第23章 四边形（单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第23章 四边形·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（ ） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．④可表示对角线互相平分 3．一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 4．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 6．如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（    ） A．7 B． C．9 D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 8．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是____________________（写出一种情况即可）． 9.已知等腰梯形的两条对角线互相垂直，高为，则其面积为 ． 10．如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是______． 11.如图，矩形中，，垂足为E，且，，则 ． 12．如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 13．如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为______． 14．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为______． 15．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为 ． 16．如图，在矩形中，，，E为边上一点，连接，将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线上．连接，与相交于点O，则______． 17．在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 18．如果三角形的其中两条中线是垂直的，则称这个三角形为“优美三角形”，两条垂直的中线的比值（较短中线与较长中线的比值）为“优美值”；已知是“优美三角形”，且，则的“优美值”是___________； 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图，点E，F是对角线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 20.（6分）如图，在中，点E为中点，延长交于点F， 联结．    (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 21．（6分）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 22．（6分）如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 23．（7分）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出两个问题：四边形有没有？如果有，它的重心如何确定？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②当两个面积相等的三角形拼成一个四边形时，四边形的重心是连接这两个三角形重心的线段的中点． 根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并指出所作四边形的重心；（不用写作法，写出结论） (2)直接写出线段与线段的比值． 24．（9分）【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】 （2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 25．（9分）综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 26．（9分）小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． (1)折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； (2)转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求的面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第23章 四边形·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（ ） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．④可表示对角线互相平分 3．一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 4．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 6．如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（    ） A．7 B． C．9 D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 8．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是____________________（写出一种情况即可）． 9.已知等腰梯形的两条对角线互相垂直，高为，则其面积为 ． 10．如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是______． 11.如图，矩形中，，垂足为E，且，，则 ． 12．如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 13．如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为______． 14．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为______． 15．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为 ． 16．如图，在矩形中，，，E为边上一点，连接，将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线上．连接，与相交于点O，则______． 17．在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 18．如果三角形的其中两条中线是垂直的，则称这个三角形为“优美三角形”，两条垂直的中线的比值（较短中线与较长中线的比值）为“优美值”；已知是“优美三角形”，且，则的“优美值”是___________； 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图，点E，F是对角线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 20.（6分）如图，在中，点E为中点，延长交于点F， 联结．    (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 21．（6分）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 22．（6分）如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 23．（7分）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出两个问题：四边形有没有？如果有，它的重心如何确定？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②当两个面积相等的三角形拼成一个四边形时，四边形的重心是连接这两个三角形重心的线段的中点． 根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并指出所作四边形的重心；（不用写作法，写出结论） (2)直接写出线段与线段的比值． 24．（9分）【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】 （2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 25．（9分）综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 26．（9分）小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． (1)折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； (2)转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求的面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第23章四边形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 月要求的) 1.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,添加下列一个条件后，不能使▣ABCD成为矩形的 是() A.AC=BD B.∠ABC=90° C.AC⊥BD D.AB2+AD2=BD2 【答案】C 【详解】解：A、:四边形ABCD是平行四边形，AC=BD, :口ABCD是矩形， 故本选项不符合题意； B、:四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， 口ABCD是矩形， 故本选项不符合题意； C、:四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, ABCD是菱形， 故本选项符合题意： D、AB2+AD2=BD2, △ABD是直角三角形， .∠BAD=90°， :四边形ABCD是平行四边形， 口ABCD是矩形， 故本选项不符合题意： 故选：C. 1/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是() ① 矩形 平行 ② 四边形 正方形 3 ④ 菱形 四边形 A.①可表示一个角是直角 B.②可表示对角线互相平分、垂直 C.③可表示一组邻边相等 D.④可表示对角线互相平分 【答案】D 【详解】A、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B不符合题意； C、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项C不符合题意： D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D 3.一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为540°，则原多边形边数为() A.4 B.6 C.4或6 D.4或5或6 【答案】D 【详解】解：设新多边形边数为n, :新多边形内角和为540°， (n-2)×180°=540°， 解得n=5, 若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示： .原多边形边数为4或5或6， 故选：D 4.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点， EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG的值为() 2/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D G 30 c. 60 B. p. 12 13 【答案】C 【详解】解：作CH⊥BD于点H,连接OE, D :四边形ABCD是矩形， :.AC=BD.OC=0A=1AC,OB=OD=1BD, 2 :0C=0B, ∠BCD=90°，CD=AB=5,BC=AD=12, BD=VCD2+BC2=V52+122=13, 0C=0B=x13=13 2 2 BD-CH=1BC-CD=S.uc. 2 2x13-CH=)x5x12. 2 解得：CH=60 13 :EF⊥AC,EG⊥BD,ScoE+SBoE=S.Boc, CF0EG-OBCH .EF+EG=CH =60 3 故选：C. 5.在口ABCD中，对角线AC,BD的长是关于x的一元二次方程a2+2x-1=0的两个根，则k的取值范围 是（). 3/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.k2-1且k≠0 B.-1≤k<0 C.k≤-1 D.-1<k<0 【答案】B 【详解】解：设一元二次方程x2+2x-1=0的两个根为x1,:, 由题意得，x>0,x2>0, 由根与系数的关系可得，x+x,= 2>0,X= >0, 解得：k<0, :一元二次方程x2+2x-1=0有实数根， 4=22-4×k×(-1≥0， 解得：k之-1， k的取值范围是-1≤k<0. 故选：B 6.如图，在正方形ABCD中，M,N分别为CD,BC边上的点，且AM⊥DN,AM与DN交于点P,连 接AN,Q为AN中点，连接PQ,若AB=15,DM=7,则PQ的长为() D M C 0 B A.7 C.9 D. 【答案】B 【详解】解：：AM⊥DN :∠APD=∠MPD=∠APN=90° :四边形ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA=15,∠ADC=∠BCD=∠B=90°， .∠DAM+∠AMD=90°，∠ADP+∠CDN=90°，∠CDN+∠CND=90°， ∠AMD+∠CDN=90° :.∠DAM=∠CDN 在△MAD和△NDC中， 4/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAM=∠CDN AD=CD ∠MAD=∠NDC △MAD≌ANDC(ASA】 :DM=CN=7 .NB=BC-CN=15-7=8 AN=V152+82=17 ~Q为AN的中点 故选：B. 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 【答案】6 【详解】设这个多边形的边数为n, 根据题意列方程得(n-2)×180°=2×360°， 解得n=6. 8.如图，在ABCD中，M,N是BD上的两点，BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,为使得四边 形AMCN是矩形，可以添加的一个条件是 (写出一种情况即可). D B 【答案】∠AMC=90°（答案不唯一） 【详解】解：添加的一个条件是：∠AMC=90°. 理由如下：：四边形ABCD是平行四边形， ..0A=0C,OB=OD, BM =DN OB-BM=OD-DN,即OM=ON, :.四边形AMCN是平行四边形， 5/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：∠AMC=90°， :.四边形AMCN是矩形，添加的条件符合要求. 故答案为：∠AMC=90°（答案不唯一）. 9.己知等腰梯形的两条对角线互相垂直，高为5，则其面积为」 【答案】25 【详解】解：作DF垂直BE于F,DE∥AC交BE的延长线于点E, :AC⊥BD, ∠BDE=∠B0C=90°，DF=5, :四边形ABCD的等腰梯形， AD∥BC,AC=BD, :.四边形ACED是平行四边形， .DE=AC,AD=CE, :BD=DE, ∴.∠DBE=∠DEB=45°， :BF=FE DF=5, 梯形面积为：DF(4D+BC)=DFC+BC=DF-BE=x10x5=25. 故答案为：25， 10.如图，在ABC中，点O为三角形的重心，D为0C中点，若ABC的面积为24，则△BOD的面积是 B 【答案】4 【详解】解：如图所示，延长AO,交BC于点E, :点O是ABC的重心， 6/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AE是ABC的中线， SAE=S.ACES.OME=S.OCE .S.ABE-S.OBE SACE -S.OCE 即S.HB0=SAco, 同理，S。4Bo=S4c0=S.BC0: S.ABC=24, ÷S4B0=S4c0=SBC0=8. :D是OC的中点， ,.SBOD三5SBcO=4 故答案为：4. 11.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E,且BE:ED=1:3,AB=4cm,则AD= cm E B 【答案】45 【详解】解：~四边形ABCD是矩形， ∠B4D=90,0A=0c=4C,0B=0D=58D,且4C=BD. ∴OA=OB=OD=-BD, AE⊥BD,且BE:ED=1:3, .BE=-1BD=IBD, 1+3 4 OE-OB-BE-1BD-1BD-1BD. 2 4 7132 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BE =0E, ·AE垂直平分OB, ∴0A=0B=AB=4cm, ..BD =20B =8cm ÷AD=VBD2-AB2=V82-42=4V5(cm), 故答案为：45. 12.如图，菱形ABCD对角线AC与BD相交于点O,E为BC的中点，菱形ABCD周长为24cm,则OE的 长为 cm, B E 【答案】3 【详解】解：：四边形ABCD是菱形， :AB=BC=CD=DA,O是AC的中点. :菱形ABCD的周长为24cm, .AB=BC=CD=DA 24-6cm 4 又：E为BC的中点， .在△ABC中，OE是中位线， 1 1 OE=5AB=5×6=3cm. 2 故答案为：3. 13.如图，ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB=90°，AD=DF,若 AB=10,BC=18,则EF的长为· 【答案】4 【详解】解：：AD=DF, 8/32 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AFD=∠DAF, :∠AFB=90°， ∠DAF+∠ABF=∠AFD+∠BFD=90°， ∴∠ABF=∠BFD, :BD=DF, .AD BD, :点D是AB的中点， 05=0=5, 又：E是AC边上的中点， :DE是ABC的中位线， :DE=BC=9, EF=DE-DF=9-5=4, 故答案为：4. 14.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别在边AB,BC上，△DEF为等边三角形，DG⊥AB .若AD=6,AE=4,则EF的长为· D GE B 【答案】27 【详解】解：如图，连接BD, D GE B :四边形ABCD为菱形， :AB=AD=6, 又：∠A=60°， △ABD是等边三角形， 9/32 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DG⊥AB, ·AG=BG= 21B=3, .EG=AE-AG=1, 由勾股定理得，DG=√AD2-AG2=V62-32=3√5， DE=VDG2+EG2=V33'+1P=2万， :△DEF是等边三角形， .EF DE =27. 故答案为：27. 15.(24-25八年级下·上海闵行·期末)如图，四边形ABCD是正方形，DE∥AC,AE=AC,那么∠DCE的 度数为」 B 【答案】30° 【详解】解：如图所示，把ADE绕点A顺时针旋转90°使得AD与AB重合，得到△ABG,连接CG,连接 BD,则∠GAE=90°， E 四边形ABCD为正方形， :AD=AB=BC,∠ABD=∠ACD=45°，∠ADC=90°， :DE‖AC, LEDC=LACD=45°， ∠ADE=135°， 根据旋转∠ABG=∠ADE=135°， :∠ABD=∠CBD=45°， 10/32函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第23章四边形·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 2 3 4 5 6 C D 0 C B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.6 8.∠AMC=90°（答案不唯一） 9.25 10.4 11.43 12.3 13.4 14.2√7 15.30° 16.4v10 17.4或7 18② 15 2 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(6分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD=CB,AD∥CB, .∠BCE=∠DAF, AE=CF, ∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE, ∴.△ADF≌△CBE(SAS,△AED≌△CFB(SAS DF =BE,BF =DE ∴.四边形BEDF是平行四边形；…(3分) (2)解：AB⊥BF,AB=8,BF=6, AF=AB2+BF2=10, :AC=14, :S△c=4C_14_7 SAABF AF105(同高三角形)， 1AB.BF=1x6x8=24, 2 55号×24-16 7 …(6分) 5 20.(6分) 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD, ∴.∠EAB=∠EDF, :点E是AD中点， :AE ED, :∠AEB=LDEF, .△AEB≌△DEF(ASA, .AB=FD, FD=CD;…(3分) (2)证明：：AB=DF且AB∥DF, .四边形ABDF是平行四边形， ∴AD=2AE,BF=2BE, :四边形ABCD是平行四边形， ∠DAB=LC, :∠BED=2∠C, ∴∠BED=2∠DAB, 又：∠BED=∠DAB+∠EBA, ∠DAB=∠EBA, .AE EB, .AD BF, 四边形ABDF是矩形.…(6分) 21.(6分) 【详解】(1)：在口ABCD中， .AB∥CD,AB=CD :E、F分别为边AB、CD的中点 A DF-CD .BE DF ·.四边形DEBF是平行四边形 DE=BF;…(3分) 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)矩形，理由如下： :在ABCD中， .AD∥BC AG∥DB, .四边形AGBD是平行四边形 如图所示，连接DG D F :E为边AB的中点 ·点E在DG上 :四边形BEDF是菱形 .DE=BE AE=BE,DE=EG ∴.AB=DG .平行四边形AGBD是矩形.…(6分) 22.(6分) 【详解】(1)证明：延长CD、BA交于点F, ~BE是∠ABC的角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D, A D ∠FBD=∠CBD,∠BDF=∠BDC=90°， 在△BFD和△BCD中， ∠FBD=∠CBD BD=BD, ∠BDF=∠BDC 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BFD≌△BCD(ASA), :FD=CD, :CF =2CD, :∠BAC=90°， ∠BAE=∠CAF=90°， ∠ABE=∠ACF=90°-∠F, 在△ABE和△ACF中， I∠ABE=∠ACF AB=AC, ∠BAE=∠CAF AABE≌△ACF(ASA, :BE=CF, BE=2CD.…(3分) (2)解：作AH⊥BC于点H, A D :AB=AC=4,∠BAC=90°， H SBc=)AB.AC=,×4×4=8,BH=CH, 1 1 2 2 1 S=S-25c=4, :点H是BC的中点，点D是FC的中点， :HF∥BF, ·S。ABD=SABH=4, :三角形ABD的面积为4.…(6分) 23.(7分) 【详解】(1)解：①如下图所示， 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 直角ABC的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边AB的交点就是四边形的重心； ②如下图所示， 直角ABC的重心是直角三角形三条中线的交点M, 直角△AHB的重心是直角三角形三条中线的交点N, 由题意可知△ACH和BCH是等腰三角形且AC=AH,BC=BH, △ACH和BCH的重心都在AB边上， 四边形ACBH的重心是线段MN与AB的交点；…(3分) (2)解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 矩形对角线互相平分， B :AG=BG, AG … BG =1; 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， A AM AN, H B :AB是MN的垂直平分线， BC 1 AC 2' 设BC=2a,则AC=4a, AB=AC2+BC2=(2a)2+(4a)2=25a, AE=V4a2+a2=17a,BF=V2a)2+(2a)2=2v2a, :点M是重心， AM BM 2 AE BF3' AM=2 3a:BM-4a. 3 设AG=x,0。 则有MG=AM-G-a-, 3 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c=8w-G-后x25m-5。-, (2/-(25o-x-(VT- 整理得：4a2=-20a2+45ar, 解得：x=65 a, BG-AB-AG=2J5a-65a-4V5 6√5 =5 AG a3 2 -a 综上所述：线段AG与线段BG的比值是1或子 。…(7分) 24.(9分) 【详解】(1)解：①如图1， :四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, AD=BC=8,∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， :过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC于点E,F, LAEF=LDEF=90°， ·四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形， .EF=AB=6,BF=AE=3,∠AEF=∠DEF=90°， :CF=DE=AD-AE=8-3=5, PE=4, PA=VAE2+PE2=5,PD=DE2+PE2=52+42=41, :PF=EF-PE=6-4=2, .PB=BF2+PF2=13,PC=CF2+PF2=29, 故答案为：5，√13，√29，√41. ②PA2+PC2=52+(V29)2=54,PB2+PD2=(N13)2+(N41)2=54, ..PA2+PC2 PB2+PD2, 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：=.…(3分) (2)解：成立，理由如下： 如图2， :四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， ∠EAB=∠FBA=90°， :过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC反向延长线于点E,F, ∠E=90°， ·四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形， :AE=BF,DE=CF, .PD2=DE2+PE2=CF2+PE2,PA2=AE PE=BF2+PE2, :PD2-PA:=CF2-BF2: PC:=CF+PF2,PB2=BF2+PF2, .PC2-PB2=CF2-BF2, :PC2-PB2=PD2-PA2, .PA+PC2=PB2+PD2.…(6分) (3)解：如图3，作PM⊥CA交CA的延长线于点M,则∠PMC=90°， :.PC2=PM:+CM2,PA2 =PM 2+AM 2, 作BN⊥PM交PM的延长线于点N,作CT⊥NB交NB的延长线于点T,连接AT、PT, T:LBAC=90°， B 图3 ∠BAM=90°， :∠AMN=∠N=∠CTN=90°， :四边形ABNM和四边形CTNM都是矩形， :TN=CM,BN AM :PT2=PN2+TN2=PN2+CM,PB2=PN2+BN2=PN+AM, :PT:-PC2=PN2-PM2,PB2-PA2=PN2-PM2, 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PT2-PC2=PB2-PA2, PA=1,PB=3,PC=5, .PT=V9+5-1=√13， TA+PA≥PT, .TA+1≥√13， .TA≥V13-1, :AB∥MN, ∠ABT=LN=90°， :四边形ABTC是矩形， .TA=BC .BC≥V13-1, .BC的最小值为√3-1.…(9分) 25.(9分) 【详解】解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,∠ABC=∠ADE=60°，则∠D'AE=∠AED 由折叠可知：AD=AD',∠DAE=∠D'AE,LADE=LAD'E=60°， ∠DAE=∠AED, :AD DE AD', ·.四边形ADED是平行四边形， 又：AD=AD, :.四边形ADED'是菱形， :D'E AD', △AD'E是等边三角形， 故答案为：等边三角形；…(3分) (2)BG=2AG,理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：E,F为CD边的三等分点， :DE=EF=CF-DC, 3 由折叠可知：ED=ED',∠AED=∠AED', 则ED=ED'=EF, ·∠ED'F=∠EFD', 由三角形外角可知：∠DED'=∠ED'F+∠EFD'=LAED+∠AED', .∠AED'=∠ED'F, AE∥FG, :四边形AEFG是平行四边形， .EF=AG, EF-DC,AB-CD. 4G=写4B,则8c-号， .BG=2AG;…(6分) (3)由折叠可知：∠DAE=LD'AE=45°，AD=AD', .∠DAD'=90°，则△DAD'为等腰直角三角形， .LADH=∠AD'D=45°， 延长AD'交BC于M,则∠MD'H=∠AD'D=45 B D' H D :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∠DHM=∠ADH=45°=∠MD'H,∠AMH=∠DAD'=90°，即AM⊥AD, :MD'=MH :口ABCD的面积为24，AD=4,即：AD·AM=24, AM=6, MD'=AM-AD'=AM AD=2, ·D'H=VMD2+MH2=22.…(9分) 10/14