不合理；理由见详解 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，这里两种冰沙等底等高，那么圆柱冰沙的体积是圆锥沙冰体积的3倍。已知圆柱冰沙价格为15元，因为圆柱冰沙体积是圆锥冰沙体积的3倍，所以将圆柱冰沙价格除以3，可得到等体积时，圆锥冰沙的合理价格。再比较求出的合理定价和实际定价，从而判断是否合理。 【详解】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 （元） 答：这样定价不合理，建议圆锥形沙冰定价为5元。 7．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到7厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 【答案】314立方厘米 【分析】已知放入铁块后水面上升，上升的水的形状为圆柱体。根据圆柱体积公式V＝πr2h，已知圆柱形容器底面半径是10厘米，水面从3厘米上升到7厘米，则上升的高度是7－3＝4厘米，可求出上升的水的体积；再根据等底等高圆柱和圆锥体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。把圆锥体积看作1份，那么圆柱体积就是3份，它们的体积和就是1＋3＝4份；上升的水的体积等于圆柱和圆锥的体积和，已求出体积和以及它们体积份数关系，用体积和除以总份数4，就可得到1份的体积，也就是圆锥的体积。 【详解】3.14×102×（7－3） ＝3.14×100×4 ＝314×4 ＝1256（立方厘米） 1256÷（3＋1） ＝1256÷4 ＝314（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。 【题型2】圆锥的体积（容积） 8．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】 60 20 【分析】已知圆柱和圆锥等底等高，即圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积之和是80dm³，那么把圆锥体积看作1份，圆柱体积看作3份，圆柱和圆锥体积的总份数为份，用圆柱和圆锥的体积之和除以它们的总份数，求出1份的体积，即是圆锥的体积；再用圆锥体积乘3，可得到圆柱的体积，据此解答。 【详解】圆锥体积：（立方分米） 圆柱体积：（立方分米） 因此，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80dm³。圆柱的体积是60dm³，圆锥的体积是20dm³ 9．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的( )倍，圆锥的体积是圆柱体积的( )。圆锥体积的计算公式是( )。 【答案】 3 【分析】根据圆柱的体积公式（是底面圆的面积，是圆柱的高），圆锥的体积公式（是底面圆的面积，是圆锥的高），等底等高的情况下圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积等于圆柱体积的，由此解答。 【详解】根据分析得： 一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的。圆锥体积的计算公式是。 10．一个圆锥形的沙堆，底面积是，高是2.5m。这堆沙的体积是( )。 【答案】4 【分析】根据圆锥的体积公式：底面积×高×，代入数值计算即可求出这堆沙堆的体积。 【详解】 （） 所以一个圆锥形的沙堆，底面积是，高是2.5m。这堆沙的体积是4。 11．一个正方体木块的棱长是6cm，把它削成一个最大的圆柱。圆柱的体积是( )cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 169.56 56.52 【分析】由题意知，削成的最大圆柱体的底面直径是6cm，高也是6cm，可利用圆柱的体积公式V＝Sh求得圆柱的体积；把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，则圆锥体与圆柱体是等底等高的，所以求圆锥的体积可直接用圆柱的体积乘。 【详解】圆柱底面半径：6÷2＝3（cm） 圆柱体积： 3.14×32 ＝3.14×9×6 ＝169.56（cm3） 圆锥体积：169.56×＝56.52（cm3） 所以，圆柱的体积是169.56cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是56.52cm3。 12．夏日炎炎，小明去一家冰激凌店买了一个如图所示的冰激凌。你知道吗？每立方厘米的冰激凌大约可以产生6千焦的热量。请你算算小明吃下这个冰激凌会摄入多少千焦的热量？ 【答案】847.8千焦 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，底面积公式，计算出冰激凌体积，冰激凌体积×每立方厘米产生的热量＝摄入的热量。 【详解】3.14××15÷3×6 ＝3.14××15÷3×6 ＝3.14×9×15÷3×6 ＝141.3×6 ＝847.8（千焦） 答：小明吃下这个冰激凌会摄入847.8千焦的热量。 13．给一个底面直径是16cm的圆柱形容器装满水，将一个底面周长是25.12cm、高6cm的圆锥形铁块完全没入水中。当从水中取出这个铁块后，容器内的水面下降了多少厘米？ 【答案】0.5厘米 【分析】由题意可知，铁块取出后容器里的水会下降，下降的水的体积就是圆锥形铁块的体积；根据圆锥的体积计算公式求出圆锥形铁块的体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积即可解答题目。 【详解】 （厘米） （立方厘米） （平方厘米） （厘米） 答：容器内的水面下降了0.5厘米。 【点睛】解答本题的关键是明白：下降的水的体积等于圆锥形铁块的体积。 14．为迎接中国共产党建党一百周年，某公园园艺处准备将一个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米）造型的沙雕重新塑成高是1.8米的圆锥形沙雕，那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 【答案】10.5平方米 【分析】先求圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的体积就是圆锥形沙雕的体积，圆锥的体积＝×底面积×高，代入数值，求出圆锥形沙雕的占地面积，据此解答。 【详解】3.5×1.8＝6.3（立方米） 6.3×3÷1.8 ＝18.9÷1.8 ＝10.5（平方米） 答：圆锥形沙雕的占地面积是10.5平方米。 【题型3】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 15．一个圆锥形沙堆，底面积是31.4m2，高是4.8m，用这堆沙在8m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺( )m。 【答案】314 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积；把铺的路看作一个长方体，圆锥形沙堆的体积等于长方体的体积；长方体的宽等于8m，高等于2cm；根据长方体体积＝长×宽×高，长＝体积÷（宽×高），据此求出铺路的长度，注意单位的换算。 【详解】2cm＝0.02m 31.4×4.8×÷（8×0.02） ＝31.4×4.8×÷0.16 ＝150.72×÷0.16 ＝50.24÷0.16 ＝314（m） 一个圆锥形沙堆，底面积是31.4m2，高是4.8m，用这堆沙在8m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺314m。 16．一个圆锥形沙堆的底面积是10m2，高是1.2m。把这堆沙均匀铺在一个底面积为20m2的长方体沙坑里，沙坑里的沙厚( )cm。 【答案】20 【分析】已知圆锥形沙堆的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出这堆沙的体积； 把这堆沙均匀铺在一个底面积为20m2的长方体沙坑里，根据长方体的高h＝V÷S，求出沙坑里沙的厚度。注意单位的换算：1m＝100cm。 【详解】×10×1.2＝4（m3） 4÷20＝0.2（m） 0.2m＝20cm 沙坑里的沙厚20cm。 17．美术课上，张明用棱长6厘米的正方体陶泥捏成一个与正方体等底等高的圆柱与圆锥组成的火箭模型，如上图，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】54 【分析】把正方体捏成任何形状，体积都是不变的，所以圆柱和圆锥的体积之和与正方体的体积相等；圆柱与圆锥“等底等高”，则圆柱与圆锥的体积之比为，由此可知圆锥体积是正方体的体积的，据此解答即可。 【详解】正方体的体积：6×6×6＝216（立方厘米） 因为圆柱体积＋圆锥体积＝正方体的体积，且等底等高的圆柱与圆锥的体积之比为， 所以圆锥的体积为： 216× ＝216× ＝54（立方厘米） 所以，圆锥的体积是54立方厘米。 18．把一个底面直径是6cm、高10cm的圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，若圆柱的高是5cm，圆柱的底面积是( )cm2。 【答案】18.84 【分析】根据题意，把一个圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，铁块的体积不变；先根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的底面积S＝V÷h，据此求解。 【详解】×3.14×（6÷2）2×10 ＝×3.14×32×10 ＝×3.14×9×10 ＝94.2（cm3） 94.2÷5＝18.84（cm2） 圆柱的底面积是18.84cm2。 19．一个圆锥形橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是多少？ 【答案】5平方厘米 【分析】橡皮泥的形状改变，但体积保持不变。圆锥的体积公式为×底面积×高，圆柱的体积公式为底面积×高。已知圆锥的底面积和高，可求出体积；再根据圆柱的高与体积相同，求出圆柱的底面积。 【详解】×15×6 ＝5×6 ＝30（立方厘米） 30÷6＝5（平方厘米） 答：这个圆柱的底面积是5平方厘米。 20．把一个底面积为15平方分米、高为6分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为5分米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？ 【答案】34.4厘米 【分析】“长方体体积＝底面积×高”，已知长方体铁块底面积是15平方分米，高是6分米，所以长方体体积是15×6＝90立方分米；把长方体铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状改变，体积不变，即圆锥体积为15×6＝90立方分米；圆锥的底面是圆，圆的面积公式“S＝πr2”，已知圆锥底面半径为5分米，则圆锥底面积为（3.14×52）平方分米；圆锥体积＝×底面积×高，变形可得“高＝圆锥体积×3÷底面积” ；最后题目问的是高约是多少厘米，因为1分米＝10厘米，所以还要进行单位换算，分米换算为厘米是大单位换算为小单位要乘进率10。 【详解】15×6×3÷（3.14×52）×10 ＝15×6×3÷（3.14×25）×10 ＝15×6×3÷78.5×10 ＝90×3÷78.5×10 ＝270÷78.5×10 ≈3.44×10 ＝34.4（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高约是34.4厘米。 21．小东家去年秋季收获的稻谷堆成了圆锥形，底面周长是9.42米，高是2米。如果把这堆稻谷装进底面半径为1米的圆柱形粮仓中，仓内稻谷高多少米？（π取3.14） 【答案】1.5米 【分析】稻谷堆成了圆锥形，已知圆锥底面周长为9.42米，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14，r为半径），可得底面半径：r＝C÷（2π），即9.42÷（2×3.14）＝9.42÷6.28＝1.5米。根据圆锥体积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为圆锥的高），高是2米，把数据代入计算出圆锥体积后再根据：h＝V÷π÷r2（r为圆柱半径，h为圆柱高，π取3.14），把圆柱底面半径1米和圆锥体积代入计算即可解答。 【详解】9.42÷（2×3.14） ＝9.42÷6.28 ＝1.5（米） ×3.14×1.52×2 ＝×3.14×2.25×2 ＝×14.13 ＝4.71（立方米） 4.71÷3.14÷12 ＝4.71÷3.14÷1 ＝1.5÷1 ＝1.5（米） 答：仓内稻谷高1.5米。 【题型4】立体图形的切拼（圆锥） 22．如图，有一个底面半径2厘米、高6厘米的圆柱体木块，若削成一个最大的圆锥体，削成的圆锥体积是( )立方厘米；若切成完全一样的三块，则表面积增加( )平方厘米。 【答案】 25.12 50.24 【分析】要削成一个最大的圆锥体，这个圆锥应该和圆柱等底等高，根据圆锥体积公式：（其中是底面半径，是高），已知圆柱底面半径是2厘米，高是6厘米，代入数值可得削成的圆锥体积； 把圆柱切成完全一样的三块，需要切2次，每次切会增加2个圆柱底面，所以一共增加（2×2）个圆柱底面的面积，根据圆的面积公式：，再乘（2×2）计算，即可求出增加的表面积。 【详解】根据分析： 削成的圆锥体积： （立方厘米） （2）一个圆柱底面的面积：（平方厘米） 增加的表面积：（平方厘米） 因此有一个底面半径2厘米、高6厘米的圆柱体木块，若削成一个最大的圆锥体，削成的圆锥体积是25.12立方厘米；若切成完全一样的三块，则表面积增加50.24平方厘米。 23．如图，一个圆锥的底面直径是4cm，沿底面直径切成两半后，表面积增加了，原来圆锥的体积是( )cm3。 【答案】12.56 【分析】观察可知，增加的是两个一样的三角形的面积之和，这两个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，用12除以2得到一个三角形的面积，再根据的逆运算，可得圆锥的高，最后根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】（cm） （cm3） 如图，一个圆锥的底面直径是4cm，沿底面直径切成两半后，表面积增加了，原来圆锥的体积是12.56cm3。 24．一个圆锥底面直径是6厘米，高是9厘米，将圆锥沿高切开后，表面积会增加( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 54 84.78 【分析】将圆锥沿高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥底面直径为底，圆锥高为高的三角形的面积。根据公式：三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，即可求出表面积会增加多少平方厘米。根据圆锥的公式：V＝Sh＝π（d÷2）2h，代入数据计算，即可求出这个圆锥的体积，据此解答。 【详解】6×9÷2×2＝54（平方厘米） ×3.14×（6÷2）2×9 ＝×3.14×32×9 ＝×3.14×9×9 ＝84.78（立方厘米） 即一个圆锥底面直径是6厘米，高是9厘米，将圆锥沿高切开后，表面积会增加54平方厘米，体积是84.78立方厘米。 25．如图是棱长为6厘米的正方体，它的体积是( )立方厘米。将它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 216 56.52 【分析】根据正方体体积公式V＝a3（a为正方体棱长），已知正方体棱长为6厘米，可直接代入计算。要在正方体中削出最大圆锥，圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高也等于正方体的棱长。再根据圆锥体积公式V＝πr2h（π取3.14，r是底面半径，h是高），r＝6÷2＝3厘米。带入数据计算即可。 【详解】正方体体积：63＝6×6×6＝216（立方厘米） 6÷2＝3（厘米） 圆锥体积：×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3×3.14×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方厘米） 所以如图是棱长为6厘米的正方体，它的体积是216立方厘米。将它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是56.52立方厘米。 26．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【分析】把一个圆锥沿着高切开，增加两个等腰三角形，等腰三角形的底＝圆锥底面半径，等腰三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝一个等腰三角形的面积，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出圆锥底面半径，再根据圆锥体积＝底面积×高×，列式解答即可。 【详解】24÷2＝12（平方厘米） 12×2÷6＝4（厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是25.12立方厘米。 27．将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【答案】130平方厘米 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【详解】26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 28．如图，圆柱形木料的上方挖空了一个圆锥形，求剩余木料的体积。 【答案】942立方厘米 【分析】剩余木料的体积＝圆柱体积－圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式解答。 【详解】3.14×62×（5＋5）－×3.14×62×5 ＝3.14×36×10－×3.14×36×5 ＝1130.4－188.4 ＝942（立方厘米） 答：剩余木料的体积是942立方厘米。 29．把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？ 【答案】1570立方厘米 【分析】由于圆锥体是由三角形旋转得到的，把一个圆锥沿底面直径和高切开，剖面是三角形，表面积比原来增加了300平方厘米，即是两个三角形的面积之和；由此可以求出剖面三角形的面积，这个三角形的底就是圆锥底面直径，根据已知三角形的面积和高求底的方法，即可求出圆锥的底面直径，再利用圆锥的体积公式解答。 【详解】一个三角形的面积：300÷2＝150（平方厘米） 圆锥的底面直径：150×2÷15＝20（厘米） ×3.14×（20÷2）2×15 ＝314×5 ＝1570（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是1570立方厘米。 【点睛】本题考查圆锥的体积，明确沿着底面直径垂直切开，表面积增加即增加了两个三角形的面积是解题的关键。 【题型5】组合体的体积（圆柱、圆锥） 30．一个三角形纸板，其中相邻两边的长为7cm和9cm，面积为18cm2。小明把三角形纸片的一边卡在木棍上，旋转木棍，可得一个立体图形（如图），这个立体图形的体积是( )cm3。 【答案】150.72 【分析】 根据三角形面积＝底×高÷2，高＝面积÷底×2，代入数据，求出三角形底边是9cm对应的高；如图：；三角形旋转，得到两个圆锥，两个圆锥的底面半径等于三角形的高，两个圆锥的高的和等于三角形ABC的边AC的长；根据圆锥的体积＝底面积×高×，两个圆锥的体积＝底面积×两个圆锥的和×，据此求出这个立体图形的体积。 【详解】18×2÷9 ＝36÷9 ＝4（cm） 3.14×42×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（cm3） 这个立体图形的体积是150.72cm3。 31．下面是直角梯形ABCD，如果以CD边所在的直线为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是( )立方厘米。（单位：厘米） 【答案】150.72 【分析】分析题目，得到的立体图形的体积等于一个底面半径是3厘米高是6厘米的圆柱的体积减去一个底面半径是3厘米高是（6－4）厘米的圆锥的体积，圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，据此代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×32×6－3.14×32×（6－4）× ＝3.14×9×6－3.14×9×2× ＝28.26×6－28.26×2× ＝169.56－56.52× ＝169.56－18.84 ＝150.72（立方厘米） 这个立体图形的体积是150.72立方厘米。 32．整流罩是运载火箭的重要组成部分，位于运载火箭顶部，通常是由近似的圆柱和圆锥组成，起到有效保护的作用。如图是某型号运载火箭整流罩的示意图，这个整流罩的容积约是( )m3。（得数保留整数，整流罩的厚度忽略不计）。 【答案】113 【分析】观察可知，整流罩的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的容积和，最后结果采用“四舍五入法”保留整数即可。 【详解】×3.14×22×3＋3.14×22×8 ＝×3.14×4×3＋3.14×4×8 ＝12.56＋100.48 ＝113.04（m3） ≈113（m3） 这个整流罩的容积约是113m3。 33．如图所示，陀螺的上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱高的75%时，陀螺才能旋转得又稳又快。小安照着这个标准做了一个陀螺，其中圆柱部分的体积是169.56立方厘米，求这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】211.95立方厘米 【分析】由图可知，陀螺的圆柱部分和圆锥部分底面相等，设圆柱部分和圆锥部分的底面积都是S平方厘米，圆柱部分的高是h厘米，则圆锥的高是75%h，根据圆柱的体积＝Sh＝169.56立方厘米，圆锥的体积＝×底面积×高，可得：圆锥的体积＝S×75%h＝×75%Sh，再把Sh用169.56代替即可求出圆锥的体积，再加上圆柱的体积即可解答。 【详解】设圆柱部分和圆锥部分的底面积都是S平方厘米，圆柱部分的高是h厘米。 圆柱的体积Sh＝169.56（立方厘米） 圆锥的体积＝S×75%h＝×75%Sh＝×Sh＝×169.56＝42.39（立方厘米） 169.56＋42.39＝211.95（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是211.95立方厘米。 【点睛】掌握圆锥和圆柱的体积公式，是解答本题的关键。 34．打陀螺是我国民间较早的娱乐活动之一，已经被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录。小刚有一个底面直径约是6厘米的木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是多少？ 【答案】197.82立方厘米 【分析】观察图形可知，陀螺的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】3.14×（6÷2）2×6＋×3.14×（6÷2）2×3 ＝3.14×32×6＋×3.14×32×3 ＝3.14×9×6＋×3.14×9×3 ＝169.56＋28.26 ＝197.82（立方厘米） 答：这个陀螺的体积大约是197.82立方厘米。 35．如图，四边形ABCD是直角梯形。以AB边所在的直线为轴，旋转一周得到一个立体图形，求这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米） 【答案】113.04立方厘米 【分析】由题意可知，旋转后得到的立体图形的上部是圆锥，圆锥的底面半径是3厘米，高是厘米，下部是圆柱，圆柱的底面半径是3厘米，高是3厘米，根据圆锥的体积公式，圆柱的体积公式，代入数据分别计算圆锥与圆柱的体积再相加即可。 【详解】 （立方厘米） 答：这个立体图形的体积是113.04立方厘米。 【题型6】不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 36．两个大小相同的量杯中，都盛有450mL水。将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱零件的体积是( )cm3，圆锥零件的体积是( )cm3。 【答案】 150 50 【分析】水面上升的体积就是放入水中零件的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍，通过甲量杯求出圆柱形零件的体积，再用圆柱形零件的体积除以3，就是圆锥形零件的体积。 【详解】600－450＝150（mL） 150mL＝150cm3 150÷3＝50（cm3） 圆柱形零件的体积是150cm3，圆锥形零件的体积是50cm3。 37．有一种饮料瓶，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积是480毫升。现在瓶中装有一些饮料，瓶子正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为4厘米，瓶内现有( )毫升饮料。 【答案】400 【分析】由题意可知，图中两阴影部分的体积相等，则瓶子的容积可看作与瓶子底面积相等，高为20＋4＝24（厘米）的圆柱体积的容积，根据的逆运算，用480除以24可得瓶子的底面积，再乘20即可得解。计算时把480毫升转化为480立方厘米。 【详解】480毫升＝480立方厘米 （毫升） 有一种饮料瓶，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积是480毫升。现在瓶中装有一些饮料，瓶子正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为4厘米，瓶内现有400毫升饮料。 38．量杯中有水430毫升，放入3个油桃后，水面上升到970毫升，平均每个油桃的体积是( )立方厘米。 【答案】180 【分析】量杯中上升的水的体积就是3个油桃的体积，用970减去430求出上升的水的体积，再除以3求出平均每个油桃的体积，最后再把毫升转化为立方厘米即可。 【详解】（970－430）÷3 ＝540÷3 ＝180（毫升） 180毫升＝180立方厘米 所以平均每个油桃的体积是180立方厘米。 39．一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 18.84平方厘米 【分析】已知圆柱体玻璃器皿的底面半径是6厘米，当把圆锥体铅锤浸没在水中，水面下降了0.5厘米，水面下降部分水的体积等于圆锥的体积，根据圆柱体积公式即可计算出圆锥体铅锤的体积； 已知圆锥体铅锤的高为9厘米，根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥体铅锤的体积乘3除以高可得到圆锥体铅锤的底面积。据此解答。 【详解】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥体铅锤的底面积是18.84平方厘米。 40．一个圆锥形铅锤底面半径为3厘米，高为5厘米，把它放入一个半径为5厘米的装有水的圆柱形容器中，铅锤全部浸没在水中（水未溢出）。圆柱形容器的水面上升了多少厘米？ 【答案】0.6厘米 【分析】先根据“”求出铅锤的体积，上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，由“”可知“”，水面上升的高度＝上升部分水的体积÷容器的底面积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0.6（厘米） 答：圆柱形容器的水面上升了0.6厘米。 41．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器内装有水，水里面完全浸没了一块底面积为62.8平方厘米的圆锥形铁块，取出铁块后，水面下降了2厘米。这块圆锥形铁块高多少厘米？ 【答案】30厘米 【分析】铁块原来是完全浸没的状态，取出铁块后，水面下降了2厘米，那么下降的2厘米深的水的体积就是铁块的体积。根据圆柱体积公式V＝πr2h，代入r＝10，h＝2求出下降部分水的体积也就是圆锥形铁块的体积。圆锥体积公式V＝Sh，变形得到h＝3V÷S，代入S＝62.8计算出铁块的高，据此解答。 【详解】3×（3.14×102×2）÷62.8 ＝3×（3.14×100×2）÷62.8 ＝3×628÷62.8 ＝30（厘米） 答：这块圆锥形铁块高30厘米。 42．如图，在一个底面面积是78.5平方厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径4厘米的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了4厘米（没有溢出），求圆锥形物体的体积和高。 【答案】314立方厘米；18.75厘米 【分析】已知圆柱形容器的底面积是78.5平方厘米，当圆锥形物体完全浸没在圆柱形容器的水中时，水面上升了4厘米，此时水面上升的体积就是圆锥形物体的体积，根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出上升的水的体积，即该圆锥形物体的体积。 已知圆锥形物体的底面半径是4厘米，根据圆的面积公式计算出该圆锥形物体的底面积，然后根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥的体积乘3再除以圆锥的底面积即可计算出该圆锥形物体的高。 【详解】78.5×4＝314（立方厘米） 314×3÷（3.14×42） ＝314×3÷（3.14×16） ＝314×3÷50.24 ＝942÷50.24 ＝18.75（厘米） 答：圆锥形物体的体积是314立方厘米，高是18.75厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练08：圆锥的体积解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、圆锥体积公式基础 1.圆锥体积公式：圆锥的体积 = ________ × 底面积 × 高。字母公式：V = ________。 2.公式的变形： 已知体积和高求底面积：底面积 = 体积 × ________ ÷ 高。 已知体积和底面积求高：高 = 体积 × ________ ÷ 底面积。 二、圆柱与圆锥的倍数关系（等底等高） 3.体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的________倍；圆锥体积是圆柱体积的________。 4.差倍问题：等底等高的圆柱与圆锥，体积相差的部分是圆锥体积的________倍（即圆柱比圆锥多2倍）。 5.反向推理：如果一个圆柱和一个圆锥体积相等、底面积也相等，那么圆锥的高是圆柱高的________倍。 三、体积的等积变形（熔铸与切割） 6.熔铸问题：把圆锥形铁块熔铸成圆柱（或反之），形状改变但________不变。先求出圆锥体积，也就是圆柱的体积，再根据圆柱公式求底面积或高。 7.切割问题（增加表面积）： · 沿底面直径切开：表面积增加的部分是两个________形（底=圆锥底面直径，高=圆锥高）。增加的面积 = 直径 × 高 ÷ 2 × 2 = ________ × ________。 · 削成最大圆锥：把正方体或圆柱削成最大圆锥，圆锥的底面直径和高分别等于正方体的________或圆柱的________。 四、不规则物体与组合体 8.排水法（求体积）：不规则物体（如圆锥零件）完全浸没在水中，物体的体积 = 上升的水的体积 = 容器的________ × 水面上升的高度。 9.空余部分（倒置法）：饮料瓶正放和倒置，空余部分的体积不变。圆锥形物体的体积 = 圆柱形容器的底面积 × ________（倒置后空余部分的高度）。 10.组合体体积：陀螺、沙堆等由圆柱和圆锥组成的物体，总体积 = 圆柱体积 ________ 圆锥体积。 题型分类训练 【题型1】圆柱与圆锥体积的关系 1．一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 2．一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是( )立方分米，与它等底等高圆锥的体积是( )立方分米。 3．一个圆锥的体积与和它等底等高的圆柱的体积相差，如果圆柱的底面直径是，圆锥的体积是( )，那么圆柱的高是( )。 4．一个高为6厘米的圆锥，体积是75.36立方厘米，与它体积相等，底面积也相等的圆柱，高是( )厘米。 5．一个圆柱形木料底面半径是2分米，高是90厘米，把它削成两个相对的，且高相等的圆锥（如图），底面积和原来的圆柱底面积相等，削去部分的体积是( )立方分米。 6．某甜品店准备推出一款新口味的冰沙，店家设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的冰沙及其定价如下图所示。这样定价合理吗？请用数据说明理由。（注：忽略商场搞促销的策略） 7．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到7厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 【题型2】圆锥的体积（容积） 8．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 9．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的( )倍，圆锥的体积是圆柱体积的( )。圆锥体积的计算公式是( )。 10．一个圆锥形的沙堆，底面积是，高是2.5m。这堆沙的体积是( )。 11．一个正方体木块的棱长是6cm，把它削成一个最大的圆柱。圆柱的体积是( )cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。 12．夏日炎炎，小明去一家冰激凌店买了一个如图所示的冰激凌。你知道吗？每立方厘米的冰激凌大约可以产生6千焦的热量。请你算算小明吃下这个冰激凌会摄入多少千焦的热量？ 13．给一个底面直径是16cm的圆柱形容器装满水，将一个底面周长是25.12cm、高6cm的圆锥形铁块完全没入水中。当从水中取出这个铁块后，容器内的水面下降了多少厘米？ 14．为迎接中国共产党建党一百周年，某公园园艺处准备将一个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米）造型的沙雕重新塑成高是1.8米的圆锥形沙雕，那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 【题型3】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 15．一个圆锥形沙堆，底面积是31.4m2，高是4.8m，用这堆沙在8m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺( )m。 16．一个圆锥形沙堆的底面积是10m2，高是1.2m。把这堆沙均匀铺在一个底面积为20m2的长方体沙坑里，沙坑里的沙厚( )cm。 17．美术课上，张明用棱长6厘米的正方体陶泥捏成一个与正方体等底等高的圆柱与圆锥组成的火箭模型，如上图，圆锥的体积是( )立方厘米。 18．把一个底面直径是6cm、高10cm的圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，若圆柱的高是5cm，圆柱的底面积是( )cm2。 19．一个圆锥形橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是多少？ 20．把一个底面积为15平方分米、高为6分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为5分米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？ 21．小东家去年秋季收获的稻谷堆成了圆锥形，底面周长是9.42米，高是2米。如果把这堆稻谷装进底面半径为1米的圆柱形粮仓中，仓内稻谷高多少米？（π取3.14） 【题型4】立体图形的切拼（圆锥） 22．如图，有一个底面半径2厘米、高6厘米的圆柱体木块，若削成一个最大的圆锥体，削成的圆锥体积是( )立方厘米；若切成完全一样的三块，则表面积增加( )平方厘米。 23．如图，一个圆锥的底面直径是4cm，沿底面直径切成两半后，表面积增加了，原来圆锥的体积是( )cm3。 24．一个圆锥底面直径是6厘米，高是9厘米，将圆锥沿高切开后，表面积会增加( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 25．如图是棱长为6厘米的正方体，它的体积是( )立方厘米。将它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 26．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 27．将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 28．如图，圆柱形木料的上方挖空了一个圆锥形，求剩余木料的体积。 29．把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？ 【题型 5】组合体的体积（圆柱、圆锥） 30．一个三角形纸板，其中相邻两边的长为7cm和9cm，面积为18cm2。小明把三角形纸片的一边卡在木棍上，旋转木棍，可得一个立体图形（如图），这个立体图形的体积是( )cm3。 31．下面是直角梯形ABCD，如果以CD边所在的直线为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是( )立方厘米。（单位：厘米） 32．整流罩是运载火箭的重要组成部分，位于运载火箭顶部，通常是由近似的圆柱和圆锥组成，起到有效保护的作用。如图是某型号运载火箭整流罩的示意图，这个整流罩的容积约是( )m3。（得数保留整数，整流罩的厚度忽略不计）。 33．如图所示，陀螺的上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱高的75%时，陀螺才能旋转得又稳又快。小安照着这个标准做了一个陀螺，其中圆柱部分的体积是169.56立方厘米，求这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 34．打陀螺是我国民间较早的娱乐活动之一，已经被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录。小刚有一个底面直径约是6厘米的木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是多少？ 35．如图，四边形ABCD是直角梯形。以AB边所在的直线为轴，旋转一周得到一个立体图形，求这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米） 【题型6】不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 36．两个大小相同的量杯中，都盛有450mL水。将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱零件的体积是( )cm3，圆锥零件的体积是( )cm3。 37．有一种饮料瓶，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积是480毫升。现在瓶中装有一些饮料，瓶子正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为4厘米，瓶内现有( )毫升饮料。 38．量杯中有水430毫升，放入3个油桃后，水面上升到970毫升，平均每个油桃的体积是( )立方厘米。 39．一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 40．一个圆锥形铅锤底面半径为3厘米，高为5厘米，把它放入一个半径为5厘米的装有水的圆柱形容器中，铅锤全部浸没在水中（水未溢出）。圆柱形容器的水面上升了多少厘米？ 41．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器内装有水，水里面完全浸没了一块底面积为62.8平方厘米的圆锥形铁块，取出铁块后，水面下降了2厘米。这块圆锥形铁块高多少厘米？ 42．如图，在一个底面面积是78.5平方厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径4厘米的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了4厘米（没有溢出），求圆锥形物体的体积和高。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $