精品解析：辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高一下学期期初考试数学试题

沈阳市回民中学高一下学期期初考试 数学学科 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 6. 有一组样本数据：，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ） A. 分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数 7. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，对有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分；按答案个数平均给分多选不得分；共计18分） 9. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ） A. 这种抽样方法是分层抽样 B. 这5名男生成绩的20%分位数是87 C. 这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数 10. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 三、填空题（每题5分；共计15分） 12. 如图，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率为0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率为______. 13. 已知，若，则的最小值为___________． 14. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数取值范围是__________. 四、解答题（15题13分；16-17每题15分；18-19每题17分共计77分） 15. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 16. 2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ： （1）确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； （2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 17. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点. （1）用向量与表示； （2）若，求和的值. 19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）分别求函数，解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学高一下学期期初考试 数学学科 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，利用集合交集定义即可求. 【详解】因为， 且， 所以. 故选：A 2. 命题的否定是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定即可得答案. 【详解】因为命题的否定为：. 故选：B. 3. 已知平面向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的条件建立关系式，求的值. 【详解】因，所以， 解得. 故选：A 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式并结合函数的奇偶性及单调性即可求解. 【详解】对A、D：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，故A、D错误； 对B、C：当时，因为，，所以，故B错误，故C正确. 故选：C. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先研究函数的奇偶性与单调性，再将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式即可. 【详解】易知的定义域为，定义域关于原点对称， 且满足，故是偶函数. 当时，，易知在上单调递增， 且在上单调递减，则在上单调递增， 因此当时，在上单调递增， 又因为是偶函数，故在上单调递减，在上单调递增. 因此，由，可得， 两边平方后，整理得， 解得或，即不等式的解集为， 故选：B. 6. 有一组样本数据：，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ） A. 分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算各个数据，再比较大小即可得解. 【详解】这组样本数据中：， 第分位数是：， 平均数是：， 极差是：， 众数是：， 在以上四个数中，显然是极差最大， 故选：C. 7. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 8. 设函数，对有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到在上单调递增，再利用分段函数的单调性，列不等式组，即可求解. 【详解】由题知在上单调递增， 所以，解得， 故选：A. 二、多选题（每题6分；按答案个数平均给分多选不得分；共计18分） 9. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ） A. 这种抽样方法是分层抽样 B. 这5名男生成绩的20%分位数是87 C. 这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数、百分位数和方差的公式及样本与总体的关系逐项判断即可． 【详解】解：由于抽样比不同，故不是分层抽样，故A错误， 5名男生成绩的20%分位数是87，故B正确， 5名男生成绩的平均数为， 5名女生成绩的平均数为， 5名男生成绩的方差为， 5名女生成绩的方差为， 由于从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故C正确，D错误. 故选：BC． 10. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用整体代换结合基本不等式即可判断A；利用基本不等式即可判断BC；利用基本不等式结合指数幂的运算性质即可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当，即， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断. 【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错； B：对于，如非零向量，显然此时不成立； 对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对； C：由为不共线的向量，若，，显然无解， 所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对； D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点， 则，且，故，对. 故选：BCD 三、填空题（每题5分；共计15分） 12. 如图，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率为0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率为______. 【答案】0.775## 【解析】 【分析】求出开关均正常工作的概率及开关正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件概率公式即可求出答案. 【详解】由题意，开关在某段时间均正常工作的概率， 开关在某段时间正常工作的概率， 这段时间内线路正常工作的概率为：. 故答案为：0.775. 13. 已知，若，则的最小值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】对进行换元，得，再根据基本不等式求解的取值. 【详解】∵已知，， ∴，即 ∴，当且仅当，时等号成立，最小值3， 故答案为：3. 14. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明函数的奇偶性和单调性，即可求解不等式. 【详解】设幂函数经过点得，，所以， 即，故， 因为，且定义域为， 所以是奇函数， 又由于是上的增函数，是上的减函数，是上的增函数， 所以是上的增函数， 再由，得， 所以，解得：， 故答案为：. 四、解答题（15题13分；16-17每题15分；18-19每题17分共计77分） 15. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，结合三点共线可得，列方程组求参数即可； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可； （3）根据平行四边形中的坐标表示列方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在实数使得，即， 又因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 若，，则. 【小问3详解】 由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得， 设，则，由（2）得， 所以，解得， 所以. 16. 2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ： （1）确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； （2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 【答案】（1），中位数. （2）①，②. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为即可计算，设中位数为，则在内，由即可计算； （2）①计算120家专项贷款金额在内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算；②根据频率比，计算专项贷款金额在内和在内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为得 ， 解得. 设中位数为，则专项贷款金额在内的评率为， 在内的评率为， 所以在内， 则，解得， 所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元. 【小问2详解】 ①由题意，抽样比为， 专项贷款金额在内的中小微企业共有家， 所以应该抽取家，即. ②专项贷款金额在内和在内的频率之比为， 故在抽取的5家中小微企业中， 专项贷款金额在内的有家，分别记为, 专项贷款金额在内的有家，记为, 从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为 共10种， 其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况有 共4种， 所以所求概率为. 17. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1） （2）派甲参赛获胜的概率更大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论； （3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解. 【小问1详解】 设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”， 则，，，相互独立，且，，，， 设“甲在比赛中恰好赢一轮” 则； 【小问2详解】 因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 所以， ， 因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 【小问3详解】 设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 于是“两人中至少有一人赢得比赛”， 由（2）知，， 所以， ， 所以. 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点. （1）用向量与表示； （2）若，求和的值. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求解； （2）设，利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以．设， ， 因为三点共线， 所以，解得，所以. 因为， ， 所以，即. 19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）分别求函数，的解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶函数的定义化简得，结合已知条件解方程得到结果； （2）通过定义法的步骤证明函数的单调性即可； （3）由单调性求出在上值域，通过与的关系，设后整理得解析式并求出其值域.通过讨论参数的范围分别写出函数在的值域，由题意可知值域之间的关系，建立不等式组后解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为①，则， 又为上的奇函数，为上的偶函数，则有②， 由①-②得到，所以 由①+②得到，所以. 【小问2详解】 取任意，且， 则 ； 易知当时，，，所以，即； 因此在上单调递增. 【小问3详解】 因为对任意的，总存在，使得， 所以在上的值域是在上值域的子集. 设在上的值域为集合A， ∵是增函数，故时，， 令，则，所以， 所以.函数的对称轴为， ①当时，，， 即. 所以，解得. 当时，，，， 因为，所以， 解得. 当时，，， ， 所以，解得. 综上所述：. 【点睛】方法点睛：对任意的，总存在，使得，即是在上的值域是在上值域的子集.在求一个复杂函数的值域是可以将函数进行整理化简，由复合函数的思想，对函数组层求值域，然后得到最后结论.含参的二次不等式值域需要通过对参数进行讨论，然后得出值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $