第6周无忧小卷过关练-【步步为赢·全程无忧大单元整体设计与评价无忧小卷】2025-2026学年七年级下册数学（华东师大版·新教材）

无忧小卷 七年级数学·HS·下 第六周 无忧小卷过关练 步步为赢 8.1与三角形有关的边和角 （时间：90分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共30分】 5.下列说法中，不正确的有 () 1.(长春市期末)用下面的图表示三角形的分 ①只有一条高在三角形内部的三角形是钝 类，其中不正确的是 角三角形； 三角形 ②三角形的角平分线是射线，中线是直线， 等便三角形 B 锐角三角形直角三角形 等边三角形 高是线段； 纯角三角形 ③等腰三角形的高、中线、角平分线共有 7条； D ④等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 2.若线段AM,AN分别是△ABC中线段BC上 为60°，则这个等腰三角形的顶角为30° A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 的高和中线，则 ( 6.体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为 A.AM>AN或AM=AN B.AM>AN 几何图形（图2），如果∠1=115°，则∠2= C.AM<AN或AM=AN D.AM<AN 3.如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖 方向为点A到点B,把铅笔依次绕点A、点 C、点B按逆时针方向旋转∠A,∠C,∠B的 侧压腿式 度数后，笔尖的方向变为点B到点A,这种 图1 图2 变化说明 A.10° B.20° C.25° D.30° 7.如图，两面镜子AB,BC的夹角为∠a,当光 线经过镜子后反射，∠1=∠2，∠3=∠4.若 ∠a=68°，则∠B的度数是 () A.三角形两边的和大于第三边 B.三角形两边的差小于第三边 C.三角形三个内角的和等于180° D.三角形的外角等于与它不相邻的两个内 角的和 A.44° B.45° C.46° D.47° 4.如图是折叠凳及其侧面示意图.若AC=BC= 8.已知△ABC的三个角分别是∠A,∠B,∠C, 18cm,则折叠凳的宽AB可能为 ( 下列选项中：①∠A=∠B-∠C;②∠A:∠B :∠C=1:2:3;③∠A=∠B=∠C;④∠A+ ∠B=号<C,⑤∠A=2∠n=3∠C,不能判断 △ABC是直角三角形的有 () A.22 cm B.36 cm C.54 cm D.72 cm A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ·21· 9如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂 AB与操作台BC的夹角∠ABC=120°，支撑 臂BD为∠ABC的平分线.物体被吊起后，机 械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一 定的角度并缩短，此时∠CBD=2∠ABD, 第12题图 第13题图 ∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为 14.2024年6月2至3日，我国登月器“嫦娥 六号”顺利完成在月球背面智能快速采样 和封装存放土壤样本，视频受到全球瞩目. 支撑臂 其中机械臂的“采样”与“回收”的影像如 )机械臀 图所示，假设机械臂两次运动在同一个平 操作台 aO 面内，采样时机械臂夹角∠OAB=60°，回 A.增大10° B.减小10 收时机械臂夹角∠OA,B,=50°，其中 C.增大30° D.减小30° ∠FOA1=20°，AB与AB1的延长线交于点 10.(驻马店市西平县校级月考)如图，在 E,AB与OF都与地面垂直，则∠A,EA= △ABC中，BO,C0分别平分∠ABC, 度 ∠ACB,交于点O,CE为外角∠ACD的平 分线，B0的延长线交CE于点E.以下结 论：①∠0CE=90°：②∠1=2∠2：③∠B0C =90+2∠1：④LB0C=3L2,其中正确 15.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点 的有 (不与B,C重合)，E,F是线段AD的三等 分点.记△BDF的面积为S1,△ACE的面积 为S2.若S1+S2=4,则△ABC的面积为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题3分，共15分）】 11.周末放学，同学们经常乘坐公交车回家，但 公交车上人太多站不稳，我们可以两腿分 三、解答题（共55分） 开站立，同时用手抓住拉环确保站地稳定， 16.(8分)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边 这样做的数学道理是 分别为a,b,c 12.如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4, (1)化简：a+b-c+b-a-c|; CD=3,AD=6.若对角线BD的长是整数， (2)若∠A=∠B-20°，∠C=∠B+20°，求 则BD的长度可能是 (写出一个 ∠A,∠B,∠C的度数： 即可) 13.如图，AC⊥FB于点C,FD交AC于点E,交 AB于点D.若∠1=∠B,则图中的直角三角 形有 个 ·22. 17.(8分)已知在等腰三角形ABC中，AB= 19.(9分)如图1，已知线段AB,CD相较于点 AC,一腰上的中线BD把这个三角形的周 O,连接AC,BD,我们把形如这样的图形称 长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰 为“8字形” 三角形底边的长. 图 图2 (1)直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数 量关系； (2)如图2，若∠CAB和LBDC的平分线 18.(8分)（驻马店市确山县校级月考）在 AP和DP相交于点P,且与CD,AB分别相 △ABC中，∠A=60°，D,E分别是△ABC的 交于点M,N,∠B=100°，∠C=120°，求∠P 边AC,AB上的点，P是一动点.设∠PDC= 的度数，并直接写出∠P与∠B,∠C之间 L1,∠PEB=∠2，∠DPE=∠a 的数量关系 图1 图2 (1)如图1，若点P在线段BC上，且∠α三 50°，求∠1+∠2的度数； (2)若点P在线段BC的延长线上，请借助 图2，探究∠1，∠2与∠α之间的数量关 系，并说明理由 ·23· 20.(10分)（漯河市郾城区校级月考）如图1 21.(12分)定义：在一个三角形中，如果有一 所示，把△ABC沿DE折叠， 个角是另一个角的)，我们称这两个角互 为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角 形”.例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B =40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”， 图1 图2 图3 △ABC是“友爱三角形”， (1)当点C落在四边形BEDA内部时，∠C 与∠1，∠2之间有一种数量关系始终保持 不变，请试着找一找这个规律，请你写出规 律并证明你的规律； (2)当点C落在AC上方时，∠C与∠1， 图1 图2 ∠2之间的数量关系是 (1)如图1，△ABC是“友爱三角形”，且 (3)当点C落在BC下方时，∠C与∠1， ∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B), ∠2之间的数量关系是 ∠ACB=90°. ①求∠A,∠B的度数； ②若CD是△ABC中AB边上的高，则 △ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗？为 什么？ (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A =66°，D是边AB上一点（不与A,B重 合)，连接CD,若△ACD是“友爱三角形”， 且∠ADC与∠ACD互为“友爱角”，直接写 出∠ACD的度数 ·24·所以2b+6=-3. 解得6=之 18.(1)四x>-3不等式的基本性质3 Q)3 将不等式①和不等式②的解集表示在数轴上如 图所示 5-4-3 21012345 1 (3)x75 (4)0 19.解：(1)③ (2)解方程组 (3x-2y=m+2 得/=m-12, 2x-y=m-5 (y=m-19. .x+y=2m-31. x+y>-1, ·方程组的解是不等式组 的梦想解， (x+y<5 .-1<2m-31<5. .15<m<18. 20.解：选择①： 设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜(20-x)个 20-x≤12， 根据题意得 2x+3(20-x)≥50. 解得8≤x≤10. x是正整数， .x的值可取8,9,10. 答：购买方案有三种，分别是：8个甲和12个乙；9 个甲和11个乙；10个甲和10个乙： 选择②：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜 (20-x)个. 20-x≤12， 根据题意得 180x+240(20-x)≤4320. 解得x≥8. x是正整数，且x<20, .x的值可取8,9,10,11,12,13,14,15,16,17， 18,19. 答：购买方案有12种，分别是：8个甲和12个乙； 9个甲和11个乙；10个甲和10个乙；11个甲和9 个乙；12个甲和8个乙；13个甲和7个乙；14个 甲和6个乙；15个甲和5个乙；16个甲和4个乙； 17个甲和3个乙；18个甲和2个乙；19个甲和1 个乙 21.解：(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元， 则每套乙型号“文房四宝”的价格是(x-40)元. 由题意可得5x+10(x-40)=1100. 解得x=100, 则x-40=60, 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，每 套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)设需购进乙型号“文房四宝”m套，则需购进 甲型号“文房四宝”（120-m)套 (100(120-m)+60m≤8500. 由题意可得 m<3(120-m). 解得87.5≤m<90. 又m为正整数， ∴.m可以取88,89. .共有两种购买方案： 方案一：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型 号“文房四宝”； 方案二：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型 号“文房四宝”. :每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号 “文房四宝”的价格贵40元， .甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就 越低。 ∴.最低费用是31×100+60×89=8440（元）. 第六周无忧小卷过关练 1.D2.C3.C4.A5.D6.C7.A8.C9.C 10.C 11.三角形具有稳定性 12.4(答案不唯一) 13.4 14.30 15.12【解析】小：E,F是线段AD的三等分点，.DF =号4D,46=号A0Sm=3S,SAc=38 3 ·6· S△Ac=SABD+S△ADc=3S1+3S2=3(S,+S2)=3X4 =12. 16.解：(1)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c, ∴.a+b>c,b<a+c. ∴.a+b-c>0,b-a-c<0. ∴.a+b-c+b-a-c =a+b-c-(b-a-c) =a+b-c-b+a+c =2a. (2).∠A=∠B-20°， ∠C=∠B+20°. ∠A+∠B+∠C=180°， .∠B-20°+∠B+∠B+20°=180°. 解得∠B=60 故∠A=60°-20°=40°，∠C=60°+20°=80° 17.解：设AB=AC=2xcm,BC=ycm,则AD=CD= x cm. AC上的中线BD将这个三角形的周长分成 15cm和6cm两部分，如图， ∴.有两种情况： ①当3x=15,且x+y=6时， 解得x=5,y=1. ∴.三边长分别为10cm,10cm,1cm; ②当x+y=15,且3x=6时， 解得x=2,y=13,此时腰长为4cm. 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三 边，而4+4=8<13，故这种情况不存在. 综上所述，这个等腰三角形底边的长是1cm. 18.解：(1)：∠A=60°， ∴.∠B+∠C=180°-∠A=120°. .∠a=50°， ∴.∠BPE+∠DPC=180°-∠a=130° ∴.∠1+∠2=360°-（∠B+∠C)-(∠BPE+ ∠DPC)=360°-120°-130°=110° (2)∠2=∠ax+∠1+60°.理由如下： ·7· 如图，设AC,EP交于点F. :∠AFE=∠1+∠a,∠2=∠A+∠AFE, .∠2=∠+∠1+60°. 19.解：(1)∠A+∠C=∠B+∠D. (2):∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交 于点P, ∴.∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP. 由(1)得∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,① ∠BAP+∠P=∠BDP+∠B.② 由①-②，得∠C-∠P=LP-LB, 即∠P(∠G+∠. ∠B=100°，∠C=120°， ∠P×(10r+1209y=109 ∠P与LB,∠C之间存在的数量关系为2∠P= ∠B+∠C. 20.(1)∠1+∠2=2∠C.证明如下： 由折叠的性质可得∠DEC=∠DEC',∠CDE= ∠C'DE. ∴.∠1=180°-2∠CDE,∠2=180°-2∠CED. ,∠CDE+∠CED+∠C=180°， .∠CDE+∠CED=180°-LC. .∠1+∠2=180°-2∠CDE+180°-2∠CED=360° -2(∠CDE+∠CED)=360°-2(180°-∠C)=360° -360°+2∠C,即∠1+∠2=2∠C. (2)∠2-∠1=2∠C (3)∠1-∠2=2∠C 21.解：(1)①.△ABC是“友爱三角形”，且∠A与 ∠B互为“友爱角”（∠A>∠B), 1 ∴.∠B= .∠ACB=90°， ∴.△ABC是直角三角形. ∴.∠A+∠B=90°. 1 ∴.∠A+。∠A=90.解得∠A=60°. 2 1 LB=2∠A=309 ②△ACD,△BCD都是“友爱三角形”.理由如下： ,CD是△ABC中AB边上的高， ..∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB. .∴.∠A+∠ACD=90°. ∠A+∠B=90°， ∴.∠ACD=∠B. .·∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴.∠A=∠BCD :∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B), ∴.∠A与∠ACD互为“友爱角”. ∴.△ACD是“友爱三角形”， 同理，∠BCD与∠B互为“友爱角”， .△BCD是“友爱三角形”， (2)∠ACD的度数为38°. 第七周无忧小卷过关练 1.C2.B3.D4.B5.C6.C7.B8.D9.A 10.B【解析】如图，连接CB, 6 根据图象可得∠M+∠N=∠3，∠H+∠G=∠4， ∠3=∠2+∠KEF,∠4=∠1+∠KEF. ∴.∠M+∠N+∠H+∠G=∠3+∠4=∠1+∠2+ 2∠KEF=180°+120°=300°. .·∠KEF=∠BEC=120°. ∴.∠5+∠6=180°-∠BEC=180°-120°=60. ∠A+∠D+∠7+∠5+∠6+∠8=360°， ..∠A+∠D+∠7+∠8=360°-60°=300° ..∠A+∠ABE+∠ECD+∠D+∠H+∠G+∠M+∠N =600°. 11.6 12.80米 13.336 14.m+2n=6 15.22° 16.解：(1)360°÷180°=2,630°÷180°=3…90°， .甲的说法对，乙的说法不对. :360°÷180°+2=2+2=4， .甲同学说的边数n是4. (2)依题意有 (n+x-2)×180°-(n-2)×180°=540°. 解得x=3. 故x的值是3. 17.(1)证明：如图所示，连接BD, :∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠C+∠CBD+ ∠CDB=180°，∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ADC= ∠ADB+∠CDB, .∴.∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°. (2)解：不合格.理由如下：如图，延长AB,CD交于 点G. :AE⊥EC, ∴.∠E=90°. .∠BAE=115°，∠DCE=117°， 四边形AECG的内角和为360°， ∴.∠G=360°-（∠A+∠E+∠C)=38°≠40°. .该模板不合格。 18.解：(1)正方形ACDE和正六边形BCFGHI, .∠ACD=360°÷4=90°. ∠BCF=(6-2)x180 =120° 6 ∴.∠ACB=360°-∠ACD-∠BCF=360°-90°-120° =150°. .n=150. (2)n的值为145或155. 19.解：(1)∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°， ∴.∠A+∠B=360°-（∠BCD+∠ADC). ,∠1+∠ADC=180°，∠2+∠BCD=180°， .∠1+∠2=360°-（∠BCD+∠ADC). ·8…