第六章 平面向量核心基础知识清单（含pdf可直接打印）高一数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量 知识清单 6.1 平面向量的概念 基本概念/性质 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量（区别于只有大小的“数量”）。 2. 几何表示：用有向线段表示向量，三要素为：起点、方向、长度。 3. 向量的模：向量的长度，记为 （模是数量，非负）。 4. 特殊向量： · 零向量：长度为0的向量，记为 ，方向任意； · 单位向量：长度为1的向量（同一方向的单位向量唯一）。 5. 向量的关系： · 相等向量：大小相等且方向相同的向量（与起点位置无关）； · 共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量；零向量与任意向量共线。 解题技巧 · 判断相等向量：同时验证“大小”和“方向”； · 判断共线向量：看方向是否相同/相反（注意零向量的特殊性）。 易错点拨 1. 零向量方向“任意”，不能说“零向量与某向量方向相同/相反”； 2. 共线向量≠几何中的“共线（点共线）”，向量平行包含“共线”的情况； 3. 仅模相等或仅方向相同，都不是相等向量。 典型例题 例：判断下列说法的正误： ① 若向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点共线； ② 零向量没有方向； ③ 单位向量的模都相等； ④ 相等向量一定是共线向量。 解：① 错误（共线向量仅要求方向平行，四点不一定共线）； ② 错误（零向量方向任意，不是没有方向）； ③ 正确（单位向量模均为1）； ④ 正确（相等向量方向相同，必然共线）。 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 基本概念 1. 加法法则： · 三角形法则：首尾相连，和向量是“从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点”； · 平行四边形法则：共起点，和向量是“以两向量为邻边的平行四边形的对角线”。 2. 运算性质： · 交换律：； · 结合律：； · 模的关系：（当且仅当、同向时取等）。 解题技巧 · 画和向量：首尾相连用三角形法则，共起点用平行四边形法则； · 求模的范围：利用三角不等式 。 易错点拨 · 三角形法则必须“首尾相连”，平行四边形法则必须“共起点”，不可混淆； · 不是 ，仅同向时相等。 典型例题 例：已知 ，，求 的最大值和最小值。 解：由三角不等式： 最大值：（、同向）； 最小值：（、反向）。 6.2.2 向量的减法运算 基本概念 1. 定义：（ 是与大小相等、方向相反的向量）。 2. 减法法则：共起点，差向量是“从的终点指向的终点”（指向被减向量）。 3. 模的关系：（当且仅当、反向时取等）。 解题技巧 · 画差向量：共起点，连终点，指向被减向量。 易错点拨 差向量的方向是“指向被减向量”，不要搞反（如指向）。 典型例题 例：已知向量、共起点，画出。 解：① 画共起点的、；② 连接的终点与的终点；③ 箭头指向的终点，即为。 6.2.3 向量的数乘运算 基本概念 1. 定义：实数与向量的乘积是向量，满足： · 模：； · 方向：时与同向，时与反向，时为。 2. 运算律：；；。 3. 共线向量定理：若，则与共线 存在唯一实数，使。 解题技巧 · 判断向量共线：利用共线向量定理，证明存在使； · 线性表示向量：用数乘将目标向量表示为已知向量的倍数。 易错点拨 1. 共线向量定理中，必须是非零向量（否则不唯一）； 2. 是，不是（可能为负）。 典型例题 例：已知，，判断与是否共线；若共线，求使。 解：共线：因为，满足共线向量定理；。 6.2.4 向量的数量积 基本概念 1. 定义：（是与的夹角，）。 2. 核心性质： · （即）； · （、非零）； 3. 运算律：；；。 解题技巧 · 求模：； · 求夹角：； · 判断垂直：验证。 易错点拨 1. 数量积的结果是数，不是向量； 2. 没有结合律：； 3. 夹角是两向量共起点时的角，范围是（不是锐角/钝角）。 典型例题 例：已知，，与的夹角为，求： ① ；② 。 解：① ； ② 。 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 基本概念 若、是同一平面内不共线的向量（称为基底），则对该平面内任意向量，存在唯一一对实数、，使。 解题技巧 选择“不共线”的向量作为基底，将目标向量用基底线性表示（常用“拆分法”）。 易错点拨 基底必须是不共线的向量，若、共线，则不能作为基底。 典型例题 例：在中，D是AB的中点，用、作为基底表示。 解：（D是AB中点，）。 6.3.2 正交分解及坐标表示 基本概念 1. 正交分解：用互相垂直的向量（如、）作为基底分解向量。 2. 坐标表示：若，则的坐标为，记为； · 若点、，则。 解题技巧 将向量放在坐标系中，用“终点坐标 - 起点坐标”求向量坐标。 易错点拨 向量坐标与起点位置无关，仅由“终点与起点的坐标差”决定。 典型例题 例：已知点，，求的坐标。 解：。 6.3.3~6.3.5 坐标运算 基本概念（设，） 1. 加减：； 2. 数乘：； 3. 数量积：； 4. 模：； 5. 夹角：； 6. 垂直：。 解题技巧 用坐标运算替代几何运算，简化向量的加减、数量积等计算。 易错点拨 数量积的坐标运算是“对应坐标相乘再相加”，不是“向量相乘”（如，不是）。 典型例题 例：已知，，求和与的夹角余弦值。 解：① ； ② ，， 。 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量法 解题技巧 · 证明平行：证向量共线（）； · 证明垂直：证数量积为0（）； · 求长度：求向量的模； · 求夹角：用数量积的夹角公式。 典型例题 例：用向量法证明：平行四边形的对角线互相平分。 解：设平行四边形，，，对角线、交于点O。 ，。 若O是AC中点，则； 同时， 由平面向量基本定理，且，故O也是BD中点，即对角线互相平分。 6.4.2 物理中的应用 解题技巧 将力、位移、速度等物理量转化为向量，用向量运算求合力、合位移等。 典型例题 例：一个物体受两个力，，求合力的大小。 解：合力， 大小N。 6.4.3 余弦定理、正弦定理 基本概念 1. 余弦定理：在中， ，，； 2. 正弦定理：（是外接圆半径）。 解题技巧 · 余弦定理：已知两边及夹角求第三边，已知三边求角； · 正弦定理：已知两角及一边，已知两边及其中一边的对角求其他边/角。 典型例题 例：在中，，，，用余弦定理求。 解：由余弦定理： ， 故。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量 知识清单 6.1 平面向量的概念 基本概念/性质 1. 向量的定义：既有 又有 的量（区别于只有大小的“数量”）。 2. 几何表示：用 表示向量，三要素为：起点、方向、长度。 3. 向量的模：向量的长度，记为 （模是数量，非负）。 4. 特殊向量： · 零向量：长度为0的向量，记为 ，方向 ； · 单位向量：长度为1的向量（同一方向的单位向量唯一）。 5. 向量的关系： · 相等向量：大小 且方向 的向量（与起点位置无关）； · 共线向量（平行向量）：方向 的非零向量；零向量与任意向量 。 解题技巧 · 判断相等向量：同时验证“大小”和“方向”； · 判断共线向量：看方向是否相同/相反（注意零向量的特殊性）。 易错点拨 1. 零向量方向“任意”，不能说“零向量与某向量方向相同/相反”； 2. 共线向量≠几何中的“共线（点共线）”，向量平行包含“共线”的情况； 3. 仅模相等或仅方向相同，都不是相等向量。 典型例题 例：判断下列说法的正误： ① 若向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点共线； ② 零向量没有方向； ③ 单位向量的模都相等； ④ 相等向量一定是共线向量。 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 基本概念 1. 加法法则： · 三角形法则：首尾 ，和向量是“从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点”； · 平行四边形法则：共起点，和向量是“以两向量为邻边的平行四边形的对角线”。 2. 运算性质： · 交换律：； · 结合律：； · 模的关系：（当且仅当、同向时取等）。 解题技巧 · 画和向量：首尾相连用三角形法则，共起点用平行四边形法则； · 求模的范围：利用三角不等式 。 易错点拨 · 三角形法则必须“首尾相连”，平行四边形法则必须“共起点”，不可混淆； · 不是 ，仅同向时相等。 典型例题 例：已知 ，，求 的最大值和最小值。 6.2.2 向量的减法运算 基本概念 1. 定义：（ 是与大小 、方向 的向量）。 2. 减法法则：共起点，差向量是“从 的终点指向 的终点”（指向被减向量）。 3. 模的关系：（当且仅当、 时取等）。 解题技巧 · 画差向量：共起点，连终点，指向被减向量。 易错点拨 差向量的方向是“指向被减向量”，不要搞反（如指向）。 典型例题 例：已知向量、共起点，画出。 6.2.3 向量的数乘运算 基本概念 1. 定义：实数与向量的乘积是向量，满足： · 模： ； · 方向：时与 ，时与 ，时为。 2. 运算律： ； ； 。 3. 共线向量定理：若，则与共线 存在 实数，使。 解题技巧 · 判断向量共线：利用共线向量定理，证明存在使； · 线性表示向量：用数乘将目标向量表示为已知向量的倍数。 易错点拨 1. 共线向量定理中，必须是非零向量（否则不唯一）； 2. 是，不是（可能为负）。 典型例题 例：已知，，判断与是否共线；若共线，求使。 6.2.4 向量的数量积 基本概念 1. 定义： （是与的夹角，）。 2. 核心性质： · （即）； · （、非零） ； 3. 运算律：；；。 解题技巧 · 求模：； · 求夹角：； · 判断垂直：验证。 易错点拨 1. 数量积的结果是数，不是向量； 2. 没有结合律：； 3. 夹角是两向量共起点时的角，范围是（不是锐角/钝角）。 典型例题 例：已知，，与的夹角为，求： ① ；② 。 解：① ； ② 。 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 基本概念 若、是同一平面内 的向量（称为基底），则对该平面内任意向量，存在 一对实数、，使。 解题技巧 选择“不共线”的向量作为基底，将目标向量用基底线性表示（常用“拆分法”）。 易错点拨 基底必须是 的向量，若、共线，则不能作为基底。 典型例题 例：在中，D是AB的中点，用、作为基底表示。 6.3.2 正交分解及坐标表示 基本概念 1. 正交分解：用 的向量（如、）作为基底分解向量。 2. 坐标表示：若，则的坐标为，记为； · 若点、，则。 解题技巧 将向量放在坐标系中，用“终点坐标 - 起点坐标”求向量坐标。 易错点拨 向量坐标与起点位置无关，仅由“终点与起点的坐标差”决定。 典型例题 例：已知点，，求的坐标。 6.3.3~6.3.5 坐标运算 基本概念（设，） 1. 加减： ； 2. 数乘： ； 3. 数量积： ； 4. 模： ； 5. 夹角： ； 6. 垂直： 。 解题技巧 用坐标运算替代几何运算，简化向量的加减、数量积等计算。 易错点拨 数量积的坐标运算是“对应坐标相乘再相加”，不是“向量相乘”（如，不是）。 典型例题 例：已知，，求和与的夹角余弦值。 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量法 解题技巧 · 证明平行：证向量共线（）； · 证明垂直：证数量积为0（）； · 求长度：求向量的模； · 求夹角：用数量积的夹角公式。 典型例题 例：用向量法证明：平行四边形的对角线互相平分。 6.4.2 物理中的应用 解题技巧 将力、位移、速度等物理量转化为向量，用向量运算求合力、合位移等。 典型例题 例：一个物体受两个力，，求合力的大小。 6.4.3 余弦定理、正弦定理 基本概念 1. 余弦定理：在中， ， ， ； 2. 正弦定理： （是外接圆半径）。 解题技巧 · 余弦定理：已知两边及夹角求第三边，已知三边求角； · 正弦定理：已知两角及一边，已知两边及其中一边的对角求其他边/角。 典型例题 例：在中，，，，用余弦定理求。 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 第六章平面向量知识清单 6.1平面向量的概念 基本概念/性质 1.向量的定义：既有又有的量（区别于只有大小的“数量”）。 2.几何表示：用表示向量，三要素为：起点、方向、长度。 3. 向量的模：向量的长度，记为（模是数量，非负）。 4.特殊向量： 。零向量：长度为0的向量，记为0，方向； 。单位向量：长度为1的向量（同一方向的单位向量唯一）。 5.向量的关系： 。相等向量：大小且方向的向量（与起点位置无关）： 。共线向量（平行向量）：方向的非零向量零向量与任意向量一。 解题技巧 ·判断相等向量：同时验证“大小”和“方向”： 。 判断共线向量：看方向是否相同/相反（注意零向量的特殊性）。 易错点拨 1.零向量方向任意”，不能说“零向量与某向量方向相同/相反”： 2.共线向量≠几何中的共线（点共线)”，向量平行包含“共线的情况； 3.仅模相等或仅方向相同，都不是相等向量。 典型例题 例：判断下列说法的正误： ①若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线： ②零向量没有方向： ③单位向量的模都相等： ④相等向量一定是共线向量。 62平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 基本概念 1.加法法则： 。三角形法则：首尾，和向量是“从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点”： 。平行四边形法则：共起点，和向量是“以两向量为邻边的平行四边形的对角线”。 2.运算性质： o交换律：d+b=b+d; 学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 结合律：(a+)+=i+(⑥+)： 模的关系：|a+≤|+b!(当且仅当d、同向时取等)。 解题技巧 。 画和向量：首尾相连用三角形法则，共起点用平行四边形法则： ·求模的范围：利用三角不等式la+≤+。 易错点拨 三角形法则必须“首尾相连”，平行四边形法则必须“共起点”，不可混淆： ·a+b1不是I+b,仅同向时相等。 典型例题 例：已知=3，b=4,求d+的最大值和最小值。 6.2.2向量的减法运算 基本概念 1.定义：d-=+(-b)(-b是与b大小、方向的向量)。 2.减法法则：共起点，差向量是“从的终点指向的终点”（指向被减向量）。 3.模的关系：d-≥-列（当且仅当d、时取等）。 解题技巧 。 画差向量：共起点，连终点，指向被减向量。 易错点拨 差向量的方向是“指向被减向量”，不要搞反（如-b指向）。 典型例题 例：已知向量、b共起点，画出a-b。 6.2.3向量的数乘运算 基本概念 1.定义：实数与向量的乘积是向量，满足： 。模：|λ=： 。方向：1>0时与a,入<0时与d,1=0时为0。 2.运算律：(u)=:(+)d=；(a+b)=。 3.共线向量定理：若a≠0，则b与共线台存在实数，使b=a。 解题技巧 。判断向量共线：利用共线向量定理，证明存在使b=λd: 线性表示向量：用数乘将目标向量表示为己知向量的倍数。 学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 易错点拨 1.共线向量定理中，必须是非零向量（否则λ不唯一）： 2.λ是·|，不是·|（可能为负）。 典型例题 例：已知d=2e,=6e,判断d与b是否共线；若共线，求λ使b=λd。 6.2.4向量的数量积 基本概念 1.定义：d.i= (6是d与的夹角，0∈[0π])。 2.核心性质： 。d:a=(即ll=va·a): 。b(d、非零)台，b=: 3.运算律：d.b=bd;()·b=λ(a.b)；(a+)=ac+bc。 解题技巧 ·求模：l=va·a; 求夹角coso三： 。 判断垂直：验证d·b=0。 易错点拨 1.数量积的结果是数，不是向量： 2.没有结合律：(a.b)≠a.(石·)： 3.夹角6是两向量共起点时的角，范围是[0]（不是锐角/钝角）。 典型例题 例：已知a=2,b=3,a与b的夹角为60°，求： ①d.b:②la+b。 解：①d.方=cos60°=2×3×3=3： ②1a+-(a+)·(a+)=Jl2+2a·万+=v4+6+9=9。 63平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 基本概念 若、e2是同一平面内_的向量（称为基底），则对该平面内任意向量，存在一对实数入12， 使d=11e+12e2。 解题技巧 面学科网·上好课 www.Z××k.C0m 上好每一堂课 选择“不共线”的向量作为基底，将目标向量用基底线性表示（常用“拆分法”）。 易错点拨 基底必须是 的向量，若©、e2共线，则不能作为基底。 典型例题 例：在△ABC中，D是AB的中点，用AB、AC作为基底表示CD。 6.3.2正交分解及坐标表示 基本概念 1.正交分解：用的向量（如i=(10)、j=(01)作为基底分解向量。 2.坐标表示：若a=xi+yj,则的坐标为(ey),记为a=(x'y): 。若点A(x1y1)、B(x2'y2),则AB=(x2-X1y2-y1)。 解题技巧 将向量放在坐标系中，用“终点坐标-起点坐标求向量坐标。 易错点拨 向量坐标与起点位置无关，仅由“终点与起点的坐标差”决定。 典型例题 例：已知点A(1,2),B(3,④，求AB的坐标。 6.3.3-6.3.5坐标运算 基本概念（设d=(x1y),b-(x2y2) 1.加减：a士石= 2.数乘：λd= 3. 数量积：d·b=一： 4.模：1=： 5.夹角：cos0= 6.垂直：L万台x1x2+y1y2=-。 解题技巧 用坐标运算替代几何运算，简化向量的加减、数量积等计算。 易错点拨 数量积的坐标运算是“对应坐标相乘再相加”，不是“向量相乘”（如(1,2）·(3,4④=1×3+2×4=11，不 是(38))。 典型例题 例：己知=(12)，i=(3,-1),求·和a与的夹角余弦值。 面学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量法 解题技巧 。 证明平行：证向量共线(b=λ)： 。 证明垂直：证数量积为0(d·b=0); 。 求长度：求向量的模： 。 求夹角：用数量积的夹角公式。 典型例题 例：用向量法证明：平行四边形的对角线互相平分。 6.4.2物理中的应用 解题技巧 将力、位移、速度等物理量转化为向量，用向量运算求合力、合位移等。 典型例题 例：一个物体受两个力F=(34),F=(1-2),求合力F的大小。 6.4.3余弦定理、正弦定理 基本概念 1.余弦定理：在△ABC中， a2=b2+c2- a2 +c2-2accosB,c2 a2+b2- 2.正弦定理：品=品B=品c=一(R是△MBC外接圆半径)。 C 解题技巧 ·余弦定理：已知两边及夹角求第三边，已知三边求角： ·正弦定理：已知两角及一边，已知两边及其中一边的对角求其他边/角。 典型例题 例：在△ABC中，b=2,c=V3,A=30°，用余弦定理求a。学科网·上好课 WwW.zX×k.C0m 上好每一堂课 第六章平面向量知识清单 6.1平面向量的概念 基本概念/性质 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量（区别于只有大小的“数量”）。 2.几何表示：用有向线段表示向量，三要素为：起点、方向、长度。 3. 向量的模：向量的长度，记为（模是数量，非负）。 4.特殊向量： 。零向量：长度为0的向量，记为0，方向任意： 。单位向量：长度为1的向量（同一方向的单位向量唯一）。 5.向量的关系： 。相等向量：大小相等且方向相同的向量（与起点位置无关）： 。共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量；零向量与任意向量共线。 解题技巧 ·判断相等向量：同时验证“大小”和“方向”： 。 判断共线向量：看方向是否相同/相反（注意零向量的特殊性）。 易错点拨 1.零向量方向任意”，不能说“零向量与某向量方向相同/相反”： 2.共线向量≠几何中的共线（点共线)”，向量平行包含“共线的情况； 3.仅模相等或仅方向相同，都不是相等向量。 典型例题 例：判断下列说法的正误： ①若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线： ②零向量没有方向： ③单位向量的模都相等： ④相等向量一定是共线向量。 解：①错误（共线向量仅要求方向平行，四点不一定共线)： ②错误（零向量方向任意，不是没有方向）： ③正确（单位向量模均为1）； ④正确（相等向量方向相同，必然共线）。 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 基本概念 1.加法法则： 。三角形法则：首尾相连，和向量是“从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点”； 函学科网·上好课 Www.z××k.C0m 上好每一堂课 。平行四边形法则：共起点，和向量是“以两向量为邻边的平行四边形的对角线”。 2.运算性质： 。交换律：d+b=b+d; 。结合律：（a+b)+c=a+(仍+)： 模的关系：Ia+≤I+(当且仅当a、同向时取等)。 解题技巧 画和向量：首尾相连用三角形法则，共起点用平行四边形法则： 。 求模的范围：利用三角不等式+≤+I。 易错点拨 三角形法则必须“首尾相连”，平行四边形法则必须共起点”，不可混淆： ·a+b1不是|+b1,仅同向时相等。 典型例题 例：已知=3，b=4,求a+的最大值和最小值。 解：由三角不等式： 最大值：1创+1=3+4=7（à、同向）： 最小值：川-1=3-4=1(a、反向)。 6.2.2向量的减法运算 基本概念 1.定义：a-b=+(-b)(-b是与b大小相等、方向相反的向量)。 2.减法法则：共起点，差向量是“从的终点指向的终点”（指向被减向量）。 3. 模的关系：a-≥川-（当且仅当d、反向时取等）。 解题技巧 ·画差向量：共起点，连终点，指向被减向量。 易错点拨 差向量的方向是“指向被减向量”，不要搞反（如-b指向）。 典型例题 例：已知向量d、共起点，画出d-b。 解：①画共起点的、b:②连接b的终点与的终点：③箭头指向的终点，即为d-b。 函学科网·上好课 WwW.Z××k.C0m 上好每一堂课 6.2.3向量的数乘运算 基本概念 1.定义：实数与向量的乘积d是向量，满足： 。模：1=|·|： 。方向：λ>0时与同向，入<0时与反向，λ=0时为0。 2.运算律：λ(u)=()a;(+)a=λa+ua;(+b)=a+λb。 3.共线向量定理：若d≠0，则b与共线曰存在唯一实数1，使=1d。 解题技巧 ·判断向量共线：利用共线向量定理，证明存在使b=λd: 。 线性表示向量：用数乘将目标向量表示为已知向量的倍数。 易错点拨 1.共线向量定理中，必须是非零向量（否则λ不唯一）： 2.λ是，不是·（λ可能为负）。 典型例题 例：己知d=2e,b=6,判断a与b是否共线；若共线，求1使b=λd。 解：共线：因为b=3×2e=3d,满足共线向量定理：λ=3。 6.2.4向量的数量积 基本概念 1.定义：a.b=|lblcos0(0是与b的夹角，0∈[0π)。 2.核心性质： 。a·a=la2(即la=va·a): 。dLb(d、b非零)台a.b=0: 3.运算律：a,b=b·d:()·b=(a.b)；(a+)c=a:c+b.c。 解题技巧 ·求模：l创=Va·a; 。 求夹角：c0s0-高品 ·判断垂直：验证d.=0。 易错点拨 1.数量积的结果是数，不是向量： 2.没有结合律：(a·b)·≠d.(石·) 3.夹角0是两向量共起点时的角，范围是[0π]（不是锐角/钝角）。 典型例题 例：己知=2，Ib=3,与b的夹角为60°，求： 学科网·上好课 Www.z××k.C0m 上好每一堂课 ①d.b;②la+l。 解：①d,万=cos60°=2×3×=3： ②1a+-(a+)·(a+)-l2+2.6+2-√4+6+9=v19。 63平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 基本概念 若e、e2是同一平面内不共线的向量（称为基底），则对该平面内任意向量，存在唯一一对实数1、12， 使d=1e+12e2。 解题技巧 选择“不共线”的向量作为基底，将目标向量用基底线性表示（常用“拆分法）。 易错点拨 基底必须是不共线的向量，若©、e2共线，则不能作为基底。 典型例题 例：在△ABC中，D是AB的中点，用AB、AC作为基底表示CD。 解：CD=CA+AD=-AC+AB(D是AB中点，AD=AB)。 6.3.2正交分解及坐标表示 基本概念 1.正交分解：用互相垂直的向量（如i=(10)、方=(01）)作为基底分解向量。 2.坐标表示：若a=xi+yj,则a的坐标为(？y),记为a=(xy): 。若点A(x1y1)、B(x2y2),则AB=(x2-X1'y2-y1) 解题技巧 将向量放在坐标系中，用“终点坐标-起点坐标”求向量坐标。 易错点拨 向量坐标与起点位置无关，仅由终点与起点的坐标差”决定。 典型例题 例：已知点A(1,2),B(3,4,求AB的坐标。 解：AB=(3-1,4-2)=(22)。 6.3.3-6.3.5坐标运算 基本概念（设a=(x1y1),b=(x2y2) 1.加减：±万=(x1±x2y1±y2): 2.数乘：λd=(x1y1): 3.数量积：d.=x1x2+y1y2: 函学科网·上好课 Www.z××k.C0m 上好每一堂课 4.模：=√x+y: 5. 夹角：c0s日=x22; 好+y好x经+y贤 6.垂直：1b台x1x2+y1y2=0。 解题技巧 用坐标运算替代几何运算，简化向量的加减、数量积等计算。 易错点拨 数量积的坐标运算是“对应坐标相乘再相加”，不是“向量相乘”（如(12）·(3,4④=1×3+2×4=11，不 是(38))。 典型例题 例：已知d=(1,2),万=(3，-1)，求a·b和d与b的夹角余弦值。 解：①d.b=1×3+2×(-1)=3-2=1: ②1=12+2z=V5,|=√32+(-1)z=V10, cose= 而得 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量法 解题技巧 。 证明平行：证向量共线(b=λ)： 证明垂直：证数量积为0(d:万=0)； 。 求长度：求向量的模： 求夹角：用数量积的夹角公式。 典型例题 例：用向量法证明：平行四边形的对角线互相平分。 解：设平行四边形ABCD,AB=d,AD=,对角线AC、BD交于点O。 AC=d+i,BD=b-a。 若0是AC中点，则A0=号(d+b): 同时A0=AB+B0=d+(⑥-)=(1-λ)a+b, 由平面向量基本定理，1-入=且入=2故0也是D中点，即对角线互相平分。 6.4.2物理中的应用 解题技巧 将力、位移、速度等物理量转化为向量，用向量运算求合力、合位移等。 典型例题 例：一个物体受两个力F=(34),F=(1,-2),求合力F的大小。 函学科网·上好课 www.zX×k.c0m 上好每一堂课 解：合力F=F+F2=(3+1,4-2)=(42), 大小N=√42+2z=√20=2W5N。 6.4.3余弦定理、正弦定理 基本概念 L.余弦定理：在AABC中， a2 =b2 +c2-2bccosA,b2 a2 +c2-2accosB,c2 a2 b2-2abcosC; 2. 正弦定理：品=品B=品c=2R(R是AMBC外接圆半径)。 解题技巧 ·余弦定理：已知两边及夹角求第三边，己知三边求角： ·正弦定理：已知两角及一边，己知两边及其中一边的对角求其他边/角。 典型例题 例：在△ABC中，b=2,c=V5,A=30°，用余弦定理求a。 解：由余弦定理： Q2=b2+c2-2 becosA=-22+(32-2×2×V3×cos30°=4+3-2×2×V3x9=1, 故a=1。