精品解析：福建泉州市晋江市季延中学教育集团校晋江市季延初级中学等2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 使有意义的的取值可以是（ ） A 3 B. 0 C. -1 D. -2 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 6. 如图的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ） A B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 8. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11 计算：=_________． 12. 下列事件中，①掷两次骰子，点数和为；②守株待兔；③猴子捞月；④相似三角形对应高的比等于相似比；其中是必然事件的有_____ ．（填序号） 13. 在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为_________． 14. 如图中每个小正方形的边长均相等，则的值为______ ． 15. 小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：__________ 16. 如图，矩形中，E，F分别在，上，将四边形沿翻折，使点A的对称点P落在上，点B的对称点为点G，交于H．连接，若P为中点，H为中点，则的值为_____． 三、计算题：本大题共9小题，共86分． 17. 计算：． 18. 解一元二次方程：． 19. 已知关于的方程． （1）若此方程的一个根为，求的值； （2）求证：无论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．设降价元． （1）平均每天的销售数量为___________件（用含的式子表示）， （2）该商店每天的销售利润能达到元吗？若能达到，请求出的值：若不能达到，请说明理由． 21. 某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： ①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： ①若取出的是黄球，则获得奖品． ②若取出的是白球，则获得奖品． （1）该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是_________ ． （2）若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案及获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案及获奖规则下的概率分别相等． 22. 已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 23. 已知实数a，b，c，且． （1）若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） （2）若，且，，求c的最小值． 24. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： （1）计算： _________； （2）如图2，在中，，求的长； （3）已知，且，求的值． 25. 如图，在正方形中，点E是边上的一点，以为对角线作正方形，分别交、于点K、H． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）连结，试判断与的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 使有意义的的取值可以是（ ） A. 3 B. 0 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：有意义， ， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义进行解答． 【详解】解：A、被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项符合题意； B、被开方数是10，所以与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、被开方数是3，所以与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、被开方数是3，所以与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，直接根据顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ． 故选B． 4. 已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坡度与坡角的关系及特殊角的三角函数值，解题关键是明确坡度为坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值求解． 【详解】解：∵斜坡的坡度，且， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6. 如图的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光概率为， 故选：B． 7. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算、无理数的估算，解题关键是熟练掌握二次根式的混合运算． 先进行二次根式的混合运算，再运用算术平方根知识进行估算、求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 即在和之间， 的值在和之间． 故选：． 8. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 9. 如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．连接，根据三角形重心的性质可知：在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的重心，点是边的中点， ∴在上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的面积为，则的面积为，的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴的面积是． 故选：C． 10. 已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的对称性，解题关键是根据二次函数的对称性推得． 先根据与轴的两点求出对称轴，再利用点与的对称性得到与的关系，最后结合的范围求出的范围． 【详解】解：二次函数的图象过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即抛物线过点，且点不在坐标轴上， 点与点关于对称轴对称， ，即， ， ，即． 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 计算：=_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算将式子展开，然后进行加减运算即可. 【详解】原式=3-1=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的基本运算，属于比较容易的题目. 12. 下列事件中，①掷两次骰子，点数和为；②守株待兔；③猴子捞月；④相似三角形对应高的比等于相似比；其中是必然事件的有_____ ．（填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的性质判定，准确理解是解题的关键．先明确必然事件的定义，再逐一判断每个事件的类型，筛选出属于必然事件的序号． 【详解】解：根据事件的分类定义：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件. ①掷两次骰子，点数和为，存在点数和不为情况，属于随机事件，不符合题意； ②守株待兔，兔子撞到树桩是偶然情况，属于随机事件，不符合题意 ③猴子捞月，月亮在水中的倒影无法被捞取，属于不可能事件，不符合题意； ④由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，该事件一定发生，属于必然事件，符合题意． 故答案为：④． 13. 在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为_________． 【答案】作图见解析， 【解析】 【分析】根据点A、B的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示： ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系、在坐标系中确定点的坐标，根据点A、B的坐标确定原点的位置是解题的关键． 14. 如图中的每个小正方形的边长均相等，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是判断出是等腰直角三角形．判断出是等腰直角三角形可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由题意得： ， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 16. 如图，矩形中，E，F分别在，上，将四边形沿翻折，使点A的对称点P落在上，点B的对称点为点G，交于H．连接，若P为中点，H为中点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质，得，直线，，，是等腰三角形，则，根据P为中点，H为中点，得出，，证明，则，再证明，则，即可作答． 【详解】解：在矩形中，， 如图：延长，交于一点M，连接， ∵E，F分别在，上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上， ∴，，，，直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵P为中点， ∴设， ∴， ∵H为中点， ∴， 在和中， , , ,, , ， 在中，, , , 在中，， ， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、计算题：本大题共9小题，共86分． 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解答本题的关键． 方程利用公式法求解即可． 【详解】解： 整理，得， ∵， ∴， ∴ 解得： 19. 已知关于的方程． （1）若此方程的一个根为，求的值； （2）求证：无论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，进行解答，即可． （1）根据此方程的一个根为，把代入，解出，即可； （2）根据方程都有两个不相等的实数根，则验证，即可． 【小问1详解】 解：∵此方程一个根为， ∴代入， ∴， 解得：． 【小问2详解】 证明，如下： ∵关于的方程为， ∴， ， ， ， ∵无论为何值，； ∴， ∴无论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．设降价元． （1）平均每天的销售数量为___________件（用含的式子表示）， （2）该商店每天的销售利润能达到元吗？若能达到，请求出的值：若不能达到，请说明理由． 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用； （1）利用平均每天的销售量=每件降低的价格，即可求出结论； （2）设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，根据该商店每天销售该种商品的利润为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件盈利不少于元，即可得出每件商品应降价元． 【小问1详解】 解：件． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵每件盈利不少于元，即， ， ． 答：当每件商品降价元时，即，该商店每天销售利润为元． 21. 某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： ①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： ①若取出的是黄球，则获得奖品． ②若取出的是白球，则获得奖品． （1）该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是_________ ． （2）若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案及获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案及获奖规则下的概率分别相等． 【答案】（1） （2）新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球；获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品 【解析】 【分析】本题考查概率公式： （1）共有9种等可能的结果，取出的是黄球的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）原方案“获得奖品”的概率为，“获得奖品”的概率为，结合题意设计新的摸球方案及获奖规则即可． 【小问1详解】 袋中1个黄球，8个白球，从袋中随机摸取一个小球，每次摸球是等可能的， 共有9种等可能的结果，其中该班某位同学取出的是黄球的结果有1种， 即参加该游戏“获得奖品”的结果有1种， ∴该班某位同学参加该游戏概率为 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可知原方案“获得奖品”的概率是， “获得奖品”的概率为， 取走6个白球后，剩余3个球：1个黄球，2个白球， 新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球． 黄球1个，共3球， 第一次摸到黄球的概率：，第二次摸到黄球的概率也是， 两次都摸到黄球的概率：， 两次不全为黄球的概率：， 获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品． 22. 已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作于点E，可证明是等腰直角三角形，得到；求出设，则，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数与y轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴ 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 23. 已知实数a，b，c，且． （1）若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） （2）若，且，，求c的最小值． 【答案】（1） （2）c的最小值为2 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握一元二次方程的求根公式和根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程的求根公式得到，，，则可求出，从而可计算出的值； （2）变形已知条件得到，则，整理得，利用根的判别式的意义得到，解不等式得，从而得到c的最小值为2． 【小问1详解】 解：∵用公式法解得方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴； 小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵关于b的一元二次方程有实数解， ∴， 而， ∴， ∴， ∴c的最小值为2． 24. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： （1）计算： _________； （2）如图2，在中，，求的长； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用给出的三角函数公式，将普通三角形通过作辅助线构造成特殊的直角三角形是解题的关键． （1）利用代入特殊值即可求解； （2）作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足，利用三角函求出相应线段的长即可求出的长； （3）利用进行求解． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解：作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，且， ∴， ∴ ． 25. 如图，在正方形中，点E是边上的一点，以为对角线作正方形，分别交、于点K、H． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）连结，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）判断出∠CEK＝∠CAE，即可得出结论； （2）设DE＝x，则AE＝2x，进而表示出CD，AC，CE，由（1）的三角形相似得出比例式表示出CK，即可求出答案； （3）先判断出△EDH∽△CGH，得出，进而判断出△DHG∽△EHC，得出∠GDH＝∠CEH＝45°，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：在正方形ABCD中，CD＝AD，∠D＝90°， ∵AE＝2DE， ∴设DE＝x， ∴AE＝2x， ∴CD＝AD＝AE＋DE＝3x， 根据勾股定理得，AC＝AD＝3x，CE＝， 由（1）知，△CEK∽△CAE， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，理由如下： 连接， ∵在正方形和正方形中，， 且， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $