专题07 反比例函数的综合应用（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 反比例函数的综合应用 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 反比例函数与一次函数的综合 题型二 反比例函数与三角形的综合 题型三 反比例函数与四边形的综合 题型四 反比例函数与圆的综合 题型五 反比例函数与动态最值的综合 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 反比例函数综合应用是中考数学核心必考模块，分值约8-12分，多以解答题、选择压轴题形式出现，少数地区会融入填空压轴考查，整体覆盖基础、中档、拔高三个难度层级。该专题侧重考查数形结合、转化、建模三大数学思想，核心围绕反比例函数解析式求解、k的几何意义、几何图形性质与函数图象的融合展开，是衔接代数与几何的关键题型，也是拉开分数差距的重要考点。 基础知识必备：熟练掌握反比例函数的图象与性质，牢记k的几何意义；会求解一次函数与反比例函数的交点坐标；掌握三角形、特殊四边形、圆的核心性质与判定；能利用几何定理、勾股定理、相似性质进行线段、面积、坐标的计算；掌握动态问题的分析思路与最值求解方法。 2026中考预测： 题型稳定：解析式求解、面积计算、几何图形综合为必考考点，动态最值、圆的综合为压轴高频考法；命题贴合教材，基础与综合结合，无偏题怪题。 难度平稳：基础题侧重单一知识点直接应用，全员可得分；中档题侧重双知识点融合，考查逻辑推导与计算能力；压轴题侧重多模块综合（函数 + 几何 + 坐标），无偏题怪题，难点集中在数形转化与分类讨论，重点考查知识迁移与综合应用能力； 命题趋势：与几何图形的跨模块融合占比持续提升，常结合矩形、菱形、相似三角形设置问题，强调k 的几何意义的灵活迁移；与一次函数的综合题更注重图象的实际应用，结合函数图象分析实际问题中的数量关系；模型化凸显，常见几何模型与反比例函数结合成主流；素养导向，弱化机械计算，强化数学思想与实际应用能力考查。 题型一 反比例函数与一次函数的综合 【典例01】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． 【变式01】如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． (1)求和的值： (2)若点与点关于轴对称，求的面积． 【变式02】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 【变式03】（2026·湖北黄石·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【变式04】（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数交于和两点． (1)求m、n的值和一次函数的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)连接，求的面积． 【变式04】（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 【变式06】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且． (1)求k的值； (2)平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积； (3)在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． 题型二 反比例函数与三角形的综合 【典例01】（2024•张店区一模）如图1，已知反比例函数的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上． （1）已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线y＝mx+b经过C，D两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线CD的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 【变式01】（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2024•章丘区一模）如图，点A，B是反比例函数y（x＞0）的图象上的点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OD＝DC，连接AO，BO，AB，线段AO交BD于点E，OA，tan∠AOC． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△ABE的面积； （3）若将AB所在的直线向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象y（x＞0）有且只有一个公共点，求m的值． 【变式03】在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点，的面积为2． (1)求与的数量关系； (2)当时，求反比例函数的解析式和直线的解析式； (3)设点是线段边上的点，在（2）的条件下，是否存在点，以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式04】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，. (1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式； (2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标； (3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标. 【变式05】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． (1)连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 反比例函数与四边形的综合 【典例01】（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 【变式01】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 【变式02】如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点为线段上一点，若，求点的坐标． 【变式03】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【变式04】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式05】（2025·河北唐山·模拟预测）矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E； (1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标； (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 题型四 反比例函数与圆的综合 【典例01】如图，点在反比例函数的图象上，以点为圆心的与两坐标轴都相切，为轴负半轴上的一点，交轴于点，连接． （1）点的坐标为_______； （2）若，则的长为_______． 【变式01】（2025河南驻马店三模）如图，反比例函数图象经过点，已知经过点B，且与y轴相切于点，连接交于点D．点P为上一动点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的长； (3)直接写出面积的最大值． 【变式02】如图，在平面直角坐标系中，函数的图像与直线交于点，直线分别交x轴，y轴于C、B两点． （1）求的值； （2）已知点，当点P在函数的图像上时，求△POA的面积； （3）点Q在函数的图像上滑动，现有以Q点为圆心，为半径的⊙Q，当⊙Q与直线相切时，求点Q的坐标．    【变式03】如图，一次函数y=2x与反比例函数y=(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点 （1）若AO=，求k的值； （2）若OQ长的最大值为，求k的值； （3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值． 【变式04】（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ (3)若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 【变式05】【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线（）上第一象限内的两个动点（），以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 (1)求证：函数的图象必经过点C． (2)如图2，把矩形沿折叠，点A的对应点为E．当点E落在x轴上，且点B的坐标为时，求k的值． (3)【深入探究】如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 题型五 反比例函数与动态最值的综合 【典例01】（2025·宁夏石嘴山·一模）如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)分别求出函数与的函数表达式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P为y轴上的一个动点，当最小时，求出点P坐标． 【变式01】如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点，交反比例函数的图像于点C，其中． (1)求直线与反比例函数的解析式； (2)点P为线段上一个动点，过点P作轴，交反比例函数图像于点Q，连接，当面积最大时，求点P的坐标． 【变式02】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 【变式03】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数及反比例的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，当S的值最小时，求出点P的坐标及S的最小值． 【变式05】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 【变式05】（2026·全国·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中，，反比例函数经过点，与对角线的另一个交点为点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点是线段下方反比例函数图像上的一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点，过点作的平行线交轴于点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． （限时训练：40分钟） 1．（2026·河南·一模）如图，点是反比例函数的图象上一点，是直线延长线上的一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，若． (1)求反比例函数的解析式； (2)是线段的中点，将沿轴向左平移 个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求平移前点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直轴于点，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，若的坐标为，． （1）反比例函数的解析式是_________； （2）设点是线段上的动点，过点且平行轴的直线与反比例函数的图像交于点，求面积的最大值． 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，点的坐标为，连接、、，若，求点的坐标． 4．（2025·四川广元·模拟预测）如图，反比例函数 的图象经过正方形（为坐标原点）的顶点，直线 经过边的中点． (1)求直线的函数解析式及反比例函数的解析式． (2)将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线在双曲线 的上方时，求的取值范围． (3)将 绕点顺时针旋转，点的对应点为点，判断点是否在该双曲线上． 5．（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过的顶点，，点的坐标为，点在轴上，且轴，． (1)填空：点的坐标为 ． (2)求双曲线函数关系式及点坐标； (3)求所在直线关系式． 6．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标． 7．（2024·山东济宁·一模）如图，一次函数与反比例函数 ()的图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式 ()的解集是___________； (3)点是线段上一点，过点作轴于点，连接，设点的横坐标为，用含的代数 式表示，求的最大值和最小值. 8．（2025·广东·模拟预测）如图，已知点和点B（点B不与点A 重合）都在反比例函数的图象上，直线与坐标轴交于P，Q两点．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，与交于点E，连接． (1)求反比例函数的解析式． (2)求证： ． (3)试探究是否存在点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 10．（2025·湖北恩施·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、两点是一次函数和反比例函数图像的两个交点，直线AB与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集； (3)在y轴上取一点P，使的值最大，并求出的最大值及点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 反比例函数的综合应用 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 反比例函数与一次函数的综合 题型二 反比例函数与三角形的综合 题型三 反比例函数与四边形的综合 题型四 反比例函数与圆的综合 题型五 反比例函数与动态最值的综合 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 反比例函数综合应用是中考数学核心必考模块，分值约8-12分，多以解答题、选择压轴题形式出现，少数地区会融入填空压轴考查，整体覆盖基础、中档、拔高三个难度层级。该专题侧重考查数形结合、转化、建模三大数学思想，核心围绕反比例函数解析式求解、k的几何意义、几何图形性质与函数图象的融合展开，是衔接代数与几何的关键题型，也是拉开分数差距的重要考点。 基础知识必备：熟练掌握反比例函数的图象与性质，牢记k的几何意义；会求解一次函数与反比例函数的交点坐标；掌握三角形、特殊四边形、圆的核心性质与判定；能利用几何定理、勾股定理、相似性质进行线段、面积、坐标的计算；掌握动态问题的分析思路与最值求解方法。 2026中考预测： 题型稳定：解析式求解、面积计算、几何图形综合为必考考点，动态最值、圆的综合为压轴高频考法；命题贴合教材，基础与综合结合，无偏题怪题。 难度平稳：基础题侧重单一知识点直接应用，全员可得分；中档题侧重双知识点融合，考查逻辑推导与计算能力；压轴题侧重多模块综合（函数 + 几何 + 坐标），无偏题怪题，难点集中在数形转化与分类讨论，重点考查知识迁移与综合应用能力； 命题趋势：与几何图形的跨模块融合占比持续提升，常结合矩形、菱形、相似三角形设置问题，强调k 的几何意义的灵活迁移；与一次函数的综合题更注重图象的实际应用，结合函数图象分析实际问题中的数量关系；模型化凸显，常见几何模型与反比例函数结合成主流；素养导向，弱化机械计算，强化数学思想与实际应用能力考查。 题型一 反比例函数与一次函数的综合 【典例01】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，将代入，求得，再将点代入即可求解； （2）设点，则，则．可得，分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 可知， ∴， ∴． 又点在上， ∴． ∴反比例函数为． （2）解：如图，    设点，则， ∴． ∴, 由， 解得，， 则， ①由图可知，在第二象限当时，， ∴化简为， ∵， ∴此种情况不存在． ②由图可知，在第二象限当时，， ∴化简为， 解得或． 又∵， ∴． 综上，． 【变式01】如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． (1)求和的值： (2)若点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，直线与坐标轴的交点问题等知识点． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出一次函数解析式，然后求出点坐标，根据轴对称的性质求出点，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于，两点， ∴将，两点代入，则， ∴， ∴； （2）解：将点，代入， 则， 解得， ∴一次函数解析式为， 令，则， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴ ． 【变式02】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求正切值． （1）先求得点的坐标，待定系数法求得，进而求得的坐标和点的坐标，根据正切的定义，即可求解； （2）先求得，则，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， ， 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数的表达式为：． 在中，令，则， 令，则． 在中，． （2）由（1）得，， ， ． ， 在中，当时，，此时； 当时，，此时． 故点的坐标为或． 【变式03】（2026·湖北黄石·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． （1）运用反比例函数解析式求出点、的坐标即可； （2）使用待定系数法求出一次函数的解析式； （3）根据图象判断不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点坐标为； （2）解：将 ，代入，得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：不等式，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在轴下方， 将代入，得， 解得：， 由图象可知，不等式的解集为． 【变式04】（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数交于和两点． (1)求m、n的值和一次函数的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出点A和点B的坐标是解题的关键． （1）把点A和点B的坐标代入反比例函数解析式中可求出m、n的值，进而得到点A和点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）设直线交x轴于点C，求出点C的坐标，根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于和两点， ∴， ∴， ∴， 把代入一次函数解析式得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点C， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 【变式04】（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象确定函数值的取值范围，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）把代入可得，即；把代入求得k的值即可解答； （2）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，，可得，则设点，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值，继而得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 把代入得， 双曲线的函数表达式为； （2）直线与双曲线交于点， ∴ 另一个交点为， ∵ 点分别在直线和双曲线上， 观察图象， 当时，或； （3）解：如图 ，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， ∵ 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， ∴ 点， ∵ 点在反比例函数图象上， ， 解得（舍去）， ， ∴ 点． 【变式06】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且． (1)求k的值； (2)平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积； (3)在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． （1）设线段交轴于点，得到，求出的解析式为，求得，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出和，得到，即可求出答案； （3）分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，设线段交轴于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 , 解得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵对应点D落在轴上， ∴向下平移4个单位， ∵的对应点为点， ∴点的纵坐标为 ∵点C落在反比例函数的图象上， ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点C， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：设，， 直线的解析式为， 当点在第三象限时， 当点是的中点时，， ∴， 解得或（舍去） ∴， 当时，，， ∴ ∴ ∴， 解得（舍去）或 ∴， 当点在第一象限时， 当时，，， ∴ ∴ ∴， 解得或（舍去） ∴， 当点是的中点时，， ∴， 解得（舍去）或， ∴，此时点E在直线的上方，不符合题意，舍． 综上可知，或或 题型二 反比例函数与三角形的综合 【典例01】（2024•张店区一模）如图1，已知反比例函数的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上． （1）已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线y＝mx+b经过C，D两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线CD的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】（1）由Rt△OAB的面积2m×2n＝8，即可求解； （2）当∠AOB＝45°时，则直线OB的表达式为：y＝x，故（1）中m＝n，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）设点C（m，n）， 由中点坐标公式得，点B（2m，2n）， 则Rt△OAB的面积2m×2n＝8， 则mn＝4， 则k＝mn＝4； （2）当∠AOB＝45°时， 则直线OB的表达式为：y＝x， 故（1）中m＝n， 即mn＝m2＝4， 解得：m＝﹣2（舍去）或2， 即点C（2，2），则点B（4，4）， 由（1）知，反比例函数的表达式为：y， 当x＝4时，y＝1，即点D（4，1）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：yx+3； （3）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，解不等式等，数形结合是解题的关键． 【变式01】（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）分，两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上， ， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则， ，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 【变式02】（2024•章丘区一模）如图，点A，B是反比例函数y（x＞0）的图象上的点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OD＝DC，连接AO，BO，AB，线段AO交BD于点E，OA，tan∠AOC． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△ABE的面积； （3）若将AB所在的直线向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象y（x＞0）有且只有一个公共点，求m的值． 【分析】（1）先求求出AC，OC长，确定A点的坐标，代入反比例函数解析式即可； （2）求出DE的长，确定BE的长，根据三角形面积公式求得； （3）求出AB的函数解析式，再确定平移后的函数解析式，和反比例函数联立，转化为一元二次方程，根据Δ＝0求得． 【详解】解：（1）在Rt△AOC中， ∵tan∠AC， ∴可设AC＝k，OC＝2k， ∴k2+（2k）2＝（）2， ∴k＝1， ∴A（2，1）， ∴， ∴k＝2， ∴； （2）∵OC＝CD，OC＝2， ∴OD＝1， ∴y2， 即：B（1，2）， ∵AC⊥OC，BD⊥OC， ∴BD∥AC， ∴△ODE∽△OCA， ∴， ∴DE， ∴BE＝BD﹣DE＝2， BE•DC ； （3）设AB的解析式是：y＝mx+n， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+3， ∴平移后的函数解析式是：y＝﹣x+（3﹣m）， 由﹣x+（3﹣m）得， x2﹣（3﹣m）x+2＝0， ∵Δ＝（3﹣m）2﹣4×1×2＝0 ∴m1＝3﹣2，m2＝3+2（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象和性质，相似三角形性质以及一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．本题属于基础题． 【变式03】在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点，的面积为2． (1)求与的数量关系； (2)当时，求反比例函数的解析式和直线的解析式； (3)设点是线段边上的点，在（2）的条件下，是否存在点，以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了反比例函数的性质（反比例函数上点的横纵坐标之积为定值）、锐角三角函数的定义、一次函数解析式的求法及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用反比例函数点的坐标关系推导与的数量关系，结合三角函数和三角形面积求函数解析式，再通过分类讨论相似三角形的对应关系求点坐标． （1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积为，得，化简得； （2）过作于，由得，结合面积为列方程求，进而得、，确定反比例函数解析式；再根据B、两点坐标求直线解析式； （3）分和两种情况，作，利用相似三角形的对应边成比例求的长度，结合直线解析式求点坐标． 【详解】（1）解：∵点、在反比例函数上， ∴，即，． ∴，化简得． （2）如图，过点作于点． 在中，， 由点、知，， 故，， ， ． ∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式． 由知，，则， ∴，又即， 设直线的解析式为，将点B与点D的坐标代入， ，解得， ∴直线的解析式为． （3）如图，作于， ①当时，， ， ， ， 即 ②当时， ， 即 ． 综合①②可知，或． 【变式04】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，. (1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式； (2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标； (3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标. 【答案】(1) (2)，点Q的坐标为， (3)或 【分析】（1）过点B作于点H，利用等腰直角三角形的性质求出点B的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点Q作轴于点M，求出直线的解析式是和直线的解析式为，与反比例函数解析式联立得到点Q的坐标为，则，利用 即可得到答案； （3）求出，过点C作于点N，得到，过点P作轴于点R，求出反比例函数解析式为，由（2）可知，，解方程即可得到m的值，即可得到点P的坐标. 【详解】（1）解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，，. ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过的顶点B， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）过点Q作轴于点M， 设直线的解析式是，把点B的坐标代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式是， ∵， ∴可设直线的解析式为，把点A的坐标代入得到 ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为， ∴， ∴ ； （3）∵是等腰直角三角形，，. ∴， ∵， ∴, ∴， 过点C作于点N，则，过点P作轴于点R， ∴点C的坐标是， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 设点P的坐标为， 则,， 由（2）可知，， 解得：（不合题意，舍去）或或或（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为或 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式，解分式方程、等腰直角三角形的性质、一次函数和反比例函数图象交点问题等知识，数形结合是解题的关键. 【变式05】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． (1)连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为，； (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点． （）①先利用点和的坐标求出直线的解析式为，再将其与一次函数联立，解方程组得到交点的坐标为，最后通过两点间距离公式计算出的长度即可；②先根据四边形是矩形的性质，得出且；再由直线的解析式推出直线的解析式为，将其与反比例函数联立求解，结合点在直线上方的条件确定的坐标；最后通过两点间距离公式求出的长度即可； （）先利用直线的表达式结合反比例函数设出点的坐标；再通过作垂线构造直角三角形(过点作点)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得坐标)，推导与的数量关系；接着分点在直线下方和上方两种情况，结合对称性(直线与反比例函数关于对称，点在上)，通过坐标关系(如)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：(i)设直线的解析式为， ∵点的坐标为，代入解析式， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立与一次函数，得 ， 解得， 所以点的坐标为， ∴的长为， (ii)如图， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 联立， 解得或， ∵点在直线的上方， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （2）解：存在点使得为等边三角形， 理由如下：设直线为直线， 令得，，令得，， ∴，， ∴直线与两坐标轴的坐标为，即直线与两坐标轴围成了等腰， ∴直线与轴夹角为， ∵直线的解析式为， ∴直线是两坐标轴的夹角平分线， ∴，， 过点作点， ∴， 设点，设直线的表达式为， ∴， 联立， 解得， ∴， 则， ∴，即， ①如图，当点在直线下方时.过点作轴，交直线于点， ∴， ∴在中， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点即为点， ∵是等边三角形，轴， ∴由等边三角形的性质，点的横坐标与的中点坐标的横坐标相等，即即， ∴设，则， ∵点在双曲线上， ∴， 解得(舍去)， ∴， ②当点在直线上方时， ∵直线和反比例函数图象都关于直线对称，点在直线上， ∴由对称性得点关于直线的对称点也满足题意， 如图，连，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与对应边与边上的高相等，即的纵坐标等于的横坐标， ∴将代入中得， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 题型三 反比例函数与四边形的综合 【典例01】（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点在一次函数图象上，求出点的横坐标，从而得到点，设点向下平移的距离为a，则平移后的点，再利用反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：四边形为平行四边形， ， 轴， 轴， 点， 点A的纵坐标为2， 当时，， ， ， 点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ，解得， 平移的距离为． 【变式01】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）设的坐标是，由的面积等于正方形面积的一半，得到，求解，即可求解坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：设的坐标是， ∵的面积等于正方形面积的一半 ， ， ， 的坐标是． 【变式02】如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点为线段上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，勾股定理等知识解题的关键是掌握以上知识点．， （1）根据矩形的性质以及，可得点M的坐标为，然后代入即可求解； （2）先求出点N的坐标为，可得，设点P的坐标为，则，，根据勾股定理以及，可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点N的坐标为， ∴， 设点P的坐标为，则，， ∵，， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 【变式03】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式04】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)M点的坐标为或 (3)Q点坐标为 【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式； （2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标； （3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点A、B代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接， ∵直线与反比例函数交于C点， ∴A、C关于原点对称， ∴， ∴O是的中点， ∵的面积为8， ∴的面积， 设， ∴的面积， 当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； 综上所述：M点的坐标为或； （3）解：存在点Q，理由如下： 设，， 当为对角线时，， 解得， ∴； 当为对角线时，，无解； 当为对角线时，， 解得， ∴； 点在反比例函数的图象的右支上， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式05】（2025·河北唐山·模拟预测）矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E； (1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标； (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意易得点、的坐标，再根据中点的性质得到点F的坐标，利用待定系数法求出的值，进而得到点E的坐标； （2）根据反比例函数的图像性质得到点F、E的坐标，进而得到、的值，再利用计算即可； （3）过点E作于点H，则、，根据折叠的性质得到、、，易证得，根据相似三角形的性质得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出k的值，进而得到此时反比例函数的解析式． 【详解】（1）解：、， 、， 点F是边的中点， ， 点F在反比例函数的图像上， ， ， 反比例函数的解析式为， 将点的纵坐标代入得：， ， ； （2）解：点的横坐标为， ， ， 点的纵坐标为， ， ， 在中，； （3）解：过点E作于点H，如图： 、， ， 由折叠可知，、、， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 此时反比例函数的解析式为． 题型四 反比例函数与圆的综合 【典例01】如图，点在反比例函数的图象上，以点为圆心的与两坐标轴都相切，为轴负半轴上的一点，交轴于点，连接． （1）点的坐标为_______； （2）若，则的长为_______． 【答案】 【分析】（1）过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，根据且，求出，即可得出答案； （2）先证明，得出，根据，得出，求出，即可得出． 【详解】解：（1）过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，如图所示： 由题意，得且， ∴， 即点的坐标为． 故答案为：． （2）∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， 即，负值舍去． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，切线的性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 【变式01】（2025河南驻马店三模）如图，反比例函数图象经过点，已知经过点B，且与y轴相切于点，连接交于点D．点P为上一动点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的长； (3)直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与圆的综合应用，切线的性质，熟练掌握切线的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，得到轴，进而求出点坐标，求出半径的长，勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长； （3）由题意，当为的直径时，的面积最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴； （2）连接， ∵与y轴相切于点， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴，， ∵交于点D， ∴， ∴； （3）作轴，由（2）可知，的半径为， 则：， ∴， ∴当轴，且最大时，最大， ∴当为的直径时，此时轴，且的值最大为， ∵， ∴面积的最大值． 【变式02】如图，在平面直角坐标系中，函数的图像与直线交于点，直线分别交x轴，y轴于C、B两点． （1）求的值； （2）已知点，当点P在函数的图像上时，求△POA的面积； （3）点Q在函数的图像上滑动，现有以Q点为圆心，为半径的⊙Q，当⊙Q与直线相切时，求点Q的坐标．    【答案】（1）k=3，m=1；（2）；（3）(，)或(，) 【分析】（1）将点A代入一次函数的解析式中即可求出m的值，进而可求出点A的坐标，然后将点A代入反比例函数中，即可求出k的值； （2）根据反比例函数的解析式，求出点P的坐标，然后利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到△POA的面积； （3）先通过直线求出点B,C的坐标，进而通过OB=OC得出，然后分两种情况：当⊙Q在直线左侧与直线 相切时和当⊙Q在直线右侧与直线 相切时，作QM∥x轴交直线于点M，QN⊥直线于点N，通过特殊角的三角函数值求出Q,M的横坐标之差为2，然后设出Q,M的坐标，建立方程即可求解． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， ∴． ∵点在上， ； （2）∵点P在函数的图像上， ∴ , ∴或 （舍去）, ∴    ; （3）当时， , ∴ ． 当时， ，解得 , ∴ , ， ∴ ． 当⊙Q在直线左侧与直线 相切时，作QM∥x轴交直线于点M，QN⊥直线于点N，    ∵QM∥x轴， ∴ ． ， ． 设点 ，则 则有 ， 解得或 （舍去）， 当时， , ∴此时； 同理，当⊙Q在直线右侧与直线 相切时，则有 ， 解得或 （舍去）， 当时， ， ∴此时， 综上所述，Q的坐标为或 【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数与圆，掌握待定系数法，数形结合并分情况讨论是解题的关键． 【变式03】如图，一次函数y=2x与反比例函数y=(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点 （1）若AO=，求k的值； （2）若OQ长的最大值为，求k的值； （3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值． 【答案】（1）2；（2）；（3）a的值为-3或2或-4或1． 【分析】（1）设A(m，n)，根据勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征得出，解方程组即可求得A的坐标，代入y=可求得k的值； （2）作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值； （3）根据题意写出抛物线的解析式为：y=ax2+ax-2a=a(x+)2-a，即可判定-在a≤x≤a+1范围外，故存在两种可能，即当x=a时，有最大值4a，或x=a+1时有最大值4a，分别代入求得即可． 【详解】（1）设A(m，n)， ∵AO=， ∴m2+n2=5， ∵一次函数y=2x的图象经过A点， ∴n=2m， ∴m2+(2m)2=5，解得m=±1， ∵A在第一象限， ∴m=1， ∴A(1，2)， ∵点A在反比例函数y=(k＞0)的图象上， ∴k=1×2=2； （2）如图，连接BP， 由对称性得：OA=OB， ∵Q是AP的中点， ∴OQ=BP， ∵OQ长的最大值为， ∴BP长的最大值为×2=3， 如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D， ∵CP=1， ∴BC=2， ∵B在直线y=2x上， 设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2， ∴22=(t+2)2+(-2t)2， t=0(舍)或-， ∴B(-，-)， ∵点B在反比例函数y=(k＞0)的图象上， ∴k=-×(-)=； （3）∵抛物线经过点C(-2，0)， ∴4a-2b+c=0， 又∵a+b+c=0， ∴b=a，c=-2a， ∴y=ax2+ax-2a=a(x+)2-a， ∵-＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-， 当x=a时，取得最大值4a， 则a•a2+a•a-2a=4a， 解得a=-3或2， 当x=a+1时，取得最大值4a， 则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a， 解得a=-4或1， 综上所述所求a的值为-3或2或-4或1． 【点睛】本题考查二次函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数最值问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题． 【变式04】（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ (3)若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)在 (3) 【分析】（1）运用等边三角形的性质得，运用勾股定理算，结合切线的性质得点P的坐标为，再代入求出反比例函数的表达式为； （2）先证明四边形是矩形，得，则点D的横坐标为，结合点M的坐标为，得，即点D的坐标为，根据，即可作答． （3）因为与反比例函数的图象交于点E，F，故设点的坐标为，由（1）得点P的坐标为，运用两点的距离公式，列式，得点的坐标为，因为，即三点共线，结合直径所对的圆周角是90度，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，且， ∴， 如图1，过点P作轴，垂足为M，连接， 由三线合一得， 即， ∴， 则， ∵与轴交于A，B两点，与轴相切于点． ∴轴， ∴P点的纵坐标为4， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数图象上， ∴把代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，记交于点N ∵轴，轴， ∴， ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∴， 即点D的横坐标为， 由（1）得， ∴点M的坐标为， 则， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象上； （3）解：∵与反比例函数的图象交于点E，F， ∴设点的坐标为， 由（1）得点P的坐标为， ∴， 即， ∴解得（另一个小于，故舍去） ∴点的坐标为， ∵由（1）得，且， ∴的坐标为 ∵点P的坐标为， ∵， 即三点共线， 即为直径， 连接，如图所示： ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数与圆综合，求反比例函数的解析式，圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，难度较大，综合形较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式05】【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线（）上第一象限内的两个动点（），以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 (1)求证：函数的图象必经过点C． (2)如图2，把矩形沿折叠，点A的对应点为E．当点E落在x轴上，且点B的坐标为时，求k的值． (3)【深入探究】如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，则，求出点，代入函数解析式中，得出函数的图象必经过点C； （2）证明，根据对应边成比例求出k的值； （3）根据过点A和过点B，求出临界值，从而求出k的取值范围． 【详解】（1）解：设，则， ∵轴， ∴D点的横坐标为， ∴将代入中得：， ∴ ∴， ∴， 将代入中得， ∴， ∴函数的图象必经过点C； （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为2，C点的纵坐标为1， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴，， ∵把矩形沿折叠，点A的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵， ∴H，F，E三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）解：∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作， ， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根据A，C关于直线对称可知，必过点C， 如图所示，连接，，过点D作轴交y轴于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 题型五 反比例函数与动态最值的综合 【典例01】（2025·宁夏石嘴山·一模）如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)分别求出函数与的函数表达式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P为y轴上的一个动点，当最小时，求出点P坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点坐标，函数图象与几何图形面积问题，正确掌握一次函数与反比例函数的综合知识点是解题的关键． （1）将点A的坐标代入，求出m，再将点A的坐标代入，把代入，进而求得的解析式； （2）根据函数图象的交点坐标即可解答； （3）求出点B、点B关于y轴对称点，待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，可得， ∴， 把代入双曲线，可得， ∴与x之间的函数关系式为：． 把代入，可得， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴当时，不等式的解集为：． （3）解：，令，则， ∴点B的坐标为，则点B关于y轴对称点， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴，当最小，即时，． 【变式01】如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点，交反比例函数的图像于点C，其中． (1)求直线与反比例函数的解析式； (2)点P为线段上一个动点，过点P作轴，交反比例函数图像于点Q，连接，当面积最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；反比例函数的解析式为； (2)点P的坐标为． 【分析】（1）过点C作轴于点F，通过证得，求得，，即可求得，即可求得，代入即可求得反比例函数的解析式，把点，分别代入，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）表示出Q的坐标，即可利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质，即可求得结论． 【详解】（1）解：∵点，， ∴， 过点C作轴于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 把点，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点P为线段上一个动点， ∴设， ∵轴， ∴， ∴， 当时，的面积最大，其最大值为24，点P的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数的性质，表示出点的坐标是解题的关键． 【变式02】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案； （3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于， ∴， ∴， ∴、、三点共线时有最小值，为， ∴的周长最小，为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， ∵直线交反比例函数的图像于点（异于）， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 当时，，整理得（舍去）， 当时，，整理得（舍去）， 当时，， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 【变式03】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数及反比例的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，当S的值最小时，求出点P的坐标及S的最小值． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)点P的坐标为或，S的最小值为． 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、二次函数的应用等知识． （1）将代入得b，即得一次函数的解析式，将代入得k，将代入一次函数解析式得m； （2）由图象可得，一次函数与反比例函数的图象交于点和，根据直线在双曲线下方的部分的自变量的范围即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是， 把代入得到 ， 解得， ∴反比例函数解析为； ∵在一次函数的图象上， ， ； （2）由图象可得，一次函数与反比例函数的图象交于点和， 则得解集为：或； （3）∵点P是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 此时点P的坐标是或 【变式05】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析 (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设点，连接交于H，推出，得到点的坐标，即可得解； （2）①由四边形为正方形得到，垂直平分，设点，求出的值，即可得到点和点的坐标，进而求解； ②延长交轴于P，此时点即为所求，设直线的解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下： 设点， ∵点C关于直线的对称点为点E， ∴，平分， 如图，连接交于H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴于D， ∴轴， ∴， ∵， ∴点E在这个反比例函数的图象上； （2）解：①∵四边形为正方形， ∴，垂直平分， ∴， 设点， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， 代入得， ， 解得； ②∵点在轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴，当且仅当、、三点共线时取等号； 延长交轴于P，此时点P即为符合条件的点； 由①知，，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故当最大时，点P的坐标为． 【变式05】（2026·全国·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中，，反比例函数经过点，与对角线的另一个交点为点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点是线段下方反比例函数图像上的一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点，过点作的平行线交轴于点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值是， 的坐标为． 【分析】（1）先求出的长，在通过平行四边形的性质推出点的坐标，最后将点代入反比例函数中求解即可； （2）先求出直线的解析式，根据轴，设坐标，推出坐标，得出的长度，再延长，分别交轴于点，，证明，推出的长，最后三角形面积公式求出，配方求出最值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴轴，． ∵， ∴点的横坐标：，纵坐标与的纵坐标一样， ∴． ∵经过点， ∴． ∴反比例函数表达式是． （2）∵设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 由②①得： ， ， 将代入①中，得，即， ∴直线的解析式为：． ∵设， 又∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标， ∴， ∴． 如图，延长，分别交轴于点，． ∵，轴， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ． ∴当时，的最大值是． ∵将代入中， ∴． 【点睛】本题主要考查反比例函数解析式、反比例函数上的点、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握反比例函数的几何应用是解决本题的关键． （限时训练：40分钟） 1．（2026·河南·一模）如图，点是反比例函数的图象上一点，是直线延长线上的一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，若． (1)求反比例函数的解析式； (2)是线段的中点，将沿轴向左平移 个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求平移前点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)平移前点的坐标为 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，平移的性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）设点的坐标为，根据，可得点的坐标为，进而求出点的坐标为，结合，计算出的值； （2）点的坐标为，结合题干可求出点的坐标为．由平移的性质可知，平移后的点的坐标为，将点坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，从而得到平移前点的坐标． 【详解】（1）解：设点的坐标为， ∵是直线延长线上的一点，且， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设点的坐标为， 由（1）可知，点的坐标为， ∵是线段的中点， ∴点的坐标为， 将点向左平移个单位长度，所得的点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴平移前点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直轴于点，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，若的坐标为，． （1）反比例函数的解析式是_________； （2）设点是线段上的动点，过点且平行轴的直线与反比例函数的图像交于点，求面积的最大值． 【答案】 【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论； （2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论，设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论． 【详解】（1）∵AD＝3，D（4，m）， ∴A（4，m＋3）， ∵点C是OA的中点， ∴ ， ∵点C，D在双曲线y＝上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为y＝； （2）∵m＝1， ∴C（2，2），D（4，1）， 设直线CD的解析式为y＝ax＋b， ∴， ∴ ∴直线CD的解析式为， 故答案为：； 如图，设点， C（2，2），D（4，1）， ∴2＜n＜4， ∵EF∥y轴交双曲线于F， ∴， ∴EF＝−n＋3−， ∴S△OEF＝ ∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为， 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S△OEF与n的函数关系式． 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，点的坐标为，连接、、，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，反比例函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出一次函数的解析式，再得出，然后代入进行计算，即可作答． （2）先求出，得则，因为，得，整理得，再把数值代入，进行计算，得，最后代入反比例函数进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线（为常数）与轴、轴分别交于点、 ∴把代入，得， 解得， ∴， 把点代入，得， 即， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得，，； 依题意，令，则， 解得，即， ∴， 则， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 则， 解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∴点的坐标为． 4．（2025·四川广元·模拟预测）如图，反比例函数 的图象经过正方形（为坐标原点）的顶点，直线 经过边的中点． (1)求直线的函数解析式及反比例函数的解析式． (2)将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线在双曲线 的上方时，求的取值范围． (3)将 绕点顺时针旋转，点的对应点为点，判断点是否在该双曲线上． 【答案】(1)直线的函数解析式为 ；反比例函数的解析式为 (2) (3)点 在该双曲线上 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式求出的值即可；根据点是正方形的边的中点，求出点坐标，代入反比例函数解析式中，求出的值即可． （2）根据平移的性质得到直线的解析式，联立直线与反比例函数的解析式，求得交点的横坐标，进而根据函数图象的特征求得的取值范围． （3）根据旋转的性质得到点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式中验证点是否在该双曲线上． 【详解】（1）解：点在直线 上， ，解得， 直线的函数解析式为． 点是正方形的边的中点， ． 将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的解析式为 ． （2）解：将直线 向下平移个单位长度，得， 设直线与双曲线 交于点 ， 联立 ，解得或 （舍去）， 点的横坐标为， 当直线 在双曲线的上方时，． （3）解：由（1）易知，，，． 将绕点顺时针旋转，点 的对应点为点， 点的坐标为． 对于反比例函数， 当时，， 点在该双曲线上． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，反比例函数与几何图形结合，待定系数法求函数解析式，线段的中点坐标公式，一次函数图形的平移，图形的旋转，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质． 5．（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过的顶点，，点的坐标为，点在轴上，且轴，． (1)填空：点的坐标为 ． (2)求双曲线函数关系式及点坐标； (3)求所在直线关系式． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，一次函数，平行四边形的性质，熟练掌握函数的图像性质是解题的关键． （1）利用两点平行轴纵坐标相等解答即可； （2）利用点的坐标求出反比例函数解析式，再利用三角形面积公式求出点的纵坐标，代入反比例函数运算求解即可； （3）利用待定系数法运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，且轴， ∴， 故答案为：； （2）把代入到， 得，所以； 对图形进行点标注，如图所示： ∵，， ∴， ∴，即， 把代入，则， 则， 即； （3）设直线的解析式为，由、的坐标得， 解此方程组得， ∴直线的解析式为． 6．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)点的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式等知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，交于点，利用平行线分线段成比例定理求得，求得点的纵坐标为4，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：作轴于点，交于点， ∵点， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点的纵坐标为4， ∴，解得， ∴点的坐标为． 7．（2024·山东济宁·一模）如图，一次函数与反比例函数 ()的图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式 ()的解集是___________； (3)点是线段上一点，过点作轴于点，连接，设点的横坐标为，用含的代数 式表示，求的最大值和最小值. 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)或； (3)，的最大值为，最小值为． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，再结合图象即可求解； （）设，可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得，， 解得， ∴， 由图象可知，当或时， ， ∴不等式 ()的解集是或， 故答案为：或； （3）解：∵点是线段上一点，设， 则， ∵，， ∴当时，的值取最大，最大值为； 当或时，的值取最小，最小值为； ∴，的最大值为，最小值为． 8．（2025·广东·模拟预测）如图，已知点和点B（点B不与点A 重合）都在反比例函数的图象上，直线与坐标轴交于P，Q两点．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，与交于点E，连接． (1)求反比例函数的解析式． (2)求证： ． (3)试探究是否存在点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)见解析： (3)存在；； 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）根据一次函数解析式的k值相等，对应的函数图象两条直线是平行的即可解决问题； （3）根据平行线间的线段成比例算出答案即可； 【详解】（1）解：∵已知点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的解析式为； （2）证明：由（1）可知反比例函数的解析式为， 可设点， 又∵点, ∴设直线的函数解析式为 ∴ 解得：， ∵过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴点，点， ∴可设直线的函数解析式为 ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵， ∴， 由上可知：， ， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行线的判定，平行线间的线段成比例等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． 9．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，根据图象写出不等式的解集，求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）由（1）可得，，再结合函数图象即可得解； （3）连接，交于点M，首先利用平行四边形的性质求得中点M的坐标为，进而推导出P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点A的坐标为， ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可得，， 根据图象可知，时，的取值范围为或； （3）解：如图，连接，交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴点是线段、的中点， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为． 10．（2025·湖北恩施·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、两点是一次函数和反比例函数图像的两个交点，直线AB与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集； (3)在y轴上取一点P，使的值最大，并求出的最大值及点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为； (2)或； (3)的最大值，P点的坐标为． 【分析】（1）直接用待定系数法即可求解； （2）由点、，结合图象即可求解； （3）由一次函数与y轴的交点为，可得的值最大，最大值即为的长度，再利用勾股定理求解即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入， 得，则反比例函数解析式为，   把代入， 得，解得，则B点坐标为，    把、代入得， ， 解得：， 则一次函数解析式为． （2）解：∵点、， ∴由图可得，不等式解集范围是：或 ，    （3）解：一次函数解析式为，令，则， ∴一次函数与y轴的交点为，    此时，的值最大，最大值即为的长度，过点A作轴于点D，直线与x轴的交点为C，在中，令，则，即直线与x轴交于点， ∵， ∴，， ∴ ∴的最大值，P点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $