2026年中考一轮复习讲义 专题09一元一次不等式（组）及其应用突破(全国通用)

专题09一元一次不等式（组）及其应用突破讲义 【模块一 不等式相关概念及性质】........................................3 【题型01 不等式的定义及性质】.........................................3 【题型02 不等式的性质与不等式性质综合应用】...........................3 【题型03 不等式性质的实际应用】.......................................4 【模块二 一元一次不等式(组)的解法】...................................5 【题型04一元一次不等式(组)的解法】....................................5 【题型05 求不等式(组)的整数解】........................................6 【题型06 在数轴上表示不等式(组)的解集】...............................6 【题型07 不等式组和方程结合的问题】...................................7 【题型08 求一元一次不等式解的最值】...................................7 【模块三 一元一次不等式(组)的参数问题】................................8 【题型09 根据一元一次不等式(组)的解决求参数】..........................8 【题型10 根据两个一元一次不等式组解集之间的关系求参数】...............8 【题型11 根据不等式(组)的整数解个数求参数取值范围】...................9 【题型12 不等式组有解.无解问题】......................................9 【模块四 一元一次不等式(组)的应用】...................................10 【题型13 用一元一次不等式解集实际问题】...............................10 【题型14 用一元一次不等式解集几何问题】...............................10 【题型15 不等式组的经济问题】.........................................11 【题型16 不等式组的分配问题】.........................................12 【题型17 不等式组的方案选择问题】.....................................13 【题型18 一元一次不等式组的其他应用】.................................14 分值占比：中考数学中属于基础必考板块，分值占 610 分，主要以选择题、填空题、解答计算题三种题型呈现，属于基础得分板块。 考查重点：围绕一元一次不等式（组）的相关概念、解法、解集在数轴上表示、含参问题、整数解、实际应用六大方向命题。 命题趋势：基础题型侧重性质辨析与直接计算；中档题型侧重新定义、解集判断、实际情境分析；综合题以不等式组与方程、函数、实际方案结合为主，命题灵活性逐年提升。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 1.一元一次不等式：只含 1 个未知数，次数为 1 的不等式（如ax>b） 2.一元一次不等式组：两个及以上一元一次不等式组成的组合 两边加 / 减同一个数，不等号方向不变 两边乘 / 除同一个正数，不等号方向不变 两边乘 / 除同一个负数，不等号方向改变 知识点02:解法步骤 1.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1 2.解不等式组：分别解每个不等式→找公共解集（数轴是关键） 3.解集四种类型（a<b） 知识点03.一元一次不等式组的实际应用 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证（预习必做，避坑关键）； 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义（如人数、物品数为正整数，长度、重量为非负数）。 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 知识点04:中考高频考点 1.解集在数轴上表示（易错：空心 / 实心、方向） 2.含参问题：根据解的情况求参数取值 3.实际应用：列不等式解决 “至少、至多、不超过、不少于” 问题 4.与方程、一次函数结合求最值 易错点提醒 1.系数化为 1 时，负数要变号 2.数轴表示：大于向右、小于向左；含等号实心，不含等号空心 3.实际应用：找准不等关系（不超过、不足、最多、最少） 4.含参题型：先定解集类型，再列不等式（注意等号是否可取） 【模块一 不等式的相关概念及性质】 【题型1.不等式的定义及性质】 【典例】用不等式表示：x减去2的差的绝对值不大于_________________． 【跟踪专练1】下列数学式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【跟踪专练2】列不等式：据中央气象台报道，某日我市最高气温是33℃，最低气温是25℃，则当天的气温t(℃)的变化范围是______． 【跟踪专练3】下列是一元一次不等式的是（  ） A． B． C． D． 【题型2.不等式的性质与不等式性质的综合应用】 【典例】若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【跟踪专练2】已知，若，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型3.不等式性质的实际应用】 【典例】天平称重：如图，一个倾斜的天平两边放有苹果和橘子，已知一个橘子的质量为，一个苹果的质量为，那么，之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【跟踪专练2】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客手机支付成功后，李明会得到支付款的． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为____． 【跟踪专练3】在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为，，，，．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数的和 则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（   ） A．卡片 B．卡片 C．卡片 D．卡片 【模块二 一元一次不等式(组)的解法】 【题型4.一元一次不等式(组)的解法】 【典例】不等式组的解集是______． 【跟踪专练1】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不等式的解集是________． 【跟踪专练3】不等式组的解集是___________． 【题型5.求不等式(组)的整数解】 【典例】不等式的最大整数解为______． 【跟踪专练1】若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是________． 【跟踪专练2】在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为______． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型6.在数轴上表示不等式(组)的解集】 【典例】关于的不等式的解集如图所示，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为______． 【跟踪专练3】将不等式组的解集在数轴上表示，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型7.不等式组和方程结合的问题】 【典例】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_________． 【跟踪专练1】若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【跟踪专练3】表示图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（    ） A． B． C． D． 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 【典例】满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【跟踪专练1】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【跟踪专练2】已知实数，，．若，则的最大值为______． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【模块三 一元一次不等式(组)的参数问题】 【题型9.根据一元一次不等式(组)的解集求参数】 【典例】不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【跟踪专练1】对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 【跟踪专练3】若关于的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解是奇数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A． B． C． D． 【题型10.根据两个一元一次不等式组解集之间的关系求参数】 【典例】若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【跟踪专练1】如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于的一元一次不等式组的解集为，且式子有意义，则所有满足条件的整数的值之和为____________． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【题型11.根据不等式(组)的整数解个数求参数取值范围】 【典例】关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是______． 【跟踪专练1】若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型12.不等式组有解.无解问题】 【典例】若不等式组无解，则的取值范围是________． 【跟踪专练1】已知关于x的一元一次不等式组有解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为______． 【跟踪专练3】若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数的值的和为（  ） A． B． C． D． 【模块四 一元一次不等式(组)的应用】 【题型13.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】某次单词听写共20个单词，每个单词写对得10分，写错或不写扣5分，小明得分要超过90分，设他至少答对x道题，则_____． 【跟踪专练1】某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品”_________件． 【跟踪专练3】检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次检测值为7.5，第二次检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次检测值x的范围是（） A． B． C． D． 【题型14.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 ___ ． 【跟踪专练1】已知三角形两边的边长分别为3、4，则第三边长度的取值范围在数轴上表示为（） A．       B．     C．     D．     【跟踪专练2】在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____． 【跟踪专练3】如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型15.不等式组的经济问题】 【典例】某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【跟踪专练1】为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需元．销售一件种型号衣服可获利元，销售一件种型号衣服可获利元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服的数量是种型号衣服数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ 【跟踪专练3】某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【题型16.不等式组的分配问题.】 【典例】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【跟踪专练1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【跟踪专练3】今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【题型17.不等式组的方案选择问题】 【典例】三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【跟踪专练1】.某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 【跟踪专练2】海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元． (1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 【跟踪专练3】为了更好地开展阳光体育活动，某校计划购买一批排球．已知购买4个甲品牌排球的费用与购买3个乙品牌排球的费用相同，学校首次购买甲品牌排球20个、乙品牌排球30个共花费3600元． (1)求甲、乙两品牌排球的单价； (2)因排球运动受到学生们的欢迎，根据需要，学校决定再次购买甲、乙两品牌排球共50个，正逢商场举行促销活动，甲品牌排球每个优惠4元，乙品牌排球每个打8折．如果要求购买甲乙两品牌50个排球的总费用不超过2960元，且购买乙品牌排球的数量不少于甲品牌排球数量的，则有哪几种购买方案？最少需要多少费用？ 【题型18.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】学校的编程课上， 一位同学设计了一个运算程序， 如图所示，该程序规定∶从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作， 当结果得到的数小于或等于40，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止， 那么x的取值范围是__________． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 已知一颗玻璃球的体积与的水的体积相等，根据以上过程，可知a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用600元单独购买乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元； (2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过850元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案． 【跟踪专练3】阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09一元一次不等式（组）及其应用突破讲义 【模块一 不等式相关概念及性质】........................................3 【题型01 不等式的定义及性质】.........................................3 【题型02 不等式的性质与不等式性质综合应用】...........................5 【题型03 不等式性质的实际应用】.......................................9 【模块二 一元一次不等式(组)的解法】..................................12 【题型04一元一次不等式(组)的解法】...................................12 【题型05 求不等式(组)的整数解】.......................................13 【题型06 在数轴上表示不等式(组)的解集】..............................15 【题型07 不等式组和方程结合的问题】..................................18 【题型08 求一元一次不等式解的最值】..................................20 【模块三 一元一次不等式(组)的参数问题】...............................22 【题型09 根据一元一次不等式(组)的解决求参数】.........................22 【题型10 根据两个一元一次不等式组解集之间的关系求参数】..............26 【题型11 根据不等式(组)的整数解个数求参数取值范围】...................28 【题型12 不等式组有解.无解问题】......................................31 【模块四 一元一次不等式(组)的应用】...................................34 【题型13 用一元一次不等式解集实际问题】...............................34 【题型14 用一元一次不等式解集几何问题】...............................36 【题型15 不等式组的经济问题】.........................................38 【题型16 不等式组的分配问题】.........................................41 【题型17 不等式组的方案选择问题】.....................................45 【题型18 一元一次不等式组的其他应用】.................................49 分值占比：中考数学中属于基础必考板块，分值占 610 分，主要以选择题、填空题、解答计算题三种题型呈现，属于基础得分板块。 考查重点：围绕一元一次不等式（组）的相关概念、解法、解集在数轴上表示、含参问题、整数解、实际应用六大方向命题。 命题趋势：基础题型侧重性质辨析与直接计算；中档题型侧重新定义、解集判断、实际情境分析；综合题以不等式组与方程、函数、实际方案结合为主，命题灵活性逐年提升。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 1.一元一次不等式：只含 1 个未知数，次数为 1 的不等式（如ax>b） 2.一元一次不等式组：两个及以上一元一次不等式组成的组合 3.核心性质（必考） 两边加 / 减同一个数，不等号方向不变 两边乘 / 除同一个正数，不等号方向不变 两边乘 / 除同一个负数，不等号方向改变 知识点02:解法步骤 1.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1 2.解不等式组：分别解每个不等式→找公共解集（数轴是关键） 3.解集四种类型（a<b） 知识点03.一元一次不等式组的实际应用 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证（预习必做，避坑关键）； 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义（如人数、物品数为正整数，长度、重量为非负数）。 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 知识点04:中考高频考点 1.解集在数轴上表示（易错：空心 / 实心、方向） 2.含参问题：根据解的情况求参数取值 3.实际应用：列不等式解决 “至少、至多、不超过、不少于” 问题 4.与方程、一次函数结合求最值 易错点提醒 1.系数化为 1 时，负数要变号 2.数轴表示：大于向右、小于向左；含等号实心，不含等号空心 3.实际应用：找准不等关系（不超过、不足、最多、最少） 4.含参题型：先定解集类型，再列不等式（注意等号是否可取） 【模块一 不等式的相关概念及性质】 【题型1.不等式的定义及性质】 【典例】用不等式表示：x减去2的差的绝对值不大于_________________． 【答案】 【分析】根据题意以及不等式的定义列不等式． 【详解】解：x减2的绝对值不大于，列式：． 故答案是：． 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式． 【跟踪专练1】下列数学式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可． 【详解】解：①，是不等式，符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是多项式，不符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有①②⑤，共3个， 故选：C． 【跟踪专练2】列不等式：据中央气象台报道，某日我市最高气温是33℃，最低气温是25℃，则当天的气温t(℃)的变化范围是______． 【答案】25≤t≤33． 【分析】根据题意、不等式的定义解答． 【详解】解：由题意得，当天的气温t（℃）的变化范围是25≤t≤33， 故答案为25≤t≤33． 【点睛】本题考查的是不等式的定义，不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式， 【跟踪专练3】下列是一元一次不等式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项正确； B、中含有两个未知数，故本选项错误； C、中不含有未知数，故本选项错误； D、中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于1，不是一元一次不等式，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【题型2.不等式的性质与不等式性质的综合应用】 【典例】若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，根据已知条件结合不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A：由，两式相加，得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加，得，正确，不符合题意； C：由得，代入，可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入，可得，即，正确，不符合题意； 故选C 【跟踪专练1】若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次不等式的性质，解题的关键是先用含的代数式表示出、的值．先联立已知的等式，通过解二元一次方程组用含的代数式表示出、的值，然后通过等式和不等式的性质逐项判断各选项即可． 【详解】解：联立， 由得，， 把代入得，，解得， 把代入得，， ，的值未定， 无法确定正负性，即无法确定，故A选项结论不符合题意； 若，则，故B选项结论不符合题意； ，故C选项结论符合题意； 若，则，故D选项结论不符合题意． 故选：C ． 【跟踪专练2】已知，若，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，不等式的性质，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．根据，，整理得出，求出，根据，得出，即可求出，从而得出，根据，得出，整理得出，求出不等式的解集为，同理可得：，从而可以判断各个选项即可． 【详解】解： ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， ∴， 即，故A正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 将看作y是a的二次函数， ∵方程的解为：或， ∴二次函数与横轴的两个交点为，， ∵， ∴抛物线的开口向上， 当时，， ∴的解集为， ∴的最小值为，故D错误，符合题意； 同理可得：， ∴c的最大值为1，故C正确，不符合题意； ∵，， ∴，故B正确，不符合题意． 故选：D． 【跟踪专练3】已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把变形为，然后整体代入即可求出，把代入进行化简成，即可判断. 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ . 故选：A. 【点睛】此题考查了不等式的性质，完全平方公式等知识点，把代入化简是解题的关键. 【题型3.不等式性质的实际应用】 【典例】天平称重：如图，一个倾斜的天平两边放有苹果和橘子，已知一个橘子的质量为，一个苹果的质量为，那么，之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 根据题意得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， 故选：B． 【跟踪专练1】根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】②③ 【分析】本题考查了二元一次方程，不等式的应用，设班同学的最高身高为，最低身高为，班同学的最高身高为，最低身高为，根据班班长的对话，得，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据班班长的对话，得，然后利用不等式性质可求出，即可判断②， 正确进行计算是解题关键． 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， ∴， ∴， ∴， 解得：，故③符合题意； 1班学生的身高不超过，最高未必是，无法判断①，故①不符合题意； 由题意可得：， ∴， ∴， ∴，故②符合题意， 故答案为：②③． 【跟踪专练2】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客手机支付成功后，李明会得到支付款的． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式和不等式是解题的关键． ①先求出该笔订单的总金额，然后求出优惠后的金额即可； ②在促销活动中，设订单总金额为元，若，则没有优惠，可得到支付款为（），符合题意；若，依题意可得，解得，由即可得出的最大值． 【详解】解：①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总金额为： （元）， 一次购买水果的总价已达到120元， 需要支付：（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为元， 若，则没有优惠，可得到支付款为（），符合题意， 若，依题意可得：， 解得：， ， ， ， 即：的最大值为； 故答案为：，． 【跟踪专练3】在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为，，，，．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数的和 则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（   ） A．卡片 B．卡片 C．卡片 D．卡片 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质可得： 设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， 所以且， 所以卡片上的数最大， 故选：D． 【模块二 一元一次不等式(组)的解法】 【题型4.一元一次不等式(组)的解法】 【典例】不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再依据“大小小大取中间”的原则确定不等式组的解集即可解答． 【详解】解：解不等式，移项得， 解不等式，移项得，合并同类项得， 结合两个不等式的解集，根据“大小小大取中间”的原则，原不等式组的解集为． 【跟踪专练1】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【跟踪专练2】不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，掌握不等式的性质成为解题的关键． 先通过去分母、去括号、移项、合并同类项，最后再根据不等式的性质系数化为1即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为． 【跟踪专练3】不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握相关知识点是解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 【题型5.求不等式(组)的整数解】 【典例】不等式的最大整数解为______． 【答案】2 【分析】本题主要查解一元一次不等式．通过解不等式，找到x的取值范围，然后确定最大整数解． 【详解】解：解不等式： 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 所以最大整数解为2． 故答案为：2 【跟踪专练1】若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键． 分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数a所满足的条件，求解即可． 【详解】解：∵ ∴解得：， 解得：， 原不等式组恰有2个整数解， 这2个整数解必然是5，6， ， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 析】解不等式组得出关于的范围，根据不等式组有4个整数解得出的范围，继而可得整数的取值． 【详解】解：由不等式，解得， 由不等式，解得， 不等式组有且只有4个整数解， ， 解得：； 所以满足条件的整数的值有、、共3个， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键． 【题型6.在数轴上表示不等式(组)的解集】 【典例】关于的不等式的解集如图所示，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的范围，用数轴表示不等式的解集，由数轴可知，不等式的解集为：，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：不等式的解集为：， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示以上不等式解集为： ． 【跟踪专练2】关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为______． 【答案】3 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a，b的等式是解题关键．先解不等式组的解集，再结合数轴得出解集得出关于a，b的等式，进而得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 结合数轴可得：，， ∴ ∴， 故答案为：3． 【跟踪专练3】将不等式组的解集在数轴上表示，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，该不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为： ． 故选：D． 【题型7.不等式组和方程结合的问题】 【典例】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 【跟踪专练2】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【跟踪专练3】表示图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和不等式组的关系，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． 表示出一次函数解析式，通过图形确定每个不等式，然后整理成不等式组即可． 【详解】解：由得，；由得，； 图中阴影部分由三条直线相交所构成， 位于和的下方，的上方， ∴， 整理得， ∴表示该区域的不等式组为， 故选：C． 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 【典例】满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 【跟踪专练2】已知实数，，．若，则的最大值为______． 【答案】6 【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值． 【详解】解：由得， 由得， 及， 解得：， 的最大值为3， 的最大值． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 【模块三 一元一次不等式(组)的参数问题】 【题型9.根据一元一次不等式(组)的解集求参数】 【典例】不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练2】若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程等知识点，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【详解】解：， 解得， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴ ∴或5或6或7或8或9， 解分式方程， ∴， ∴， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，即或2或4或或8， ∴或6或4或2或0， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或4或2或0． ∵， ∴符合条件的整数a有4，8 ∴． 故答案为：12． 【跟踪专练3】若关于的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解是奇数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出不等式组的解集，然后根据三个整数解求出的取值范围；接着将分式方程解出来，求出的值，结合取值范围取值求解即可． 【详解】解得 ∵有且只有3个整数解， ∴，解得； ∵是整数， ∴ ∵解为奇数， ∴为奇数， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：D 【点睛】此题考查不等式组和分式方程的解法，解题关键是分式方程的解要检验是否令分母为零了． 【题型10.根据两个一元一次不等式组解集之间的关系求参数】 【典例】若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的解集求参数的取值范围，先解不等式得：，再结合解集是即可得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 不等式组的解集是， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集的过程叫解不等式组．先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集是，然后根据同大取大得到的范围． 【详解】解：， 解①得， 不等式组的解集是， ． 故选：C． 【跟踪专练2】若关于的一元一次不等式组的解集为，且式子有意义，则所有满足条件的整数的值之和为____________． 【答案】15 【分析】本题考查一元一次不等式组，二次根式和分式有意义的条件，根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据二次根式和分式有意义的条件确定的值即可，掌握一元一次不等式组的解法，二次根式和分式有意义的条件是正确解答的关键． 【详解】解：，解得 ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 解得； ∵式子有意义， ∴ ∴ ∴所有满足条件的整数a的值有7，8 ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：15． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及不等式组的解法、分类讨论等知识，先解不等式组，再由参数的情况，分类讨论，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得；由②得； 关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2， 当时，不等式组的解集为，则，解得，整数可取，整数可取，则整数对有，共6个； 当时，不等式组的解集为，则，解得，不等式组无解； 综上所述，关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有6个， 故选：D． 【题型11.根据不等式(组)的整数解个数求参数取值范围】 【典例】关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 解各不等式得出对应的解集，再根据题意得到它的整数解，然后确定a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 又原不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是8，9，10， 那么， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有3个整数解列式求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且整数解为2，1，0， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解不等式组和分式方程的方法是解题的关键．首先解不等式组，得到解集为，要求有且只有四个整数解，即，从而得到；再解分式方程，得到，要求解为非负数且，从而得到且；综合两者，整数 为，求和即可． 【详解】解：第一个不等式， 两边乘6得：， 化简得：， 第二个不等式， 化简得：， 因此不等式组的解集为：， 要求不等式组有且只有四个整数解，即，需满足， 解得：； 解分式方程， 方程化为， 即， 解得：（其中，故)， 要求解为非负数，即，故， 综合不等式组和分式方程的条件得：且， 整数为， 则和为：． 故答案为：1． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【题型12.不等式组有解.无解问题】 【典例】若不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：， 由①得， 又∵，且不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于x的一元一次不等式组有解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，利用口诀：大小小大中间找可得关于a的不等式，解之即可． 【详解】解：解，得， ∵关于x的一元一次不等式组有解， ∴a的取值范围是； 故选D． 【跟踪专练2】若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组和分式方程，先根据不等式组的解的情况得出的取值范围，再根据分式方程的解为负整数解进一步得出的值，即可得出答案，熟练掌握它们的解的情况是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 由， ， ∴． ∵关于的分式方程有负整数解， ∴为负整数，且， ∵为整数， ∴或或或，且， ∴或或或， 又∵， ∴或或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数的值的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式组，由题意确定出的范围；分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据题意得不等式，确定的范围；最后确定符合条件的a的值，问题得解． 【详解】解：解不等式组得 由不等式组有解，得 解得： 分式方程去分母得： 解得： 关于的分式方程的解为非负数， 且，解得且， 且， 为整数， 则满足题意的整数的值的和是 故选： 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，其中分式方程的解为非负数，意味着x≥0，且x≠1，是易错点． 【模块四 一元一次不等式(组)的应用】 【题型13.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】某次单词听写共20个单词，每个单词写对得10分，写错或不写扣5分，小明得分要超过90分，设他至少答对x道题，则_____． 【答案】13 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据“得分要超过90分”列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴至少答对13道题，即， 故答案为：13． 【跟踪专练1】某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用3小时完成的任务量不小于列不等式即可． 【详解】解：由题意可得3小时完成的任务量不小于， 设剩余时间每小时平整， 如果工作3小时，则3小时总平整面积为， 可得不等式． 【跟踪专练2】在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品”_________件． 【答案】40 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用．根据题意设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件，利用获利不低于420元得出不等式，进而得出答案． 【详解】解：设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件， 根据题意可得：， 解得：， 故购进甲种“工艺品”至多40件． 故答案为：40． 【跟踪专练3】检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次检测值为7.5，第二次检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次检测值x的范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设定变量，设第三次检测值为x，第二次检测值为y(已知)，根据题意建立平均值不等式，三次平均值必需满足，将不等式进一步整理为，结合y的取值范围分别代入y的最小值和最大值，求出x的下限和上限． 【详解】解：设第三次检测值为x，三次检测的平均值为 (其中) 由题意得不等式： 对不等式组进行变形： 进一步整理得： 当y取最小值7.0时，，即； 当y取最大值7.6时，，即； 因为该游泳池检测合格， 所以，x的范围是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的基本性质和实际运用，正确建立出不等式是解题的关键． 【题型14.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 ___ ． 【答案】100° 【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得800度．则内角和是（n-2）•180°与800°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）•180°≥800°，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，进而求出少计算的内角． 【详解】解：设多边形的边数是n． 依题意有（n-2）•180°≥800°， 解得：n≥， 则多边形的边数n=7； 多边形的内角和是（7-2）•180=900度； 则未计算的内角的大小为900°-800°=100°． 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及不等式的解法，解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算内角的取值范围． 【跟踪专练1】已知三角形两边的边长分别为3、4，则第三边长度的取值范围在数轴上表示为（） A．       B．     C．     D．     【答案】A 【分析】设第三边长度为x，由三角形三边关系可得一元一次不等式组，求解不等式组即可． 【详解】设第三边长度为x，由三角形三边关系可得 解得 故答案为：A． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的问题，掌握三角形三边关系、解不等式组的方法是解题的关键． 【跟踪专练2】在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____． 【答案】-4 【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1． 则2x﹣1≥﹣3 ∵x△k＝2x﹣k≥2， ∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3， ∴k＝﹣4． 故答案填：﹣4． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【跟踪专练3】如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可； 【详解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°， 第二次翻折后3a+∠BDC=180°， 第三次翻折后4a+∠BDE=180°， 第四次翻折后5a+∠BDC=180°， 若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°， 若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°， 当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上， ∴30°＜a＜36°， 故选：D； 【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键． 【题型15.不等式组的经济问题】 【典例】某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 【跟踪专练2】某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需元．销售一件种型号衣服可获利元，销售一件种型号衣服可获利元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服的数量是种型号衣服数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)型号衣服每件元，型号衣服每件元； (2)有两种进货方案：①型号衣服购买件，型号衣服购进件；②型号衣服购买件，型号衣服购进件． 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意即可． （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，由题意得，据此即可求解； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，由题意得，据此即可求解； 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得，解得， 答：型号衣服每件元，型号衣服每件元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或， 当时，， 当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买件，型号衣服购进件；②型号衣服购买件，型号衣服购进件． 【跟踪专练3】某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元 (2)1390元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键. （1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，根据“该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润，则购进甲羽毛球越多，利润越大，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 【题型16.不等式组的分配问题.】 【典例】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 【跟踪专练1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【跟踪专练2】近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．任务二：分装方案1：精包装14个，简包装70个；分装方案2：精包装10个，简包装75个；分装方案3：精包装6个，简包装80个；分装方案4：精包装2个，简包装85个；理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用； 任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； 任务二：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出，再结合m，n，为正整数，进一步解答即可． 【详解】任务一： 解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． ， 解这个方程组，得 答：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒． 任务二： 解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）． 依题意得： ， 由①得． 将代入②． 得， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∵m，n，为正整数， ∴或或或； ∴，或，或，或，． 分装方案1：精包装14个，简包装70个； 分装方案2：精包装10个，简包装75个； 分装方案3：精包装6个，简包装80个； 分装方案4：精包装2个，简包装85个； 【跟踪专练3】今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【答案】(1)鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元 (2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价是元，由题意：花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鲁迅文集套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共30套（两类图书都要买），总费用不超过570元，四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； （2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或13， 故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套． 【题型17.不等式组的方案选择问题】 【典例】三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 【跟踪专练1】.某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)A型空调每台需元，B型空调每台需元 (2)见解析 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，不等式组的方案选择问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设型空调单价为元，型空调单价为元，根据题意，列出方程组求解； （2）设型空调购台，则型空调购台，根据题意，列出不等式组求解，再求出正整数解即可得方案． 【详解】（1）解：设型空调单价为元，型空调单价为元， 则， 解得：， 答：A型空调每台需元，B型空调每台需元； （2）解：设型空调购台，则型空调购台， 则， 解得：， 对应方案为： ①，，费用：（元）； ②，，费用：（元）； ③，，费用：（元）， 因此共有三种采购方案． 【跟踪专练2】海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元． (1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 【答案】(1)A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确 (2)5种 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，根据两次采购的车辆数和花费列出二元一次方程组，即可解答； （2）设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆，根据采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，列出不等式组，结合a为整数，即可解答． 【详解】（1）解：设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元， 依题意得， 解得， ∵，， ∴采购经理的估计正确， 答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确． （2）解：设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆， 依题意得， 解得， ∵a为整数， ∴，4，5，6，7， 答：该企业有5种可行的采购方案． 【跟踪专练3】为了更好地开展阳光体育活动，某校计划购买一批排球．已知购买4个甲品牌排球的费用与购买3个乙品牌排球的费用相同，学校首次购买甲品牌排球20个、乙品牌排球30个共花费3600元． (1)求甲、乙两品牌排球的单价； (2)因排球运动受到学生们的欢迎，根据需要，学校决定再次购买甲、乙两品牌排球共50个，正逢商场举行促销活动，甲品牌排球每个优惠4元，乙品牌排球每个打8折．如果要求购买甲乙两品牌50个排球的总费用不超过2960元，且购买乙品牌排球的数量不少于甲品牌排球数量的，则有哪几种购买方案？最少需要多少费用？ 【答案】(1)甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元 (2)有4种购买方式：方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球；方案二：购买31个甲品牌排球，则购买19个乙品牌排球；方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球；方案四：购买33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球；最少费用为2936元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设甲品牌排球的单价是元，乙品牌排球的单价是元，根据题意可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个甲品牌排球，则购买个乙品牌排球，根据题意可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，可得出共有4种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲品牌排球的单价是元，乙品牌排球的单价是元， 依题意得：，解得． 答：甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元． （2）设购买个甲品牌排球，则购买个乙品牌排球， 依题意得：，解得． 为正整数， ，31，32，33． ∴共有4种购买方式： 方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球； 方案二：购买31个甲品牌排球，则购买19个乙品牌排球； 方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球； 方案四：购买33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球． 方案一费用：（元）； 方案二费用：（元）； 方案三费用：（元）； 方案四费用：（元）； ∵， ∴最少费用为2936元． 【题型18.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】学校的编程课上， 一位同学设计了一个运算程序， 如图所示，该程序规定∶从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作， 当结果得到的数小于或等于40，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止， 那么x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据第一次不停止、第二次停止列不等式组，求出不等式组的解集，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 已知一颗玻璃球的体积与的水的体积相等，根据以上过程，可知a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据已知列出不等式组．由将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满可得，根据再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出得，解不等式可得a的范围． 【详解】解：将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ， 解得， 再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ， 解得， ； 故选：C． 【跟踪专练2】某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用600元单独购买乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元； (2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过850元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案． 【答案】(1)甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元 (2)共有4种购买方案， 甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用： （1）设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元， 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元） 答：甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元 （2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 由题意得： 解得： 为整数， ， 共有4种购买方案如下：甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本． 【跟踪专练3】阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为；（2），理由见解析；（3）①；②当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一元一次不等式组的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原代数式变形为，再仿照题意求解即可； （2）利用作差法得到，据此可得结论； （3）①根据篱笆的长度可求出对应的关系式，再根据墙的长度和x要为正数列出不等式组求出x的取值范围即可；②根据矩形的面积公式列出矩形的面积关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2），理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①由题意得，， ∵， ∴， ∴； ②设围成的矩形菜地的面积为S， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为162， ∴当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $