精品解析：福建省泉州晋江市安海中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025年秋季期末教学质量监测初三年级数学试题 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卡的相应位置内作答． 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及知识点：二次根式的被开方数非负．解题方法是根据被开方数列不等式，求解后判断选项；解题关键是牢记被开方数的非负性，易错点是忽略符号方向．解题思路：由被开方数列不等式，确定的取值范围，再匹配选项． 【详解】∵有意义， ∴， 解得． 选项中只有，满足条件． ∴的值可以是0． 故选D． 2. 如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ∵， ． 故选：C． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了使用配方法解方程，将常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 4. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线的顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 5. 若是最简二次根式，则a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵时，，根号下有分母，不最简二次根式； ∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式； ∵时，，可化简，不是最简二次根式； ∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式． 故选：B． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；通过将方程化为标准形式，计算判别式Δ的值，根据Δ的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选B． 7. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3面朝上”是（ ） A. 确定事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据抛掷骰子时，点数为3的面朝上可能发生，也可能不发生，进行判断即可． 【详解】解：∵抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上可能发生，也可能不发生， ∴该事件是随机事件； 故选B． 8. 如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由三角形外角的性质可判断A，从而可得答案． 【详解】解：A．根据三角形外角的性质知，故选项A不能判定的相似； B．∵，∴，且不是夹角，由已知条件无法判定两三角形相似故选项B不能判定与相似； C．∵，∴，又，∴，故选项C能判定与相似； D．∵，∴，其中不是与的边，故选项D无法判定与的相似； 故选：C． 9. 如图，在中，，，点D在的延长线上，和的平分线交于点E，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理的运用、角平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 如图，延长到M，过点A作于点，先运用勾股定理求出的值，再证明，进而求出可得结论． 【详解】解：如图，延长到M，过点A作于点， ，， ， ， ， 过点E作于点F，于点G，于点H， 和的平分线交于点E， ∴， ∴， 平分， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 已知点均在抛物线上，其中．若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证得点M(m，y3 )是该抛物线的顶点，根据点P(-2，y1)，Q(4，y2 )均在抛物线上，可知该抛物线开口向下对称轴是直线x =m，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决 【详解】∵ ∴ ∴点M(m， y3 )是该抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为x=m， ∵点P(-2， y1)， Q(4， y2)均在抛物线上，且 ∴ 解得m> 1， 故选： B． 【点睛】本题考查抛物线的图像性质，对称轴，熟练掌握抛物线的性质是关键 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定特殊角的三角函数值，再根据实数运算法则计算结果即可． 【详解】解；∵， ∴原式 ． 12. 若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 13. 将抛物线向下平移5个单位，所得抛物线的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换．根据“上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移5个单位，根据“上加下减”的规律，所得抛物线的函数解析式为， 故答案为： 14. 如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，在线段上有一点，若点到边的距离为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，根据点到边距离的定义和中点的定义，得到、的长度，根据勾股定理得到的长度，根据平行线对应线段成比例，得到的长度． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵点到边的距离为， ∴，， ∵正方形的边长为，点是边上的中点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④．其中正确结论是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质： ①证明为等边三角形，得到，结合，即可证明结论正误； ②证明，．即可证明结论正误； ③求得，证明，得到，进而求得，得到为等边三角形，即可证明结论正误； ④过点作的垂线，交于点，可证得，得到，根据和，即可证明结论正误． 【详解】因为四边形为矩形， 所以． 因为． 所以为等边三角形． 所以，． 所以点在线段的垂直平分线上． 因为． 所以点在线段的垂直平分线上． 所以垂直平分． 结论①正确 因为为等边三角形，， 所以，，． 所以． 因为， 所以． 所以，，． 所以，． 所以． 结论②正确 因为， 所以． 在和中 ，，， 所以． 所以，． 在和中 ，，， 所以． 所以． 所以． 所以为等边三角形． 所以． 结论③正确 过点作的垂线，交于点． 所以． 因， 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 因为为等边三角形，， 所以． 所以． 因为， 所以，． 因为， 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 结论④错误 综上所述，结论正确的是①②③ 故答案为：①②③ 16. 关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及利用端点函数值符号判断根的分布是解题的关键．本题需分两种情况讨论：一是方程有且只有一个实数根且在范围内；二是方程有两个不相等实数根，但只有一个根在范围内．通过判别式、二次函数对称轴的符号来求解的取值范围． 【详解】解：情况一：方程只有一个解且在范围时， ，即， 解得， ， ， ， 情况二：当方程有两个不相等实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得或， ∵方程在的范围内有实数根， ∴，不等式组无解， 或 ，解得， ∴m取值范围或． 故答案为：或 三、解答题：共9小题，共86分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和特殊角的三角函数值计算即可． 详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 或， 或， 所以方程的解为，． 19. 书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． （1）甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率． （1）甲从四个书院中随机选择，每个书院被选中的概率相等，白鹿洞书院对应，故概率为． （2）甲、乙分别选择书院，总共有16种等可能结果，通过列表找出包含应天书院（）的结果有7种，故概率为 ． 【小问1详解】 解：共有4个书院，甲选择讲解白鹿洞书院（）的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 甲乙 共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”（）的结果有7种，即、、、、、、。 ∴甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率为． 20. 某远光商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】（1）该商品连续两次下降的百分率为 （2）每件商品应降价5元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用百分率问题和销售问题，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键 （1）设每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可； （2）设每件商品应降价元，根据每天要想获得1020元的利润，列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该商品连续两次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价元， 根据题意，得， 解得或， ∵为尽快减少库存， ∴， 答：每件商品应降价5元． 21. 在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 【答案】米 【解析】 【分析】根据题意可证，结合三角形相似的性质计算长度即可． 【详解】解：∵点 是线段的十等分点，且， ∴ （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得， （米）． 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是格点，是网格线上一点（不是格点）．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，先在上画点，使；再在上画点，使． （2）在图（2）中，在上画点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格特点找到点，使得，再根据等边对等角即可得出，根据网格特点找到点，则四边形为平行四边形，故，从而可得； （2）取格点，连接、，先证明为等腰直角三角形，即，取格点、、，连接交于点，连接交于点，由网格特点可得，，，证明，得出，再由正切的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接，取格点，连接交于点， 由勾股定理可得：， ∴，即点即为所求， 由网格特点可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，即点即为所求； 【小问2详解】 解：如图中，取格点，连接、， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， 取格点、、，连接交于点，连接交于点， 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 已知抛物线：（为常数）的对称轴是直线． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若抛物线经过轴的正半轴，在该抛物线上有两个不重合的点和，满足线段，求的值． 【答案】（1）或． （2）或． 【解析】 【分析】（1）由，求出，则抛物线的函数解析式为或，即可解答． （2）先求出得到抛物线的函数解析式为：，过点分别作轴，轴的垂线交于点，推导出是直角三角形，得到，，或，分别求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线：（为常数）的对称轴是直线， ， ． 抛物线的函数解析式为：或． 【小问2详解】 解：若抛物线经过轴的正半轴， ， 抛物线的函数解析式为：． 如图，过点，分别作轴，轴的垂线交于点． 是直角三角形． ， 即， 是直角三角形， ， ， ， 即． 或． 或． 或 或． 24. 材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． （1）已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． （2）证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． （3）若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形，列出方程求解并验证即可； （2）方法一：假设存在，则，即，再由根的判别式判断即可；方法二：对进行变形即可判断； （3）根据“双倍快乐数”的定义，结合根的判别式可得，再结合实数的运算求解． 【小问1详解】 解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． 【小问2详解】 方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 【小问3详解】 解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 25. 综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点，，，分别在边、、、上，且，若，则的长为______． ②如图（2），在矩形中，，点，，，分别在边、、、上，且，若，则的长为______． （2）迁移探究 如图（3），在中，，，点、分别在边，上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，，平分交于点，点为线段上一点，交于点，交直线于点，过点作交于点．若的面积为，求的长． 【答案】（1）①；②4；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，用方程思想解决几何问题等知识点． （1）①过点作于点，过点作于点，通过证明，得到的长度． ②过点作于点，过点作于点，通过证明，根据对应线段成比例，得到的长度． （2）过点作交的延长线于点，通过证明，得到，通过证明，得到对应边成比例，继而得到． （3）首先证明，得到，再证明，得到，，设，则，通过证明，得到对应边成比例，继而得到关于的表达式，继而得到关于的表达式，代入面积值解得的值，继而得到的长度． 【详解】解：（1）①如图，过点作于点，过点作于点，则， ∴四边形，是矩形， ∴， 设交于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点，则， ∴四边形，是矩形， ， 设交于点，则， ， 又 ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：如图，过点作交的延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解： 在矩形中，平分，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， 设，则， ，， ， ，， ，， ， ， 解得或， 则，即，或， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末教学质量监测初三年级数学试题 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卡的相应位置内作答． 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 2. 如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 5. 若是最简二次根式，则a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（ ） A 确定事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 8. 如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点D在的延长线上，和的平分线交于点E，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点均在抛物线上，其中．若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ______． 12. 若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 13. 将抛物线向下平移5个单位，所得抛物线的函数解析式为________． 14. 如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，在线段上有一点，若点到边的距离为，则的长为______． 15. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④．其中正确结论是______． 16. 关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为_______． 三、解答题：共9小题，共86分． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． （1）甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 20. 某远光商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价多少元？ 21. 在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是格点，是网格线上一点（不是格点）．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，先在上画点，使；再在上画点，使． （2）图（2）中，在上画点，使． 23. 已知抛物线：（为常数）的对称轴是直线． （1）求抛物线函数解析式； （2）若抛物线经过轴的正半轴，在该抛物线上有两个不重合的点和，满足线段，求的值． 24. 材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． （1）已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． （2）证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． （3）若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 25. 综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点，，，分别在边、、、上，且，若，则的长为______． ②如图（2），在矩形中，，点，，，分别在边、、、上，且，若，则长为______． （2）迁移探究 如图（3），在中，，，点、分别在边，上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，，平分交于点，点为线段上一点，交于点，交直线于点，过点作交于点．若的面积为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $