第八章立体几何初步：8.5-8.6空间直线、平面的平行与垂直核心基础知识清单（含pdf可直接打印）高一数学人教A版必修第二册

8.5空间直线、平面的平行+8.6空间直线、平面的垂直知识清单 8.5空间直线、平面的平行 基本定理 1.基本事实4（平行传递性） ·平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号：aIb,bIc→aIc 2.等角定理 空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。 B -A 0 B' 0 0 3.线面平行 。 判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则线面平行。 符号：l￠，aCa,1Ila→lI‖a 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号：aIa,acB,anB=b→alb 4.面面平行 。 判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行。 符号：aca,bca,anb=P,aIB,bIB→alB 性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，交线平行。 符号：aIB,any=a,Bny=b→aIb 典型例题 例1空间两个角的两边分别平行，一个角为60°，则另一个角为() A.60° B.1209 C.30° D.60°或120° 例2能保证直线aI平面a的条件是（) A.bca,allb B.aa,bca,allb C.allb,blla D.aIa内无数条直线 例3在如图所示的正四棱柱ABCD-ABCD中，E、F分别是棱BB、AD的中点，直线BF与平面ADE的 位置关系是() A.平行 B. 相交但不垂直 C.垂直 D.异面 二级结论与解题技巧 1.证线面平行：找中位线/平行四边形。 2. 证面面平行：找两组相交平行线。 3. 面面平行→一个平面内任意直线都平行于另一平面。 4. 线面平行→线平行于平面内无数条直线（不是所有）。 5.平行线分线段成比例：三个平行平面截直线，对应线段成比例。 易错点拨 1.判定线面平行漏“直线在平面外”。 2.判定面面平行用两条平行直线（必须相交）。 3.“线平行于面内无数条直线”≠线面平行。 4.等角定理只看两边平行，不看方向，可能互补。 8.6空间直线、平面的垂直 基本概念与定理 1.异面直线所成的角 。 定义：己知两条异面直线a、b,经过空间任意一点0，分别作直线a'Ⅱa、b'Ib,则相交直线a'与b 所成的锐角（或直角），叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。 ·本质：通过平移法”将异面直线转化为相交直线，利用相交直线的夹角定义异面直线的夹角（平移不 改变角的大小)。 。异面直线垂直 所成角为90°，记作aLb(注意：垂直不一定相交)。 角的范围：0°<0≤90°（因为夹角取锐角或直角，故大于0°、不超过90°）。 。 求异面直线所成角的步骤（万能四步法） ①选点：在空间中任选一个方便计算的点（通常选线段中点、端点或公共点）： ②平移：过该点分别作两条异面直线的平行线，得到相交直线： ③找角：相交直线所成的锐角（或直角）即为异面直线所成的角： ④计算：在含该角的三角形中（通常是直角三角形或等腰三角形），利用勾股定理、三角函数或余弦 定理求解。 2.线面垂直 。 定义：直线垂直于平面内任意一条直线。 判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直。 符号：lLm,lLn,mnn=P,mc,nca→lL 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号：aLa,b⊥a→a‖b 3.直线与平面所成的角 。核心定义 斜线：一条直线和平面相交但不垂直，这条直线叫平面的斜线。 斜足：斜线与平面的交点。 射影：过斜线上斜足外一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线叫斜线在平面上的射影。 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。 。 规定（统一范围） 直线⊥平面→线面角=90 直线∥平面或直线c平面→线面角=0° 斜线与平面→线面角∈(0°，90) 。 线面角范围 0°≤6≤90° 。 求线面角的步骤（万能三步法） ①找垂直：找直线上一点向平面作垂线，得垂足。 ②连射影：连接斜足与垂足，得到射影。 ③算角度：斜线与射影的锐角即为线面角，在直角三角形中求解。 4.面面垂直 ·定义：二面角为直二面角。 。 判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则面面垂直。 符号：lLax,LCB→aLB 。 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。 符号：LB,xnB=l,aca,a⊥l→aLβ 5.二面角（面面角) ·核心定义 半平面：平面内一条直线把平面分成两部分，每一部分叫半平面。 二面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。 棱：这条公共直线叫二面角的棱。 面：两个半平面叫二面角的面。 二面角的平面角（最关键） 定义：在二面角的棱上任取一点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二 面角的平面角。 要求：①顶点在棱上②两边分别在两个面内③两边都垂直于棱 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角（此时面面垂直）。 二面角范围 0°≤0≤180° 6.三类角对比 角的类型 定义关键词 范围 异面直线所成角 平移后相交成锐角直角 0°<6≤90 直线与平面所成角 斜线与射影成锐角 0°≤日≤90° 二面角 垂直于棱的平面角 0°≤0≤1809 典型例题 例4若直线lL平面au,直线m1平面，则() A.ILm B.Illm C.l,m相交 D.不确定 例5下列能推出aLβ的是() A.a lly,B lly B.a⊥a,alB C.acx,alβ D.aca,bcB,a⊥b 例6己知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是() A.PB⊥BC B.PD⊥CD C.PD⊥BD D.PA⊥BD 二级结论与解题技巧 1. 证线面垂直：证线垂直于面内两条相交直线。 2. 证面面垂直：在一个面内找一条线垂直于另一面。 3.面面垂直→交线的垂线垂直于另一平面。 4. 求线面角：找垂线→射影→夹角。 5.求二面角：找棱的垂线→平面角。 易错点拨 1.线面垂直判定必须是两条相交直线。 2. 面面垂直性质必须是垂直于交线的直线。 3.异面直线垂直≠相交垂直。 4.线面角是直线与射影的夹角，不是与斜线夹角。 5.二面角平面角必须垂直于棱。 重难题型突破 题型1：线面平行的证明（证线线平行） 例7如图，己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD,M是AD的中点， N是PC的中点求证：MW∥平面PAB. D B 题型2：面面垂直的证明（线面垂直法） 例8如图，在三棱柱ABC-ABC中，AA⊥平面ABC,AB=2AC,∠ABC=30°.求证：平面ACB⊥平 面CCBB; 题型3：求线面角（高频） 例9已知三棱锥A-BCD中，AB=CD,且直线AB与CD成6O°角，点M,N分别是BC,AD的中点，求 直线AB和MN所成的角. 题型4：求线面角（高频） 例10如图.已知正方体ABCD-AB,CD D C A D (I)求DA与底面ABCD所成的角： (2)设正方体ABCD-AB,CD的棱长为a,求DB与底面ABCD所成的角的余弦值. 题型5：求二面角（高频） 例1如图正三楼柱AC-A4G的底面边长为3，侧楼A4=5,点D是CB延长线上一点，且 BD=BC.求二面角B-AD-B的大小. A 8.5 空间直线、平面的平行 + 8.6 空间直线、平面的垂直 知识清单 8.5 空间直线、平面的平行 基本定理 1. 基本事实4（平行传递性） • 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号： 2. 等角定理 空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。 3. 线面平行 • 判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则线面平行。 符号：l • 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号： 4. 面面平行 • 判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行。 符号： • 性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，交线平行。 符号： 典型例题 例1 空间两个角的两边分别平行，一个角为60°，则另一个角为（） A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° 【答案】D 【解析】由等角定理，两角相等或互补，故为60°或120°。 例2 能保证直线平面的条件是（） A. B. C. D. 内无数条直线 【答案】B 【解析】线面平行判定定理必须满足：线在面外、线在面内、线线平行。 例3在如图所示的正四棱柱中，分别是棱的中点，直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．异面 【答案】A 【详解】取的中点为，连，则，∵ 则，是平行四边形，所以，平面，平面 ∴平面.故选：A． 二级结论与解题技巧 1. 证线面平行：找中位线/平行四边形。 2. 证面面平行：找两组相交平行线。 3. 面面平行⇒一个平面内任意直线都平行于另一平面。 4. 线面平行⇒线平行于平面内无数条直线（不是所有）。 5. 平行线分线段成比例：三个平行平面截直线，对应线段成比例。 易错点拨 1. 判定线面平行漏“直线在平面外”。 2. 判定面面平行用两条平行直线（必须相交）。 3. “线平行于面内无数条直线”≠线面平行。 4. 等角定理只看两边平行，不看方向，可能互补。 8.6 空间直线、平面的垂直 基本概念与定理 1. 异面直线所成的角 • 定义：已知两条异面直线、，经过空间任意一点，分别作直线、，则相交直线与所成的锐角（或直角），叫做异面直线与所成的角（或夹角）。 • 本质：通过“平移法”将异面直线转化为相交直线，利用相交直线的夹角定义异面直线的夹角（平移不改变角的大小）。 • 异面直线垂直 所成角为90°，记作（注意：垂直不一定相交）。 • 角的范围：（因为夹角取锐角或直角，故大于0°、不超过90°）。 • 求异面直线所成角的步骤（万能四步法） ① 选点：在空间中任选一个方便计算的点（通常选线段中点、端点或公共点）； ② 平移：过该点分别作两条异面直线的平行线，得到相交直线； ③ 找角：相交直线所成的锐角（或直角）即为异面直线所成的角； ④计算：在含该角的三角形中（通常是直角三角形或等腰三角形），利用勾股定理、三角函数或余弦定理求解。 2. 线面垂直 • 定义：直线垂直于平面内任意一条直线。 • 判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直。 符号： • 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： 3. 直线与平面所成的角 • 核心定义 斜线：一条直线和平面相交但不垂直，这条直线叫平面的斜线。 斜足：斜线与平面的交点。 射影：过斜线上斜足外一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线叫斜线在平面上的射影。 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。 • 规定（统一范围） 直线⊥平面 ⇒ 线面角 = 90° 直线∥平面 或 直线⊂平面 ⇒ 线面角 = 0° 斜线与平面 ⇒ 线面角 ∈ (0°，90°) • 线面角范围 • 求线面角的步骤（万能三步法） ① 找垂直：找直线上一点向平面作垂线，得垂足。 ② 连射影：连接斜足与垂足，得到射影。 ③ 算角度：斜线与射影的锐角即为线面角，在直角三角形中求解。 4. 面面垂直 • 定义：二面角为直二面角。 • 判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则面面垂直。 符号： • 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。 符号： 5. 二面角（面面角） • 核心定义 半平面：平面内一条直线把平面分成两部分，每一部分叫半平面。 二面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。 棱：这条公共直线叫二面角的棱。 面：两个半平面叫二面角的面。 • 二面角的平面角（最关键） 定义：在二面角的棱上任取一点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 要求：①顶点在棱上②两边分别在两个面内③两边都垂直于棱 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角（此时面面垂直）。 • 二面角范围 6. 三类角对比 角的类型 定义关键词 范围 异面直线所成角 平移后相交成锐角/直角 直线与平面所成角 斜线与射影成锐角 二面角 垂直于棱的平面角 典型例题 例4 若直线平面，直线平面，则（） A. B. C. 相交 D. 不确定 【答案】B 【解析】由线面垂直性质：垂直于同一平面的两直线平行。 例5 下列能推出的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】。 例6已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 【答案】ABD 【详解】矩形，矩形，，故正确． 若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直， 故不正确，故不正确； 矩形，，，平面，，故正确； 矩形，由三垂线定理得，故正确； 故选：． 二级结论与解题技巧 1. 证线面垂直：证线垂直于面内两条相交直线。 2. 证面面垂直：在一个面内找一条线垂直于另一面。 3. 面面垂直⇒交线的垂线垂直于另一平面。 4. 求线面角：找垂线→射影→夹角。 5. 求二面角：找棱的垂线→平面角。 易错点拨 1. 线面垂直判定必须是两条相交直线。 2. 面面垂直性质必须是垂直于交线的直线。 3. 异面直线垂直≠相交垂直。 4. 线面角是直线与射影的夹角，不是与斜线夹角。 5. 二面角平面角必须垂直于棱。 重难题型突破 题型1：线面平行的证明（证线线平行） 例7 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.求证：平面. 【分析】取的中点，连接，证得，，得到四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】取的中点，连接， 在中，且，因为，且， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 题型2：面面垂直的证明（线面垂直法） 例8 如图，在三棱柱中，平面，，． 求证：平面平面； 【分析】根据，可证明为直角三角形，从而得出，再由，可以得出平面，从而得证. 【详解】由题意得平面，所以， 设，， 由，解得， 所以，所以， 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面． 题型3：求线面角（高频） 已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 【分析】取的中点，连接，，可得（或其补角）为与所成的角，利用几何性质求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点，所以，且；，且， 所以（或其补角）为与所成的角.所以（或其补角）为与所成的角. 因为直线与成角， 所以或. 又因为，所以， ①若，则是等边三角形，所以，即与所成的角为. ②若，则易知是等腰三角形.所以，即与所成的角为. 综上可知：与所成角为或. 题型4：求线面角（高频） 例10 如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【分析】（1）由底面结合线面角定义即可求解； （2）由底面得到是与底面所成的角即可计算求解. 【详解】（1）因为底面，所以是与底面所成的角. 因为侧面是正方形，所以. 即与底面所成的角为. （2）如图，连接，则. 因为底面， 所以是与底面所成的角，同时. 在中，，，， 所以，即与底面所成角余弦值为. 题型5：求二面角（高频） 例11 如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 【分析】过点作于，连接，由条件证明是的中点，求得，利用三垂线定理证明，即得是二面角的平面角，借助于，即可求得其大小. 【详解】如图，过点作于，连接， 在正三棱柱中，平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得，所以是二面角的平面角， 因为，所以是的中点，所以是的中位线， 所以，在中，， 所以，即二面角的大小为60°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5 空间直线、平面的平行 + 8.6 空间直线、平面的垂直 知识清单 8.5 空间直线、平面的平行 基本定理 1. 基本事实4（平行传递性） • 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号： 2. 等角定理 空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。 3. 线面平行 • 判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则线面平行。 符号：l • 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号： 4. 面面平行 • 判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行。 符号： • 性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，交线平行。 符号： 典型例题 例1 空间两个角的两边分别平行，一个角为60°，则另一个角为（） A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° 例2 能保证直线平面的条件是（） A. B. C. D. 内无数条直线 例3在如图所示的正四棱柱中，分别是棱的中点，直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．异面 二级结论与解题技巧 1. 证线面平行：找中位线/平行四边形。 2. 证面面平行：找两组相交平行线。 3. 面面平行⇒一个平面内任意直线都平行于另一平面。 4. 线面平行⇒线平行于平面内无数条直线（不是所有）。 5. 平行线分线段成比例：三个平行平面截直线，对应线段成比例。 易错点拨 1. 判定线面平行漏“直线在平面外”。 2. 判定面面平行用两条平行直线（必须相交）。 3. “线平行于面内无数条直线”≠线面平行。 4. 等角定理只看两边平行，不看方向，可能互补。 8.6 空间直线、平面的垂直 基本概念与定理 1. 异面直线所成的角 • 定义：已知两条异面直线、，经过空间任意一点，分别作直线、，则相交直线与所成的锐角（或直角），叫做异面直线与所成的角（或夹角）。 • 本质：通过“平移法”将异面直线转化为相交直线，利用相交直线的夹角定义异面直线的夹角（平移不改变角的大小）。 • 异面直线垂直 所成角为90°，记作（注意：垂直不一定相交）。 • 角的范围：（因为夹角取锐角或直角，故大于0°、不超过90°）。 • 求异面直线所成角的步骤（万能四步法） ① 选点：在空间中任选一个方便计算的点（通常选线段中点、端点或公共点）； ② 平移：过该点分别作两条异面直线的平行线，得到相交直线； ③ 找角：相交直线所成的锐角（或直角）即为异面直线所成的角； ④计算：在含该角的三角形中（通常是直角三角形或等腰三角形），利用勾股定理、三角函数或余弦定理求解。 2. 线面垂直 • 定义：直线垂直于平面内任意一条直线。 • 判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直。 符号： • 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： 3. 直线与平面所成的角 • 核心定义 斜线：一条直线和平面相交但不垂直，这条直线叫平面的斜线。 斜足：斜线与平面的交点。 射影：过斜线上斜足外一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线叫斜线在平面上的射影。 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。 • 规定（统一范围） 直线⊥平面 ⇒ 线面角 = 90° 直线∥平面 或 直线⊂平面 ⇒ 线面角 = 0° 斜线与平面 ⇒ 线面角 ∈ (0°，90°) • 线面角范围 • 求线面角的步骤（万能三步法） ① 找垂直：找直线上一点向平面作垂线，得垂足。 ② 连射影：连接斜足与垂足，得到射影。 ③ 算角度：斜线与射影的锐角即为线面角，在直角三角形中求解。 4. 面面垂直 • 定义：二面角为直二面角。 • 判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则面面垂直。 符号： • 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。 符号： 5. 二面角（面面角） • 核心定义 半平面：平面内一条直线把平面分成两部分，每一部分叫半平面。 二面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。 棱：这条公共直线叫二面角的棱。 面：两个半平面叫二面角的面。 • 二面角的平面角（最关键） 定义：在二面角的棱上任取一点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 要求：①顶点在棱上②两边分别在两个面内③两边都垂直于棱 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角（此时面面垂直）。 • 二面角范围 6. 三类角对比 角的类型 定义关键词 范围 异面直线所成角 平移后相交成锐角/直角 直线与平面所成角 斜线与射影成锐角 二面角 垂直于棱的平面角 典型例题 例4 若直线平面，直线平面，则（） A. B. C. 相交 D. 不确定 例5 下列能推出的是（） A. B. C. D. 例6已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 二级结论与解题技巧 1. 证线面垂直：证线垂直于面内两条相交直线。 2. 证面面垂直：在一个面内找一条线垂直于另一面。 3. 面面垂直⇒交线的垂线垂直于另一平面。 4. 求线面角：找垂线→射影→夹角。 5. 求二面角：找棱的垂线→平面角。 易错点拨 1. 线面垂直判定必须是两条相交直线。 2. 面面垂直性质必须是垂直于交线的直线。 3. 异面直线垂直≠相交垂直。 4. 线面角是直线与射影的夹角，不是与斜线夹角。 5. 二面角平面角必须垂直于棱。 重难题型突破 题型1：线面平行的证明（证线线平行） 例7 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.求证：平面. 题型2：面面垂直的证明（线面垂直法） 例8 如图，在三棱柱中，平面，，． 求证：平面平面； 题型3：求线面角（高频） 例9已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 题型4：求线面角（高频） 例10 如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 题型5：求二面角（高频） 例11 如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $