高二数学下学期第一次月考（北师大版选择性必修第二册第一章数列，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D D A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【详解】（1）设等差数列的公差为， 即解得 所以 (6分) （2）因为数列是首项为2，公比为3的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 . （7分） 16．（15分）【详解】（1）设的公比为， 因为，且，，成等差数列， 所以，即， 整理得. 因为，所以. 所以数列的通项公式为. （8分） （2）因为数列是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列. 所以， ，解得. （7分） 17．（15分）【详解】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （7分） （2）数列满足，则， 所以 ． （8分） 18．（17分）【详解】（1）当时， 当时， 上式中当时，，所以数列的通项公式为 设的公比为，，所以， 数列为递增的等比数列，所以 （5分） （2） ① ② ①-②，得 ， 所以 （6分） （3）由（1）可得 则 显然随的增大而增大，故 于是若要恒成立，只需，解得， 所以存在最大的整数满足题意. （6分） 19．（17分）【详解】（1）因为数列的通项公式分别为， 所以. 设， 则， 两式相减，可得 ， 所以. 又， 所以对任意，都有， 所以为“友好数列”. （5分） （2）因为，所以，，， 且 ， 所以，① 当时，，② ①-②得，即. 当时，①可化为，即 所以成立，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （5分） （3）因为数列为“友好数列”， 所以对任意的，都有. 设等比数列的公比为，则. 当时，可得，即. 由得或. 当时，. 当时，，则. 当时，，则. 这与矛盾，所以不符合题意. 当时，， 进而时，恒有，① 所以时，恒有，② ①-②可得. 故数列为等差数列. （7分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章数列。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】依题意得． 故数列的周期为3，所以． 2．在等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合等差数列的下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，所以. 3．已知数列是正项等比数列，且，则（    ） A．64 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式结合条件可得，解得公比即可求得. 【详解】设数列的公比为，所以， 所以，由，得， 即，因为， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以． 4．等差数列中，，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】由，则， 在等差数列中，. 5．已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 【答案】D 【分析】由等比数列前项和公式结合条件即可求得公比，进而求得的值. 【详解】因为，且， 所以有，即， 则有，所以公比， 所以， 故选：D． 6．已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求. 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 7．从年起到年，某人每年的月日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到年月日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每年存入的本息和，利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 到年月日将所有存款及利息全部取出: . 故选：D. 8．已知数列中，，且，，数列的前项和为，表示不超过的最大整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用累加法可得，进而可得，再用及分别放缩第项到项的和，进而可得，从而可得结果. 【详解】由数列中，，且，， 得 ， 所以，， 又因为， 所以 又因为， 所以 ， 所以，， 即，所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 【答案】ACD 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 10．已知数列的首项，则（    ） A．是等比数列 B． C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 【答案】BD 【分析】根据已知条件，利用构造法得到数列是等比数列，进而求出，判断选项B，利用等比数列定义，即可判断选项A，结合分组求和法判断选项C，利用裂项相消法，判断选项D. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，故B正确； 所以，常数，A错误； 因为数列的前项和为 ，所以C不正确； 记数列的前项和为， 因为， 所以， 故D正确． 11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的周长为，则（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．若对任意恒成立，则 【答案】ACD 【分析】ABC选项，先得到从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍，周长是前一个图形周长的，从而由等比数列求通项公式可得，，又，故是等差数列；D选项， 变形得到，设，得到当时，，当时，，当时，，所以最大值为，，D正确. 【详解】观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍， 边长为前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是前一个图形周长的， AB选项，是以为首项，公比为4的等比数列， 所以，，，A正确，B错误； C选项，是以为首项，公比为的等比数列， 所以，故， 所以， 所以为等差数列，C正确； D选项，对任意恒成立， 故，设， 当时，， 当时，， 显然，， 当时，，即，，， 当时，，即，，， 当时，，，，， 所以取得最大值，最大值为，则，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数，总有，且，则_____． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，再由，即可求出. 【详解】已知，则， ，故. 故答案为： 13．已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 【答案】 【分析】通过构造等差数列求出通项公式，再利用错位相减法求和，进而可求. 【详解】因为是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，即，又， 所以是首项为1，公差为的等差数列． 得，所以， 所以， 则， 两个等式作差可得， ， 故．则． 14．已知数列满足，且对恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据等比数列的定义，结合分类讨论思想、数列的单调性进行求解即可. 【详解】， 当时，， 所以该数列奇数项是以为首项，为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列，为最小项， 该数列偶数项是以为首项，为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列，为最小项， 因此对恒成立，即恒成立， 因为数列奇数项的最小值为，偶数项的最小值为， 所以数列的最小值为，故只需， 因此的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求首项、公差即可得解； （2）根据等差数列、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 即解得 所以 （2）因为数列是首项为2，公比为3的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 . 16．（15分）已知正项等比数列的前项和为且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公比为，，结合题意列出关于的方程，求出，即可得到数列的通项公式； （2）由等比数列的前项和公式可得关于的方程，求解可得. 【详解】（1）设的公比为， 因为，且，，成等差数列， 所以，即， 整理得. 因为，所以. 所以数列的通项公式为. （2）因为数列是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列. 所以， ，解得. 17．（15分）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【答案】(1)选择任一条件都有， (2) 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列的基本量，进而求出通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求出. 【详解】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 18．（17分）已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）讨论当和当时，根据递推公式可求出数列通项公式，验证当是否成立，根据等比数列的定义可求出通项公式； （2）由（1）可得到，再根据错位相减法即可求出； （3）由（1）可得，根据裂项相消法可求出，再根据不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）当时， 当时， 上式中当时，，所以数列的通项公式为 设的公比为，，所以， 数列为递增的等比数列，所以 （2） ① ② ①-②，得 ， 所以 （3）由（1）可得 则 显然随的增大而增大，故 于是若要恒成立，只需，解得， 所以存在最大的整数满足题意. 19．（17分）已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“友好数列”以及错位相减求和法证得数列为“友好数列”. （2）利用退一作差法，结合等比数列的定义求得. （3）根据“友好数列”以及等差数列的定义证得数列为等差数列. 【详解】（1）因为数列的通项公式分别为， 所以. 设， 则， 两式相减，可得 ， 所以. 又， 所以对任意，都有， 所以为“友好数列”. （2）因为，所以，，， 且 ， 所以，① 当时，，② ①-②得，即. 当时，①可化为，即 所以成立，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （3）因为数列为“友好数列”， 所以对任意的，都有. 设等比数列的公比为，则. 当时，可得，即. 由得或. 当时，. 当时，，则. 当时，，则. 这与矛盾，所以不符合题意. 当时，， 进而时，恒有，① 所以时，恒有，② ①-②可得. 故数列为等差数列. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章数列。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 2．在等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知数列是正项等比数列，且，则（    ） A．64 B．256 C．512 D．1024 4．等差数列中，，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 6．已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 7．从年起到年，某人每年的月日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到年月日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列中，，且，，数列的前项和为，表示不超过的最大整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 10．已知数列的首项，则（    ） A．是等比数列 B． C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的周长为，则（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．若对任意恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数，总有，且，则_____． 13．已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 14．已知数列满足，且对恒成立，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）．已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 16．（15分）已知正项等比数列的前项和为且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若求． 17．（15分）．数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 18．（17分）已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 19．（17分）已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $