1.2整式的乘法全题型 讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

北师大新版七年级数学下册1.2整式的乘法全题型讲义 题型1：单项式乘以单项式（基础运算） 例题1（直接运算：系数×系数，同底数幂×同底数幂） 计算： 解析： 1.系数相乘：(-3)×4=-12； 2.同底数幂相乘：，； 3.合并结果：。 例题2（含幂的乘方+单项式乘法） 计算： 解析： 1.先算幂的乘方：； 2.再算单项式乘法：； 3.结果：。 题型总结 特征：两个或多个单项式相乘，含系数、同底数幂（或含幂的乘方）运算； 技巧：系数相乘（注意符号），同底数幂相乘（指数相加），不同字母分别保留； 步骤：处理符号→系数相乘→同底数幂运算→整理结果。 变式训练（3道） 1.变式1：计算 2.变式2：计算 3.变式3：计算 题型2：单项式乘以单项式求字母或代数式的值 例题1（直接代入求值） 已知x=2，y=-1，求的值。 解析： 1.先化简代数式：； 2.代入x=2，y=-1：； 3.结果：48。 例题2（先求字母值，再代入） 已知，求m+n的值。 解析： 1.左边化简：； 2.等式两边对应指数相等：3+n=7，m+2=5； 3.解方程：n=4，m=3； 4.求m+n：3+4=7。 题型总结 特征：先进行单项式乘法化简，再通过代入字母值或列方程求参数，最终求值； 技巧：化简时确保幂的运算准确，列方程需利用“同底数幂指数相等”； 步骤：化简代数式→求字母/参数值→代入计算→验证结果。 变式训练（3道） 1.变式1：已知a=-1，b=2，求的值 2.变式2：已知，求k的值 3.变式3：已知，，求的值 题型3：单项式乘以单项式的应用 例题1（长方形面积：长×宽） 一个长方形的长为，宽为，求该长方形的面积。 解析： 1.长方形面积公式：面积=长×宽； 2.代入计算：； 3.结果：该长方形面积为。 例题2（长方体体积：长×宽×高） 一个长方体的长为2a，宽为，高为ab，求该长方体的体积。 解析： 1.长方体体积公式：体积=长×宽×高； 2.代入计算：； 3.结果：该长方体体积为。 题型总结 特征：结合几何图形（长方形、长方体）或实际场景，利用单项式乘法计算面积、体积等； 技巧：先明确几何公式或实际数量关系，再将含字母的边长/维度代入计算； 步骤：确定计算公式→代入含字母的量→单项式乘法运算→整理结果（注明单位）。 变式训练（3道） 1.变式1：一个长方形的长为4xy，宽为，求其面积 2.变式2：一个长方体的长为(-2x)，宽为，高为xy，求其体积 3.变式3：已知长方形面积为，长为，求宽 题型4：单项式乘以多项式 例题1（直接应用分配律） 计算： 解析： 1.应用乘法分配律：； 2.分别计算单项式乘法：； 3.结果：。 例题2（含符号与系数） 计算： 解析： 1.应用分配律：； 2.逐项计算：； 3.结果：。 题型总结 特征：单项式与多项式相乘，需将单项式分别与多项式的每一项相乘，再相加； 技巧：注意符号运算（负号乘每一项要变号），不遗漏常数项； 步骤：分配单项式→逐项相乘→合并同类项（若有）→整理结果。 变式训练（3道） 1.变式1：计算 2.变式2：计算 3.变式3：计算 题型5：单项式乘以多项式求字母或代数式的值 例题1（化简后代入求值） 先化简，再求值：3x·(2x-1)-2x·(3x+2)，其中x=-1。 解析： 1.展开化简：； 2.代入x=-1：-7×(-1)=7； 3.结果：7。 例题2（含参数的求值） 已知x=2时，代数式x·(ax-3)-2x·(x+1)的值为8，求a的值。 解析： 1.化简代数式：； 2.代入x=2，值为8：(a-2)×4-10=8； 3.解方程：4(a-2)=18→→； 4.结果：。 题型总结 特征：先通过单项式乘多项式化简代数式，再代入字母值或列方程求参数/代数式值； 技巧：化简时合并同类项要彻底，列方程需准确代入已知条件； 步骤：化简代数式→代入已知条件/列方程→求解→验证。 变式训练（3道） 1.变式1：先化简，再求值：，其中a=-2 2.变式2：已知x=-3时，x·(mx+4)-3x·(x-1)=-27，求m的值 3.变式3：已知，求n的值（恒成立问题） 题型6：多项式乘以多项式（逐项相乘） 例题1（基础多项式相乘） 计算：(x+3)(x-5) 解析： 1.逐项相乘（先用第一个多项式每一项乘第二个多项式每一项）：x·x-x·5+3·x-3·5； 2.合并同类项：； 3.结果：。 例题2（含常数项与字母项） 计算：(2a-b)(3a+2b) 解析： 1.逐项相乘：2a·3a+2a·2b-b·3a-b·2b； 2.计算并合并同类项：； 3.结果：。 题型总结 特征：两个多项式相乘，需“不漏项、不重项”，先逐项相乘，再合并同类项； 技巧：可用“十字相乘法”快速运算（适用于二次三项式），注意符号与系数； 步骤：逐项相乘→合并同类项→整理为标准多项式形式（降幂排列）。 变式训练（3道） 1.变式1：计算(m-2)(m+4) 2.变式2：计算(3x+2y)(2x-3y) 3.变式3：计算（立方差公式雏形） 题型7：多项式乘以多项式求字母或代数式的值 例题1（化简后代入求值） 先化简，再求值：，其中x=3。 解析： 1.分别展开：； 2.合并同类项：； 3.代入x=3：2×9-9-5=18-14=4； 4.结果：4。 例题2（含参数与恒成立） 已知，求a+b的值。 解析： 1.左边展开：； 2.等式两边对应项系数相等：2a=6，a+2=b； 3.解方程：a=3，b=5； 4.求a+b：3+5=8。 题型总结 特征：先展开多项式乘法并化简，再通过代入求值或“系数对应相等”列方程求参数； 技巧：恒成立问题需保证对应项系数、常数项均相等，化简时同类项合并要彻底； 步骤：展开化简→列方程/代入值→求解参数/代数式→验证。 变式训练（3道） 1.变式1：先化简，再求值：，其中x=-2 2.变式2：已知，求m、n的值 3.变式3：已知，求a、b、c的值 题型8：多项式乘以多项式求图形的面积（几何应用） 例题1（长方形面积：多项式表示边长） 一个长方形的长为(x+4)，宽为(x-2)，求该长方形的面积。 解析： 1.面积公式：面积=长×宽； 2.多项式相乘：； 3.结果：该长方形面积为。 例题2（组合图形面积：分割后求和） 如图，一个大长方形由两个小长方形组成，第一个小长方形长为(a+3)，宽为b；第二个小长方形长为(2a-1)，宽为b，求大长方形的面积。 解析： 1.方法一（分割求和）：(a+3)b+(2a-1)b=ab+3b+2ab-b=3ab+2b； 2.方法二（整体边长）：大长方形长为(a+3+2a-1)=3a+2，宽为b，面积=(3a+2)b=3ab+2b； 3.结果：大长方形面积为3ab+2b。 题型总结 特征：边长用多项式表示，通过多项式乘法计算图形面积（单个图形或组合图形）； 技巧：组合图形可先分割为熟悉图形（长方形、正方形），再求和或差； 步骤：确定图形组成→表示边长（单个/整体）→多项式乘法运算→化简结果（注明单位）。 变式训练（3道） 1.变式1：一个正方形的边长为(2x+1)，求其面积 2.变式2：一个长方形的长为(3x+2y)，宽为(2x-y)，求其面积 3.变式3：组合图形由长为(x+2)、宽为x的长方形和边长为x的正方形组成，求总面积 题型9：整式乘积中不含某项求字母或代数式的值 例题1（不含一次项，求参数） 若的展开式中不含项和x项，求a、b的值。 解析： 1.展开多项式：； 2.不含项和x项，系数为0：； 3.解方程：a=-2，b=4； 4.结果：a=-2，b=4。 例题2（不含常数项，求代数式的值） 若(2x-m)(x+3)的展开式中不含常数项，求的值。 解析： 1.展开多项式：； 2.不含常数项，常数项为0：-3m=0→m=0； 3.代入求代数式值：； 4.结果：0。 题型总结 特征：整式乘积展开后，指定项（如项、x项、常数项）的系数为0，求参数或代数式值； 技巧：先完整展开并合并同类项，再令指定项的系数等于0，列方程求解； 步骤：展开整式→合并同类项→令指定项系数为0→解方程求参数→代入求代数式值。 变式训练（3道） 1.变式1：若的展开式中不含常数项，求a的值 2.变式2：若(3x+b)(2x-5)的展开式中不含x项，求b的值及展开式 3.变式3：若的展开式中项的系数为3，求a的值 题型10：整式乘积中遮挡或看错求字母或代数式的值 例题1（遮挡项求参数） 小明在计算(x+3)(x+b)时，不小心遮挡了b的值，展开后发现常数项为9，求b的值及展开式。 解析： 1.展开多项式：； 2.常数项为9：3b=9→b=3； 3.完整展开式：； 4.结果：b=3，展开式为。 例题2（看错系数后修正求值） 小红计算(2x+a)(x-1)时，误将“2x”看成“3x”，展开后得，求正确展开式中a、b的实际值。 解析： 1.错误展开式：； 2.错误展开式中常数项相等：-a=-2→a=2； 3.错误展开式中x项系数：a-3=b→2-3=b→b=-1； 4.正确展开式：； 5.结果：实际a=2，b=-1（错误展开式的b），正确展开式为。 题型总结 特征：因遮挡或看错系数导致部分信息缺失，通过已知条件（如常数项、某一项系数）反推参数； 技巧：先根据错误/部分信息列方程求参数，再验证或修正得到正确结果； 步骤：根据已知信息展开（错误/部分）多项式→列方程求参数→修正错误（若有）→得到正确结果。 变式训练（3道） 1.变式1：计算(x-2)(x+c)时，遮挡了c，展开后x项系数为5，求c的值 2.变式2：误将(x+a)(x-4)看成(x-a)(x-4)，展开得，求正确展开式 3.变式3：计算(ax+3)(x-1)时，遮挡了a，展开后不含x项，求a的值 题型11：整式乘积中整体思想求代数式的值 例题1（整体代入求值） 已知x+y=5，xy=3，求(x+2)(y+2)的值。 解析： 1.展开代数式：xy+2x+2y+4=xy+2(x+y)+4； 2.整体代入x+y=5，xy=3：3+2×5+4=3+10+4=17； 3.结果：17。 例题2（整体转化求值） 已知，求(a+1)(a-4)的值。 解析： 1.展开代数式：； 2.整体代入：2-4=-2； 3.结果：-2。 题型总结 特征：不直接求单个字母值，而是将已知的“代数式整体”代入展开后的整式，求值； 技巧：先展开所求整式，再通过变形转化为含已知整体的形式； 步骤：展开所求整式→变形转化（凑已知整体）→整体代入→计算结果。 变式训练（3道） 1.变式1：已知m-n=3，mn=2，求(m+1)(n-1)的值 2.变式2：已知，求(x+2)(x-1)的值 3.变式3：已知2a-b=4，求(2a-b)(a+2b)+(2a-b)(a-3b)的值 题型12：整式乘积中规律探索 例题1（多项式乘积规律） 观察下列等式： ； ； ； … 根据规律，求的结果，并计算。 解析： 1.找规律：左边第二个多项式的次数为k，右边结果为； 2.归纳结论：； 3.应用规律计算：； 4.结果：规律结论为，计算结果为。 例题2（系数规律） 观察（系数和为1+3+2=6）； （系数和为1+6+11+6=24）； … 求(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的系数和。 解析： 1.规律：多项式系数和=将x=1代入多项式的值； 2.代入计算：(1+1)(1+2)(1+3)(1+4)=2×3×4×5=120； 3.结果：系数和为120。 题型总结 特征：通过前几项多项式乘积的结果，归纳次数、系数、结果形式等规律，再应用规律求解； 技巧：横向对比结果与原式的关系（次数、常数项、系数和），纵向找递推规律； 步骤：计算前几项→对比分析找规律→归纳结论→应用规律求解。 变式训练（3道） 1.变式1：根据例题1规律，计算 2.变式2：观察，求(x+1)(x+2)(x+3)的常数项 3.变式3：探索的规律，并计算 题型13：整式乘积中的新定义运算 例题1（新定义+多项式乘法） 定义新运算：a⊗b=(a+b)(a-2b)，求2⊗(x+1)的结果。 解析： 1.理解新定义：a=2，b=x+1，代入公式； 2.多项式相乘：(2+x+1)(2-2(x+1))=(x+3)(2-2x-2)=(x+3)(-2x)； 3.化简结果：； 4.结果：。 例题2（新定义+化简求值） 定义新运算：m*n=m(m+n)-n(m-n)，求(x+1)*(x-1)的值，并代入x=2计算。 解析： 1.展开新定义：(x+1)(x+1+x-1)-(x-1)(x+1-(x-1))； 2.化简：； 3.代入x=2：2×4+2=10； 4.结果：化简结果为，代入值为10。 题型总结 特征：定义新运算规则，规则中含整式乘法，需先理解定义，再转化为整式运算； 技巧：“翻译”新定义为熟悉的整式乘法形式，严格按规则分步运算； 步骤：理解新规则→代入对应整式→整式乘法运算→化简（求值）。 变式训练（3道） 1.变式1：定义a⊕b=(a-3b)(2a+b)，求3⊕(2x)的结果 2.变式2：定义，化简x*(x-1) 3.变式3：定义，求(2x)△(3y)的结果，并代入x=1，y=-1求值 题型14：整式乘积中方程思想求参数 例题1（含参数的方程，求参数） 已知，求m、n的值。 解析： 1.左边展开：； 2.与右边对比，系数相等：m=1，n=-6； 3.结果：m=1，n=-6。 例题2（含参数的方程，求字母值） 已知，求a、b的值，并解关于x的方程ax+b=0。 解析： 1.左边展开：； 2.系数对应相等：； 3.解方程求a、b：a=2，b=-2； 4.解方程2x-2=0：x=1； 5.结果：a=2，b=-2，方程的解为x=1。 题型总结 特征：通过整式乘法展开，利用“对应项系数相等”列方程，求参数或解关于字母的方程； 技巧：确保展开式正确，同类项合并彻底，列方程时对应项不混淆； 步骤：展开整式→合并同类项→列方程（系数/常数项相等）→求解参数/方程。 变式训练（3道） 1.变式1：已知，求a、b的值 2.变式2：已知，求m+n的值 3.变式3：已知，求a、b、c的值 变式训练参考答案 题型1：单项式乘以单项式 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型2：单项式乘以单项式求字母或代数式的值 1.变式1：，代入得 2.变式2：3+k=5→k=2 3.变式3： 题型3：单项式乘以单项式的应用 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型4：单项式乘以多项式 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型5：单项式乘以多项式求字母或代数式的值 1.变式1：，代入得2×(-8)-3×4=-16-12=-28 2.变式2：(m-3)×9-5×(-3)=-27→9m-27+15=-27→m=-1 3.变式3：恒成立，n为任意正整数 题型6：多项式乘以多项式 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型7：多项式乘以多项式求字母或代数式的值 1.变式1：，代入得4-6-4=-6 2.变式2：→n-6=n（恒成立），-15=-15，m=-5 3.变式3：→a=2，b=3，c=3 题型8：多项式乘以多项式求图形的面积 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型9：整式乘积中不含某项求字母或代数式的值 1.变式1：展开得，常数项-a=0→a=0 2.变式2：展开得，x项系数2b-15=0→，展开式为 3.变式3：展开得，项系数a-2=3→a=5 题型10：整式乘积中遮挡或看错求字母或代数式的值 1.变式1：展开得，x项系数c-2=5→c=7 2.变式2：错误展开得→a=2，正确展开式为 3.变式3：展开得，则3-a=0→a=3 题型11：整式乘积中整体思想求代数式的值 1.变式1：展开得mn-m+n-1=mn-(m-n)-1=2-3-1=-2 2.变式2：展开得 3.变式3：直接代入得4（a+2b）+4（a-3b）=4（2a-b）=16 题型12：整式乘积中规律探索 1.变式1： 2.变式2：常数项为1×2×3=6 3.变式3：规律为，计算结果为 题型13：整式乘积中的新定义运算 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3：，代入得24×1×(-1)=-24 题型14：整式乘积中方程思想求参数 1.变式1：展开得→4a=12，4-a=b→a=3，b=1 2.变式2：展开得→m=-1，n=-2→m+n=-3 3.变式3：a=3，b=6，c=12 学科网（北京）股份有限公司 $